Субдирект-продукт

В математике , особенно в областях абстрактной алгебры, известных как универсальная алгебра , теория групп , теория колец и теория модулей , подпрямое произведение — это подалгебра прямого произведения , которая полностью зависит от всех его факторов, но не обязательно является всем прямым произведением. . Это понятие было введено Биркгофом в 1944 году и оказалось мощным обобщением понятия прямого продукта. ^{[ нужна ссылка ]}

Определение

Подпрямое произведение — это подалгебра (в смысле универсальной алгебры ) A прямого произведения Π _i A _i такая, что каждый индуцированный проектор (композит p _j s : A → A _j проекции p _j : Π _i A _i → A _j с включением подалгебры s : A → Π _i A _i ) сюръективен .

Прямое это прямое (подпрямое) произведение , ( подпрямое ) представление алгебры A изоморфное A. —

Алгебра называется подпрямо неприводимой, если она не подпрямо представима «более простыми» алгебрами. Подпрямые неприводимые относятся к подпрямому произведению алгебр примерно так же, как простые числа относятся к умножению целых чисел.

Примеры

Любая дистрибутивная решетка L подпрямо представима как подалгебра прямой степени двухэлементной дистрибутивной решетки. Это можно рассматривать как алгебраическую формулировку представимости L как множества множеств, замкнутых относительно бинарных операций объединения и пересечения, посредством интерпретации самой прямой степени как степенного множества. В конечном случае такое представление является прямым (т.е. вся прямая степень) тогда и только тогда, когда L — решетка с дополнениями , т.е. булева алгебра.
То же самое справедливо для любой полурешетки , когда «полурешетка» заменяется «дистрибутивной решеткой», а «подполурешетка» вместо «подрешетки» в предыдущем примере. То есть каждая полурешетка представима как подпрямая степень двухэлементной полурешетки.
Цепочка натуральных чисел вместе с бесконечностью, как алгебра Гейтинга , подпрямо представима как подалгебра прямого произведения конечных линейно упорядоченных алгебр Гейтинга. Более подробно ситуация с другими гейтинговыми алгебрами рассмотрена в статье о подпрямых неприводимых .
Группа циклических целых чисел подпрямо представима любым (обязательно бесконечным) семейством сколь угодно больших конечных групп . В этом представлении 0 — это последовательность единичных элементов представляющих групп, 1 — это последовательность генераторов, выбранных из соответствующей группы, а сложение и отрицание целых чисел — это соответствующие групповые операции в каждой группе, применяемые по координатам. Представление является точным (никакие два целых числа не представлены одной и той же последовательностью) из-за требований к размеру, а проекции являются точными, потому что каждая координата в конечном итоге исчерпывает свою группу.
Каждое векторное пространство над данным полем подпрямо представимо одномерным пространством над этим полем, при этом конечномерные пространства могут быть непосредственно представлены таким образом. (Для векторных пространств, как и для абелевых групп , прямое произведение с конечным числом факторов является синонимом прямой суммы с конечным числом факторов, следовательно, подпрямое произведение и подпрямая сумма также являются синонимами конечного числа факторов.)
Подпрямые продукты используются для представления множества маленьких совершенных групп ( Holt & Plesken 1989 ).

См. также

Ссылки

Биркгоф, Гаррет (1944), «Подпрямые объединения в универсальной алгебре», Бюллетень Американского математического общества , 50 (10): 764–768, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 , ISSN 0002-9904 , МР 0010542
Холт, Дерек Ф.; Плескен, В. (1989), Совершенные группы , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853559-1 , МР 1025760