Полупрямой продукт

В математике , особенно в теории групп , понятие полупрямого произведения является обобщением прямого произведения . Существуют две тесно связанные концепции полупрямого продукта:

• Внутреннее нормальной полупрямое произведение — это особый способ группы составления из двух подгрупп , одна из которых является подгруппой .
• внешнее декартово полупрямое произведение — это способ построить новую группу из двух заданных групп, используя произведение в качестве множества и определенную операцию умножения.

Как и в случае с прямыми продуктами, существует естественная эквивалентность между внутренними и внешними полупрямыми продуктами, и оба обычно называются просто полупрямыми продуктами .

Для конечных групп теорема Шура – ​​Зассенхауза обеспечивает достаточное условие существования разложения в виде полупрямого произведения (также известного как расширение расщепления ).

внутреннего

Для группы G с единичным элементом e , подгруппы H и нормальной подгруппы N ◁ G следующие утверждения эквивалентны:

• G — произведение подгрупп , G = NH , и эти подгруппы имеют тривиальное пересечение: N ∩ H = { e } .
• Для каждого g G G существуют единственные n G N и h G H такие, что g = nh .
• Композиция с π ∘ i естественного вложения i : H → G естественной проекцией π : G → G / N является изоморфизмом между H и факторгруппой G / N .
• Существует гомоморфизм G → H , который является тождественным на H и ядром которого является N . Другими словами, существует расщепленная точная последовательность

$1\to N\to G\to H\to 1$

групп (которое также известно как групповое расширение $H$ к $N$).

Если любое из этих утверждений верно (и, следовательно, все они верны в силу их эквивалентности), мы говорим, что G является полупрямым произведением N и H , записанным

$G=N\rtimes H$ или $G=H\ltimes N,$

или что G распадается над N ; также говорят, что G является полупрямым произведением H, на N , или даже полупрямым произведением H и N. действующим Во избежание двусмысленности желательно указать, какая подгруппа является нормальной.

Если $G=N\rtimes H$, то существует групповой гомоморфизм $\varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)$ данный $\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$и для $g=nh,g'=n'h'$, у нас есть $gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}$.

Внутренние и внешние полупрямые продукты

Давайте сначала рассмотрим внутренний полупрямой продукт. В этом случае для группы $G$, рассмотрим нормальную подгруппу N и другую подгруппу H (не обязательно нормальную). Предположим, чтоусловия из приведенного выше списка остаются в силе. Позволять $\operatorname {Aut} (N)$ обозначают группу всех автоморфизмов N , которая является группой композиции. Построить групповой гомоморфизм $\varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)$ определяется спряжением,

$\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$ для всех h в H и n в N. ,

Таким образом, мы можем построить группу $G'=(N,H)$ с групповой операцией, определенной как

$(n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})$ для n ₁ , n ₂ в N и h ₁ , h ₂ в H .

Подгруппы N и H определяют G с точностью до изоморфизма, как мы покажем позже. Таким образом, мы можем построить группу G из ее подгрупп. Такая конструкция называется внутренним полупрямым произведением (также известным как внутреннее полупрямое произведение). ).

Давайте теперь рассмотрим внешний полупрямой продукт. Учитывая любые две группы N и H и групповой гомоморфизм φ : H → Aut( N ) , мы можем построить новую группу N ⋊ _φ H , называемую внешним полупрямым произведением N и H относительно φ , определяемую следующим образом:

• Базовым набором является декартово произведение N × H .
• Групповая операция $\bullet$ определяется гомоморфизмом φ :

  ${\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}$

  для n ₁ , n ₂ в N и h ₁ , h ₂ в H .

Это определяет группу, в которой единичным элементом является ( e _N , e _H ) , а обратным элементу ( n , h ) является ( φ _{h ⁻¹} ( н ⁻¹ ), ч ⁻¹ ) . Пары ( n , eH _{изоморфную} ) изоморфную N , а пары eN , _{образуют нормальную подгруппу ,} h ) образуют подгруппу, H. ( Полная группа является полупрямым произведением этих двух подгрупп в указанном ранее смысле.

Обратно, предположим, что нам дана группа G с нормальной подгруппой N и подгруппой H , такая, что каждый элемент g из G можно однозначно записать в виде g = nh, n лежит в N , а h лежит в H. где Пусть φ : H → Aut( N ) — гомоморфизм (обозначенный φ ( h ) = φ _h ), заданный формулой

$\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}$

для n ∈ N , h ∈ H. всех

Тогда G изоморфна полупрямому произведению N ⋊ _φ H . Изоморфизм λ : G → N ⋊ _φ H корректно определен.на λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) в силу единственности разложения a = nh .

В G у нас есть

$(n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})$

Таким образом, для a = n ₁ h ₁ и b = n ₂ h ₂ получаем

${\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}$

что доказывает , что λ — гомоморфизм. Поскольку λ, очевидно, является эпиморфизмом и мономорфизмом, то он действительно является изоморфизмом. Это также объясняет определение правила умножения в N ⋊ _φ H .

Прямой продукт является частным случаем полупрямого продукта. Чтобы убедиться в этом, пусть φ — тривиальный гомоморфизм (т. е. переводящий каждый элемент в тождественный автоморфизм N ), тогда N ⋊ _φ H — прямое произведение N × H. H

Версия леммы о расщеплении групп утверждает, что группа G изоморфна полупрямому произведению двух групп N и H тогда и только тогда, когда существует короткая точная последовательность

$1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1$

и групповой гомоморфизм γ : H → G такой, что α ∘ γ = id _H , тождественное отображение на H . В этом случае φ : H → Aut( N ) задается формулой φ ( h ) = φ _h , где

$\varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).$

Примеры

Группа диэдра

Группа диэдра D _{2 n} с 2 n элементами изоморфна полупрямому произведению циклических групп C _n и C ₂ . Здесь неединичный элемент C ₂ действует на C _n, инвертируя элементы; это автоморфизм, Cn _так абелева как . Презентация для этой группы :

$\langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .$

Циклические группы

В более общем смысле, полупрямое произведение любых двух циклических групп Cm _a с генератором и Cn с _, генератором b задается одним дополнительным соотношением aba ⁻¹ = б ^к , где k и n взаимно простые , и $k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$; то есть презентация:

$\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .$

Если r и m взаимно просты, a ^р является генератором C _m и a ^р нет ^-r = б ^{к р} , отсюда и представление:

$\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle$

дает группу, изоморфную предыдущей.

Голоморф группы

Одним из канонических примеров группы, выраженной как полупрямое произведение, является голоморф группы. Это определяется как

$\operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)$

где ${\text{Aut}}(G)$ является группой автоморфизмов группы $G$ и структурная карта $\varphi$ происходит от правильных действий ${\text{Aut}}(G)$ на $G$. С точки зрения умножения элементов это дает структуру группы

$(g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).$

бутылки

Фундаментальную группу бутылки Клейна можно представить в виде

$\langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .$

и, следовательно, является полупрямым произведением группы целых чисел, $\mathbb {Z}$, с $\mathbb {Z}$. Соответствующий гомоморфизм φ : $\mathbb {Z}$ → Или ( $\mathbb {Z}$) определяется выражением φ ( час )( n ) = (−1) ^час н .

Верхнетреугольные матрицы

Группа $\mathbb {T} _{n}$ верхнетреугольных матриц с ненулевым определителем в произвольном поле, то есть с ненулевыми элементами на диагонали , имеет разложение в полупрямое произведение $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ где $\mathbb {U} _{n}$ является подгруппой матриц только с $1$находится на диагонали, которая называется верхней унитреугольной матричной группой, и $\mathbb {D} _{n}$ — подгруппа диагональных матриц .
Групповое действие $\mathbb {D} _{n}$ на $\mathbb {U} _{n}$ индуцируется умножением матриц. Если мы установим

$A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$и $B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

тогда их матричное произведение равно

$AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.$

Это дает индуцированное групповое действие $m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}$

$m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

Матрица в $\mathbb {T} _{n}$ могут быть представлены матрицами в $\mathbb {U} _{n}$ и $\mathbb {D} _{n}$. Следовательно $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$.

Группа изометрий на плоскости

Евклидова группа всех жестких движений ( изометрий ) плоскости (отображения f : $\mathbb {R}$² → $\mathbb {R}$² такое, что евклидово расстояние между x и y равняется расстоянию между f ( x ) и f ( y ) для всех x и y в $\mathbb {R} ^{2}$) изоморфно полупрямому произведению абелевой группы $\mathbb {R} ^{2}$ (которая описывает сдвиги) и группу O(2) ортогональных (которая описывает вращения и отражения , матриц 2 × 2 которые сохраняют начало координат фиксированным). Применение перевода, а затем вращения или отражения имеет тот же эффект, что и применение сначала вращения или отражения, а затем перевода с помощью повернутого или отраженного вектора перемещения (т. е. применение сопряжения исходного перевода). Это показывает, что группа сдвигов является нормальной подгруппой евклидовой группы, что евклидова группа является полупрямым произведением группы сдвигов и O(2) и что соответствующий гомоморфизм φ : O(2) → Aut( $\mathbb {R}$² ) задается матричным умножением : φ ( час )( n ) = hn .

Ортогональная группа O(n)

Ортогональная группа O( n ) всех ортогональных действительных матриц размера n × n (интуитивно совокупность всех вращений и отражений n -мерного пространства, сохраняющих начало координат фиксированным) изоморфна полупрямому произведению группы SO( n ) (состоящему из всех ортогональных матриц с определителем 1 (интуитивно повороты n -мерного пространства) и C ₂ . Если мы представим C ₂ как мультипликативную группу матриц { I , R } , где R — отражение n -мерного пространства, которое сохраняет начало координат фиксированным (т. е. ортогональная матрица с определителем –1, представляющим инволюцию ), то φ : C ₂ → Aut(SO( n )) задается формулой φ ( H )( N ) = HNH ⁻¹ для всех H в C ₂ и N в SO( n ) . В нетривиальном случае ( H не тождественно) это означает, что φ ( H ) есть сопряжение операций отражением (в 3-мерном пространстве ось вращения и направление вращения заменяются своим «зеркальным отображением») .

Полулинейные преобразования

Группа полулинейных преобразований в векторном пространстве V над полем $\mathbb {K}$, часто обозначаемый ΓL( V ) , изоморфен полупрямому произведению линейной группы GL( V ) ( нормальной подгруппы ΓL ( V ) ) и автоморфизмов группы $\mathbb {K}$.

Кристаллографические группы

В кристаллографии пространственная группа кристалла распадается как полупрямое произведение точечной группы и группы трансляции тогда и только тогда, когда пространственная группа симморфна . Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, которые даже не содержатся в качестве подмножества пространственной группы, что и является причиной большей сложности их анализа.

Непримеры

Конечно, ни одна простая группа не может быть выражена как полупрямое произведение (поскольку у них нет нетривиальных нормальных подгрупп), но существует несколько распространенных контрпримеров групп, содержащих нетривиальную нормальную подгруппу, которую, тем не менее, нельзя выразить как полупрямое произведение. -прямой продукт. Обратите внимание: хотя не каждая группа $G$ может быть выражено как разделенное расширение $H$ к $A$, оказывается, такую ​​группу можно вложить в сплетение $A\wr H$ по универсальной теореме вложения .

З ₄

Циклическая группа $\mathbb {Z} _{4}$ не является простой группой, так как имеет подгруппу порядка 2, а именно $\{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}$ является подгруппой и их частное равно $\mathbb {Z} _{2}$, поэтому есть расширение

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

Если расширение было разделено , то группа $G$ в

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

был бы изоморфен $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$.

Q8

Группа восьми кватернионов $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ где $ijk=-1$ и $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$, является еще одним примером группы которая имеет нетривиальные нормальные подгруппы, но все еще не расщеплена. Например, подгруппа, созданная $i$ изоморфен $\mathbb {Z} _{4}$ и это нормально. Он также имеет подгруппу порядка $2$ созданный $-1$. Это будет означать $Q_{8}$ должно было бы быть расщепленным расширением в следующей гипотетической точной последовательности групп:

$0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$,

но такой точной последовательности не существует. Это можно показать, вычислив первую группу когомологий группы $\mathbb {Z} _{2}$ с коэффициентами в $\mathbb {Z} _{4}$, так $H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$ и отметив, что две группы в этих расширениях: $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ и группа диэдра $D_{8}$. Но поскольку ни одна из этих групп не изоморфна $Q_{8}$, группа кватернионов не расщепляется. Отсутствие изоморфизмов можно проверить, заметив, что тривиальное расширение является абелевым, а $Q_{8}$ неабелева, и, отметив, что единственными нормальными подгруппами являются $\mathbb {Z} _{2}$ и $\mathbb {Z} _{4}$, но $Q_{8}$ имеет три подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} _{4}$.

Свойства

Если G — полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы H , и обе и H конечны , то порядок G N равен произведению порядков N и H. N Это следует из того факта, что G имеет тот же порядок, что и внешнее полупрямое произведение и H , базовым множеством которого является декартово произведение N × H. N

с

Предположим, что G — полупрямое произведение нормальной подгруппы N и подгруппы H . Если H также нормален в G существует гомоморфизм G → N , который является тождеством на N с ядром H , то G является прямым произведением N или, что то же самое, если и H .

Прямое произведение двух групп N и H можно рассматривать как полупрямое произведение и H относительно φ ( h ) = id _N для всех h в H. N

Обратите внимание, что в прямом произведении порядок множителей неважен, поскольку N × H изоморфно H × N . Это не относится к полупрямым продуктам, поскольку эти два фактора играют разные роли.

Более того, результат (собственного) полупрямого произведения с помощью нетривиального гомоморфизма никогда не будет абелевой группой , даже если фактор-группы абелевы.

Неуникальность полупрямых продуктов (и

В отличие от случая с прямым произведением , полупрямое произведение двух групп, вообще говоря, не является единственным; если G и G' — две группы, которые обе содержат изоморфные копии N как нормальной подгруппы и H как подгруппы, и обе являются полупрямым произведением N и H , то из этого не следует, что G и G' изоморфны , потому что зависит от выбора действия H на N. полупрямое произведение также

Например, существуют четыре неизоморфные группы порядка 16, которые являются полупрямыми произведениями C ₈ и C ₂ ; в этом случае C8 _{обязательно является нормальной подгруппой ,} поскольку она имеет индекс 2. Одно из этих четырех полупрямых произведений является прямым произведением, а остальные три — неабелевыми группами:

• группа диэдра порядка 16
• группа квазидиэдра порядка 16
• группа Ивасава 16-го порядка

Если данная группа является полупрямым произведением, то нет гарантии, что это разложение единственно. Например, существует группа порядка 24 (единственная, содержащая шесть элементов порядка 4 и шесть элементов порядка 6), которую можно выразить как полупрямое произведение следующими способами: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q ₁₂ ) ≅ ( C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) .

Существование

Основная статья: теорема Шура – ​​Цассенхауза

В общем, не существует известной характеризации (т. е. необходимого и достаточного условия) существования полупрямых произведений в группах. Однако известны некоторые достаточные условия, гарантирующие существование в определенных случаях. Для конечных групп теорема Шура–Цассенхауза гарантирует существование полупрямого произведения, когда порядок нормальной подгруппы взаимно прост с порядком факторгруппы .

Например, теорема Шура – ​​Цассенхауза предполагает существование полупрямого произведения среди групп порядка 6; таких произведений два, одно из которых — прямое произведение, а другое — группа диэдра. Напротив, теорема Шура – ​​Цассенхауза ничего не говорит, например, о группах 4-го порядка или группах 8-го порядка.

Обобщения

В рамках теории групп построение полупрямых произведений можно продвинуть гораздо дальше. Произведение групп Заппы – Сепа представляет собой обобщение, которое в своей внутренней версии не предполагает, что какая-либо подгруппа нормальна.

есть также конструкция В теории колец — скрещенное произведение колец . Оно строится естественным образом из группового кольца полупрямого произведения групп. Теоретико-кольцевой подход можно далее обобщить на полупрямую сумму алгебр Ли .

Для геометрии существует также скрещенное произведение групповых действий в топологическом пространстве ; к сожалению, она, вообще говоря, некоммутативна, даже если группа абелева. В этом контексте полупрямое произведение представляет собой пространство орбит действия группы. Последний подход был предложен Аленом Конном как замена подходам, основанным на традиционных топологических методах; см. некоммутативную геометрию .

Полупрямое произведение представляет собой частный случай конструкции Гротендика в теории категорий . В частности, действие $H$ на $N$ (с учетом группы или даже просто структуры моноида) — это то же самое, что функтор

$F:BH\to Cat$

из группоида $BH$ связанный с H (имеющий единственный объект *, чьи эндоморфизмы равны H ) с категорией категорий таких, что уникальный объект в $BH$ отображается на $BN$. Конструкция Гротендика этого функтора эквивалентна $B(H\rtimes N)$, (группоид, связанный с) полупрямым произведением.

Группоиды

Другое обобщение касается группоидов. Это происходит в топологии, потому что если группа G действует в пространстве X, она также действует и на фундаментальном группоиде π ₁ ( X ) этого пространства. Полупрямое произведение π ₁ ( X ) ⋊ G тогда имеет отношение к нахождению фундаментального группоида пространства орбит X/G . Полную информацию см. в главе 11 книги, указанной ниже, а также некоторые подробности полупрямого произведения. в нкатлабе .

Абелевы категории

Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях , таких как категория модулей . В этом случае лемма о расщеплении показывает, что каждый полупрямой продукт является прямым продуктом. Таким образом, существование полупрямых произведений отражает неспособность категории быть абелевой.

Обозначения

Обычно полупрямое произведение группы H, действующее на группу N обозначается N ⋊ H или H ⋉ N. (в большинстве случаев сопряжением в виде подгрупп общей группы) , Однако некоторые источники может использовать этот символ в противоположном значении. В случае, если действие φ : H → Aut( N ) необходимо явно указать, пишут также N ⋊ _φ H . можно рассматривать Символ N ⋊ H как комбинацию символа нормальной подгруппы ( ◁ ) и символа произведения ( × ). Барри Саймон в своей книге по теории представления групп использует необычное обозначение $N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H$ для полупрямого продукта.

Юникод перечисляет четыре варианта:

	Ценить	МатематикаML	Описание в Юникоде
⋉	U + 22C9	lраз	ЛЕВЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋊	U + 22CA	время	ПРАВИЛЬНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋋	U + 22CB	три	ЛЕВОЕ ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
⋌	U + 22CC	три	ПРАВИЛЬНЫЙ ПОЛУПРЯМОЙ ПРОДУКТ

Здесь в описании символа rtimes в Юникоде говорится «правый нормальный коэффициент», в отличие от его обычного значения в математической практике.

В LaTeX команды \rtimes и \ltimes создают соответствующие символы. При загруженном пакете символов AMS \leftthreetimes выдаёт ⋋, а \rightthreetimes выдаёт ⋌.

См. также

• Аффинная алгебра Ли
• Конструкция Гротендика — категорическая конструкция, обобщающая полупрямое произведение.
• голоморф
• Полупрямая сумма алгебры Ли
• Субдирект-продукт
• Венок изделие
• Заппа – Хороший продукт
• Скрещенное произведение

Ссылки

• Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (2012), Теория категорий для информатики , Отпечатки в теории и приложениях категорий, том. 2012, с. 558, Збл   1253.18001
• Браун, Р. (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN  1-4196-2722-8