Глоссарий теории групп

Общее описание темы см. в теории групп .

См. Также: список тем по теории групп.

Группа — это совокупность с ассоциативной операцией, которая допускает единичный элемент существует обратный и такая, что для каждого элемента .

В этом глоссарии мы используем e для обозначения единичного элемента группы.

А

абелева группа

Группа ( G , •) абелева, если • коммутативна , т.е. • h = h • g для всех g , h ∈ G. g Аналогично, группа неабелева если это соотношение не выполняется для любой пары g , h ∈ G. ,

восходящая подгруппа

Подгруппа начинающаяся H группы G является восходящей , если существует возрастающая серия подгрупп, с H и заканчивающаяся G , такая, что каждый член этой серии является нормальной подгруппой своего преемника. Серия может быть бесконечной. Если ряд конечен, то подгруппа субнормальна .

автоморфизм

Автоморфизм группы — это изоморфизм группы самой себе.

С

центр группы

Центр группы G , обозначаемый Z( G ) , представляет собой набор тех элементов группы, которые коммутируют со всеми элементами группы , то есть набор всех h ∈ G таких, что hg = gh для всех g ∈ G. G ( G ) всегда является нормальной подгруппой G . Z Группа G абелева ( тогда и только тогда, когда G ) = G. Z

бесцентровая группа

Группа G бесцентрна, если ее Z ( G ) тривиален центр .

центральная подгруппа

Подгруппа этой группы является центральной подгруппой группы, если она лежит внутри центра группы .

характерная подгруппа

Подгруппа этой группы является характеристической подгруппой группы, если она отображается в себя каждым автоморфизмом родительской группы.

характерно простая группа

Группа называется характеристически простой , если она не имеет собственных нетривиальных характеристических подгрупп .

функция класса

Функция класса на группе G — это функция, которая является постоянной на сопряженности группы G. классах

номер класса

Номер класса группы — это число ее классов сопряженности .

коммутатор

Коммутатором g двух элементов и h группы G является элемент [ g , h ] = g ⁻¹ час ⁻¹ хх . Некоторые авторы определяют коммутатор как [ g , h ] = ghg ⁻¹ час ⁻¹ вместо. Коммутатор двух элементов g и h равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют, то есть тогда и только тогда, когда gh = hg .

подгруппа коммутатора

Подгруппа коммутатора или производная подгруппа группы — это подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы .

серия композиций

Композиционный ряд группы G — это субнормальный ряд конечной длины

$1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,$

со строгими включениями, такими, что каждая H _i является максимальной строгой нормальной подгруппой в H _{i +1} . Эквивалентно, композиционный ряд — это субнормальный ряд, такой что каждая фактор-группа H _{i +1} / H _i является простой . Факторные группы называются композиционными факторами.

подгруппа, замкнутая по сопряженности

Подгруппа группе группы называется сопряженно-замкнутой, если любые два элемента подгруппы, сопряженные в , также сопряжены в подгруппе.

класс сопряжения

Классы сопряженности группы G — это подмножества группы G, содержащие элементы группы, сопряженные друг с другом.

сопряженные элементы

Два элемента x и y группы G сопряжены , если существует элемент g ∈ G такой, что g ⁻¹ хг = у . Элемент g ⁻¹ xg , обозначается x ^г , называется сопряжением x с g . Некоторые авторы определяют сопряжение x с g как gxg ⁻¹ . Это часто обозначается ^г х . Сопряженность – это отношение эквивалентности . Его классы эквивалентности называются классами сопряженности .

сопряженные подгруппы

Две подгруппы H ₁ и H ₂ группы G называются сопряженными подгруппами , если существует элемент g ∈ G такой, что gH ₁ g ⁻¹ = ЧАС ₂ .

контрнормальная подгруппа

Подгруппа если группы G называется контрнормальной подгруппой группы G, ее нормальным замыканием является группа G. сама

циклическая группа

Циклическая группа — это группа, порожденная одним элементом, то есть группа, в которой есть элемент g, такой, что любой другой элемент группы может быть получен путем многократного применения групповой операции к g или его обратный.

Д

производная подгруппа

Синоним подгруппы коммутаторов .

прямой продукт

Прямое произведение двух групп G и H , обозначаемое G × H , является декартовым произведением базовых множеств G и H , оснащенных покомпонентно определенной бинарной операцией ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) знак равно ( г ₁ ⋅ г ₂ , час ₁ ⋅ час ₂ ) . Благодаря этой операции G × H сама образует группу.

Ф

группа факторов

Синоним факторгруппы .

ФК-группа

Группа называется FC-группой, если каждый класс сопряженности ее элементов имеет конечную мощность.

конечная группа

Конечная группа — это группа конечного порядка , то есть группа с конечным числом элементов.

конечно порожденная группа

Группа G является конечно порожденной, если существует конечное порождающее множество , то есть если существует конечное множество S элементов G такое, что каждый элемент G можно записать как комбинацию конечного числа элементов S и обратных к ним элементов. элементы С. ​

Г

генераторная установка

Порождающее множество группы G — это подмножество S группы G такое, что каждый элемент G может быть выражен как комбинация (при групповой операции) конечного числа элементов S и обратных элементов S . Учитывая подмножество S из G . Обозначим через ⟨ S ⟩ наименьшую подгруппу группы G, содержащую S . ⟨ S ⟩ называется подгруппой G, порожденной S .

групповой автоморфизм

См. автоморфизм .

групповой гомоморфизм

См. гомоморфизм .

групповой изоморфизм

См . изоморфизм .

Х

гомоморфизм

двух групп ( G , •) и ( H ·) гомоморфизмом в из G H h называется функция и : G → H такая, что для всех a , b в G h Для данных ( a • b ) = h ( a ) · час ( б ) .

Я

индекс подгруппы

Индекс ​ подгруппы H G группы обозначаемый , | Г : Ч | или [ G : H ] или ( G : H ) число классов смежных H в G. — Для нормальной N группы G индекс N в G равен порядку факторгруппы G / . N подгруппы Для конечной подгруппы H конечной группы G индекс H в G равен фактору G и H. порядков

изоморфизм

Для данных двух групп ( G , •) и ( H , ·) изоморфизм что между G и H является биективным гомоморфизмом из G в H , то есть взаимно однозначным соответствием между элементами групп таким образом, уважает заданные групповые операции. Две группы изоморфны , если существует групповой изоморфизм, отображающий одну в другую. Изоморфные группы можно рассматривать как по сути одно и то же, только с разными метками на отдельных элементах.

Л

решетка подгрупп

Решетка подгрупп группы — это решетка, определяемая ее подгруппами , частично упорядоченными включением множеств .

локально циклическая группа

Группа локально циклическая , если каждая конечно порожденная подгруппа циклична . Каждая циклическая группа является локально циклической, и каждая конечно порожденная локально циклическая группа является циклической. Любая локально циклическая группа абелева . Каждая подгруппа , каждая факторгруппа и каждый гомоморфный образ локально циклической группы локально цикличны.

Н

нормальное закрытие

Нормальное замыкание подмножества S группы G — это пересечение всех нормальных подгрупп группы G содержащих S. ,

нормальное ядро

Нормальное ядро ​​подгруппы H , группы G — это наибольшая нормальная подгруппа группы G содержащаяся в H .

нормализатор

подмножества S группы G нормализатор , S S в G , обозначаемый NG _Для ( ) , является подгруппой G определенной формулой

$\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.$

нормальный сериал

Нормальная серия группы G — это последовательность нормальных подгрупп группы G такая, что каждый элемент последовательности является нормальной подгруппой следующего элемента:

$1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G$

с

$A_{i}\triangleleft G$.

нормальная подгруппа

Подгруппа , N группы G нормальна всех в G (обозначается N ◅ G если сопряжение элемента n из N с элементом g из G всегда находится в N т. е. если для g ∈ G и n ∈ N , нг ⁻¹ € N. ​Нормальную подгруппу N группы G можно использовать для построения факторгруппы G / N .

не маленькая подгруппа

Топологическая группа не имеет малой подгруппы , если существует окрестность единичного элемента, не содержащая ни одной нетривиальной подгруппы.

О

орбита

Рассмотрим группу G, на множестве X. действующую Орбита может быть элемента x в X — это набор элементов в X, который x перемещен элементами G. в Орбита x обозначается G ⋅ x

заказ группы

Порядок группы ( G , •) — это мощность (т.е. количество элементов) G. группы Группа с конечным порядком называется конечной группой .

порядок элемента группы

Порядок элемента g группы G — это наименьшее целое положительное число n такое, что g ^н = е . Если такого целого числа не существует, то порядок g называется бесконечным. Порядок конечной группы делится на порядок каждого элемента.

П

идеальное ядро

Совершенное ядро ​​группы — это ее самая большая совершенная подгруппа.

идеальная группа

— Совершенная группа это группа, равная своему коммутанту .

периодическая группа

Группа является периодической , если каждый элемент группы имеет конечный порядок . Любая конечная группа периодична.

группа перестановок

Группа перестановок — это группа, элементы которой являются перестановками данного множества M ( биективные функции из множества M в себя) и групповая операция которой является композицией этих перестановок. состоящая из всех перестановок множества M, является симметрической группой M Группа , .

р -группа

Если p — простое число , то p -группа — это группа, в которой порядок каждого элемента является степенью p . Конечная группа является p -группой тогда и только тогда, когда порядок группы является степенью p .

р -подгруппа

Подгруппа , которая также является p -группой . Изучение р -подгрупп — центральный объект теорем Силова .

Вопрос

факторгруппа

Учитывая группу G и нормальную подгруппу N группы G , факторгруппа представляет собой множество G / N левых смежных классов { aN : a ∈ G } вместе с операцией aN • bN = abN . Связь между нормальными подгруппами, гомоморфизмами и фактор-группами суммируется в основной теореме о гомоморфизмах .

Р

реальный элемент

Элемент g группы G называется вещественным элементом группы G, если он принадлежит к тому же классу сопряженности, существует элемент h что и его обратный, то есть если в G такой, что g ^час = г ⁻¹ , где г ^час определяется как h ⁻¹ хх . Элемент группы G веществен тогда и только тогда, когда для всех соответствующей матрицы вещественным является представлений G след числом.

С

серийная подгруппа

Подгруппа , H группы G называется серийной подгруппой G , что для каждой пары если существует цепочка C подгрупп G из H в G последовательных подгрупп X и Y в C X такая является нормальной подгруппой Y . Если цепь конечна, то H субнормальная подгруппа группы G .

простая группа

— Простая группа это нетривиальная группа , единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа.

подгруппа

Подгруппа образует группу , группы G — это подмножество H элементов группы G если наложено ограничение групповой операции G , на H × H. которое само Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных, то есть тогда и только тогда, когда для каждых a и b в H , ab и a ⁻¹ также есть H. в

серия подгрупп

Серия подгрупп группы G — это последовательность подгрупп группы G такая, что каждый элемент серии является подгруппой следующего элемента:

$1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.$

субнормальная подгруппа

Подгруппа нормальна H группы G называется субнормальной подгруппой группы G , если существует конечная цепочка подгрупп группы, каждая из которых в следующей, начиная с H и заканчивая G .

симметричная группа

набор M , симметричная группа M - это набор всех перестановок M Учитывая (множество всех биективных функций от M до M ) с композицией перестановок как групповой операции. Симметричная группа конечного множества размера n обозначается S _n . (Симметрические группы любых двух множеств одинакового размера изоморфны . )

Т

торсионная группа

Синоним периодической группы .

транзитивно нормальная подгруппа

Подгруппа в группе группы называется транзитивно нормальной , если каждая нормальная подгруппа этой подгруппы также нормальна во всей группе.

тривиальная группа

Тривиальная группа — это группа, состоящая из одного элемента, а именно единичного элемента группы. Все такие группы изоморфны , и часто говорят о тривиальной группе.

Основные определения

И подгруппы, и нормальные подгруппы данной группы образуют полную решетку при включении подмножеств; это свойство и некоторые связанные с ним результаты описываются теоремой о решетке .

Ядро группового гомоморфизма . Это прообраз единицы в кодобласти гомоморфизма группы. Каждая нормальная подгруппа является ядром группового гомоморфизма и наоборот.

Прямое произведение , прямая сумма и полупрямое произведение групп. Это способы объединения групп для создания новых групп; пожалуйста, обратитесь к соответствующим ссылкам для объяснения.

Типы групп

Конечно сгенерированная группа . Если существует конечное множество S такое, что ⟨ S ⟩ = G , то G называется конечно порожденным . Если S можно предположить, что имеет только один элемент, G является циклической группой конечного порядка, бесконечной циклической группой или, возможно, группой { e } только с одним элементом.

Простая группа . Простые группы — это группы, имеющие только е и самих себя в качестве нормальных подгрупп . Название вводит в заблуждение, поскольку простая группа на самом деле может быть очень сложной. Примером может служить группа монстров , порядок которой составляет около 10 ⁵⁴ . Каждая конечная группа состоит из простых групп посредством расширений групп , поэтому изучение конечных простых групп занимает центральное место в изучении всех конечных групп. Конечные простые группы известны и классифицированы .

Структура любой конечной абелевой группы относительно проста; каждая конечная абелева группа является прямой суммой циклических p-групп.Это можно расширить до полной классификации всех конечно порожденных абелевых групп , то есть всех абелевых групп, порожденных конечным множеством.

Для неабелевых групп ситуация гораздо сложнее.

Бесплатная группа . Учитывая любой набор A , можно определить группу как наименьшую группу, свободную полугруппу A. содержащую Группа состоит из конечных строк (слов), которые могут состоять из элементов из A вместе с другими элементами, необходимыми для формирования группы. Умножение строк определяется конкатенацией, например ( abb ) • ( bca ) = abbbca .

Каждая группа ( G , •) по сути является фактор-группой свободной группы, G. порожденной см. в разделе «Презентация группы» Дополнительные сведения .Затем можно задать алгоритмические вопросы об этих презентациях, например:

• Определяют ли эти два представления изоморфные группы?; или
• Определяет ли это представление тривиальную группу?

Общим случаем является проблема слов , и некоторые из этих вопросов фактически неразрешимы ни одним общим алгоритмом.

Общая линейная группа , обозначаемая GL( n , F ) , представляет собой группу размером n × n обратимых матриц , где элементы матриц берутся из поля F, такого как действительные числа или комплексные числа.

Групповое представление (не путать с представлением группы). — Представление группы это гомоморфизм группы в общую линейную группу. По сути, мы пытаемся «представить» данную абстрактную группу как конкретную группу обратимых матриц , которую гораздо легче изучать.

См. также

• Глоссарий групп и алгебр Ли
• Глоссарий теории колец
• Композиционная серия
• Нормальная серия