Словесная задача для групп.

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как комбинаторная теория групп , проблема слов для конечно порожденной группы $G$ — это алгоритмическая проблема определения того, представляют ли два слова в генераторах один и тот же элемент. Слово «проблема» — хорошо известный пример неразрешимой проблемы .

Например, учитывая две биекции $g$ и $h$ на интервале $[0,1]$ такой, что и $g(g(g(x)))=h(h(x))=h(g(h(g(x))))=x$ известно, можете ли вы доказать, что композиции $g$ и $h$ может генерировать только конечное число других биекции на $[0,1]$ без дополнительной информации о $g$ и $h$? Функции $g$ и $h$ называются образующими, а множество всех конечных композиций $g$ и $h$ и их обратные это группа, которую они создают. В этом случае генераторы генерируют конечная группа порядка 6, изоморфная группе симметрии равностороннего треугольника, $D_{3}$, следовательно, можно решить равенство двух произвольных конечных композиций.

Точнее, если $A$ — конечное множество образующих для $G$ тогда проблема слов — это проблема принадлежности формальному языку всех слов в $A$ и формальный набор обратных, которые отображаются в тождество при естественном отображении свободного моноида с инволюцией на $A$ в группу $G$. Если $B$ это еще один конечный порождающий набор для $G$, то словесная задача над генераторным набором $B$ эквивалентно проблеме слов над порождающим набором $A$. Таким образом, можно однозначно говорить о разрешимости проблемы слов для конечно порожденной группы $G$.

Связанная, но другая проблема с однородными словами для класса $K$ рекурсивно представленных групп – это алгоритмическая проблема принятия решения, учитывая на входе представление $P$ для группы $G$ в классе $K$ и два слова в генераторах $G$, представляют ли слова один и тот же элемент $G$. Некоторым авторам требуется класс $K$ быть определяемым рекурсивно перечислимым набором представлений.

История

На протяжении всей истории предмета вычисления в группах проводились с использованием различных нормальных форм . Обычно они неявно решают проблему слов для рассматриваемых групп. В 1911 году Макс Ден предположил, что проблема слова сама по себе является важной областью исследования. вместе с проблемой сопряженности и проблемой изоморфизма групп . В 1912 году он предложил алгоритм, который решает как проблему слова, так и проблему сопряженности для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых двумерных многообразий рода, большего или равного 2. Последующие авторы значительно расширили алгоритм Дена и применили его к широкому кругу теоретико-групповых задач принятия решений .

показал В 1955 году Петр Новиков , что существует конечно определенная группа. $G$ такая, что проблема слова для $G$ является неразрешимым . Отсюда сразу следует, что проблема однородных слов также неразрешима. Другое доказательство было получено Уильямом Буном в 1958 году.

Словесная проблема была одним из первых примеров неразрешимой проблемы, встречающейся не в математической логике или теории алгоритмов , а в одном из центральных разделов классической математики — алгебре . В результате ее неразрешимости было показано, что некоторые другие проблемы комбинаторной теории групп также неразрешимы.

Важно понимать, что проблема слов на самом деле разрешима для многих групп. $G$. Например, в полициклических группах есть разрешимые проблемы со словами, поскольку нормальная форма произвольного слова в полициклическом представлении легко вычислима; другие алгоритмы для групп могут при подходящих обстоятельствах также решить проблему слов, см. алгоритм Тодда – Кокстера. и алгоритм завершения Кнута-Бендикса . С другой стороны, тот факт, что конкретный алгоритм не решает словесную задачу для конкретной группы, не означает, что в группе есть неразрешимая словесная задача. Например, алгоритм Дена не решает проблему слов для фундаментальной группы тора . Однако эта группа является прямым произведением двух бесконечных циклических групп и поэтому имеет разрешимую проблему слов.

Более конкретное описание

В более конкретных терминах проблему унифицированного слова можно выразить как о переписывании вопрос буквальных строк . Для презентации $P$ группы $G$, $P$ укажет определенное количество генераторов

$x,y,z,\ldots$

для $G$. Нам нужно ввести одну букву для $x$ и еще один (для удобства) для элемента группы, представленного $x^{-1}$. Назовите эти буквы (вдвое больше, чем образующих) алфавитом. $\Sigma$ для нашей проблемы. Тогда каждый элемент в $G$ представлен каким-то образом продуктом

$abc...pqr$

символов из $\Sigma$, некоторой длины, умноженный на $G$. Строка длины 0 ( нулевая строка ) обозначает идентификационный элемент . $e$ из $G$. Суть всей проблемы состоит в том, чтобы уметь распознавать все способы $e$ можно представить, учитывая некоторые отношения.

Эффект отношений в $G$ заключается в том, чтобы различные такие строки представляли один и тот же элемент $G$. Фактически отношения предоставляют список строк, которые можно либо вводить там, где мы хотим, либо уничтожать всякий раз, когда мы их видим, без изменения «значения», то есть элемента группы, который является результатом умножения.

В качестве простого примера рассмотрим группу, представленную в презентации. $\langle a\,|\,a^{3}=e\rangle$. Письмо $A$ для обратного $a$, у нас есть возможные строки, объединяющие любое количество символов $a$ и $A$. Всякий раз, когда мы видим $aaa$, или $aA$ или $Aa$ мы можем вычеркнуть их. Мы также должны помнить о необходимости вычеркнуть $AAA$; это говорит о том, что поскольку куб $a$ является элементом идентичности $G$, то же самое относится и к кубу, обратному $a$. В этих условиях проблема со словами становится простой. Сначала сократите строки до пустой строки, $a$, $aa$, $A$ или $AA$. Затем обратите внимание, что мы также можем умножить на $aaa$, поэтому мы можем преобразовать $A$ к $aa$ и конвертировать $AA$ к $a$. В результате проблема слов (в данном случае для циклической группы третьего порядка) разрешима.

Однако это не типичный случай. Например, у нас есть каноническая форма , которая сводит любую строку к одной длиной не более трех путем монотонного уменьшения длины. Вообще говоря, неверно, что можно получить каноническую форму элементов путем поэтапного сокращения. Возможно, вам придется использовать отношения для многократного расширения строки, чтобы в конечном итоге найти отмену, которая полностью уменьшит длину.

В худшем случае получается, что отношение между строками, гласящее, что они равны по $G$ это неразрешимая проблема .

Примеры

В следующих группах есть разрешимая словесная задача:

• Автоматические группы , в том числе:
  • Конечные группы
  • Отрицательно изогнутые (также известные как гиперболические) группы.
  • Евклидовы группы
  • Группы Кокстера
  • Группы кос
  • Геометрически конечные группы
• Конечно сгенерированные свободные группы
• Конечно порожденные свободные абелевы группы
• Полициклические группы
• Конечно порожденные рекурсивно абсолютно представленные группы , включая:
  • Конечно представленные простые группы.
• Конечно определенные аппроксимируемые конечные группы
• Одна родственная группа (это теорема Магнуса), в том числе:
  • Фундаментальные группы замкнутых ориентируемых двумерных многообразий.
• Расчесываемые группы
• Автоматически штабелируемые группы

Известны также примеры с нерешаемыми текстовыми задачами:

• Учитывая рекурсивно перечислимое множество $A$ положительных целых чисел, имеющих неразрешимую проблему принадлежности, $\langle a,b,c,d\,|\,a^{n}ba^{n}=c^{n}dc^{n}:n\in A\rangle$ — конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением, проблема слов которой неразрешима.
• Всякая конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением и неразрешимой словесной проблемой является подгруппой конечно представленной группы с неразрешимой словесной проблемой.
• Число реляторов в конечно представленной группе с неразрешимой словесной проблемой может достигать 14. или даже 12.
• Явный пример разумного краткого изложения с неразрешимой словесной проблемой приведен у Коллинза 1986:

${\begin{array}{lllll}\langle &a,b,c,d,e,p,q,r,t,k&|&&\\&p^{10}a=ap,&pacqr=rpcaq,&ra=ar,&\\&p^{10}b=bp,&p^{2}adq^{2}r=rp^{2}daq^{2},&rb=br,&\\&p^{10}c=cp,&p^{3}bcq^{3}r=rp^{3}cbq^{3},&rc=cr,&\\&p^{10}d=dp,&p^{4}bdq^{4}r=rp^{4}dbq^{4},&rd=dr,&\\&p^{10}e=ep,&p^{5}ceq^{5}r=rp^{5}ecaq^{5},&re=er,&\\&aq^{10}=qa,&p^{6}deq^{6}r=rp^{6}edbq^{6},&pt=tp,&\\&bq^{10}=qb,&p^{7}cdcq^{7}r=rp^{7}cdceq^{7},&qt=tq,&\\&cq^{10}=qc,&p^{8}ca^{3}q^{8}r=rp^{8}a^{3}q^{8},&&\\&dq^{10}=qd,&p^{9}da^{3}q^{9}r=rp^{9}a^{3}q^{9},&&\\&eq^{10}=qe,&a^{-3}ta^{3}k=ka^{-3}ta^{3}&&\rangle \end{array}}$

Частичное решение проблемы со словами

Проблема слов для рекурсивно представленной группы может быть частично решена в следующем смысле:

Учитывая рекурсивное представление $P=\langle X\,|\,R\rangle$ для группы $G$, определять:

$S=\{\langle u,v\rangle :u{\text{ and }}v{\text{ are words in }}X{\text{ and }}u=v{\text{ in }}G\ \}$

тогда существует частично рекурсивная функция $f_{P}$ такой, что:

$f_{P}(\langle u,v\rangle )={\begin{cases}0&{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \in S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \notin S\end{cases}}$

Более неформально, существует алгоритм, который останавливается, если $u=v$, но не делает этого иначе.

Отсюда следует, что для решения словесной задачи на $P$ достаточно построить рекурсивную функцию $g$ такой, что:

$g(\langle u,v\rangle )={\begin{cases}0&{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \notin S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ \langle u,v\rangle \in S\end{cases}}$

Однако $u=v$ в $G$ тогда и только тогда, когда $uv^{-1}=1$ в $G$. Отсюда следует, что для решения словесной задачи на $P$ достаточно построить рекурсивную функцию $h$ такой, что:

$h(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ G\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ G\end{cases}}$

Пример

На примере использования этой методики будет доказано следующее:

Теорема: Конечно определенная аппроксимируемая конечная группа имеет разрешимую проблему слов.

Доказательство: предположим $G=\langle X\,|\,R\rangle$ — конечно определенная аппроксимируемая конечная группа.

Позволять $S$ — группа всех перестановок натуральных чисел $\mathbb {N}$ это исправляет все числа, кроме конечного числа. Затем:

1. $S$ и локально конечна содержит копию каждой конечной группы.
2. Слово проблема в $S$ решается путем вычисления произведений перестановок.
3. Имеется рекурсивный перебор всех отображений конечного множества $X$ в $S$.
4. С $G$ аппроксимируемо конечно, если $w$ это слово в генераторах $X$ из $G$ затем $w\neq 1$ в $G$ тогда и только тогда, когда некоторое отображение $X$ в $S$ индуцирует гомоморфизм такой, что $w\neq 1$ в $S$.

Учитывая эти факты, алгоритм определяется следующим псевдокодом:

For every mapping of X into S
    If every relator in R is satisfied in S
        If w ≠ 1 in S
            return 0
        End if
    End if
End for

определяет рекурсивную функцию $h$ такой, что:

$h(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ G\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ G\end{cases}}$

Это показывает, что $G$ есть решаемая словесная задача.

Неразрешимость проблемы единого слова

Приведенный выше критерий разрешимости словесной проблемы в одной группе можно расширить с помощью прямого рассуждения. Это дает следующий критерий равномерной разрешимости проблемы слов для класса конечно определенных групп:

Решить единую словесную задачу для класса. $K$ групп достаточно найти рекурсивную функцию $f(P,w)$ это требует конечного представления $P$ для группы $G$ и слово $w$ в генераторах $G$, такой, что всякий раз, когда $G\in K$:

$f(P,w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ G\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ G\end{cases}}$

Теорема Буна-Роджерса: не существует единого частичного алгоритма , который решает проблему слов во всех конечно представленных группах с разрешимой проблемой слов.

Другими словами, единая проблема слов для класса всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов неразрешима. Это имеет некоторые интересные последствия. Например, теорему вложения Хигмана можно использовать для построения группы, содержащей изоморфную копию каждой конечно представленной группы с разрешимой проблемой слов. Кажется естественным задаться вопросом, может ли эта группа иметь разрешимую словесную задачу. Но следствием результата Буна-Роджерса является то, что:

Следствие: не существует универсальной решаемой группы словесных задач. То есть, если $G$ — конечно определенная группа, содержащая изоморфную копию каждой конечно представленной группы с разрешимой проблемой слов, тогда $G$ у него самого должна быть неразрешимая проблема со словами.

Примечание: предположим $G=\langle X\,|\,R\rangle$ — конечно определенная группа с разрешимой словесной проблемой и $H$ является конечным подмножеством $G$. Позволять $H^{*}=\langle H\rangle$, группа, порожденная $H$. Тогда слово проблема в $H^{*}$ разрешимо: даны два слова $h,k$ в генераторах $H$ из $H^{*}$, запишите их как слова в $X$ и сравните их, используя решение словесной задачи в $G$. Легко думать, что это демонстрирует равномерное решение проблемы слов для класса $K$ (скажем) конечно порожденных групп, которые можно вложить в $G$. Если бы это было так, из Буна-Роджерса легко следовало бы отсутствие универсальной разрешимой группы проблем со словами. Однако только что представленное решение проблемы слов для групп в $K$ не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим группу $J=\langle Y\,|\,T\rangle \in K$; чтобы использовать приведенный выше аргумент для решения проблемы со словами в $J$, сначала необходимо показать отображение $e:Y\to G$ что распространяется на вложение $e^{*}:J\to G$. Если бы существовала рекурсивная функция, которая отображала (конечно генерировала) представления групп в $K$ к вложениям в $G$, то равномерное решение словесной задачи в $K$ действительно можно построить. Но вообще нет оснований предполагать существование такой рекурсивной функции. Однако оказывается, что, если использовать более изощренный аргумент, проблема слова в $J$ можно решить без использования вложения $e:J\to G$. Вместо этого используется перечисление гомоморфизмов , и, поскольку такое перечисление может быть построено равномерно, оно приводит к равномерному решению проблемы слов в $K$.

что не существует универсальной решаемой группы словесных задач

Предполагать $G$ представляли собой универсальную разрешимую группу словесных задач. Учитывая конечное представление $P=\langle X\,|\,R\rangle$ группы $H$, можно рекурсивно перечислить все гомоморфизмы $h:H\to G$ сначала перечислив все отображения $h^{\dagger }:X\to G$. Не все эти отображения распространяются на гомоморфизмы, но, поскольку $h^{\dagger }(R)$ конечен, можно различать гомоморфизмы и негомоморфизмы, используя решение проблемы слов в $G$. «Отсеивание» негомоморфизмов дает необходимое рекурсивное перечисление: $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n},\ldots$.

Если $H$ имеет разрешимую проблему слов, то хотя бы один из этих гомоморфизмов должен быть вложением. Итак, дано слово $w$ в генераторах $H$:

${\text{If}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ H,\ h_{n}(w)\neq 1\ {\text{in}}\ G\ {\text{for some}}\ h_{n}$

${\text{If}}\ w=1\ {\text{in}}\ H,\ h_{n}(w)=1\ {\text{in}}\ G\ {\text{for all}}\ h_{n}$

Рассмотрим алгоритм, описываемый псевдокодом:

Let n = 0
Let repeatable = TRUE
while (repeatable)
    increase n by 1
    if (solution to word problem in G reveals hn(w) ≠ 1 in G)
        Let repeatable = FALSE
output 0.

Это описывает рекурсивную функцию:

$f(w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ H\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ H.\end{cases}}$

Функция $f$ явно зависит от подачи $P$. Учитывая, что это функция двух переменных, рекурсивная функция $f(P,w)$ было построено, которое принимает конечное представление $P$ для группы $H$ и слово $w$ в генераторах группы $G$, такой, что всякий раз, когда $G$ есть решаемая проблема со словами:

$f(P,w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ H\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ H.\end{cases}}$

Но это равномерно решает проблему слов для класса всех конечно представленных групп с разрешимой проблемой слов, что противоречит Буну-Роджерсу. Это противоречие доказывает $G$ не может существовать.

Алгебраическая структура и проблема со словами

Имеется ряд результатов, связывающих разрешимость проблемы слова и алгебраической структуры. Наиболее важной из них является теорема Буна-Хигмана :

Конечно-представленная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда ее можно вложить в простую группу , которую можно вложить в конечно-представленную группу.

Широко распространено мнение, что необходимо построить конструкцию так, чтобы сама простая группа была конечно представимой. Если это так, можно было бы ожидать, что это будет трудно доказать, поскольку отображение представлений в простые группы должно быть нерекурсивным.

Следующее было доказано Бернхардом Нейманом и Ангусом Макинтайром :

Конечно определенная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в любую алгебраически замкнутую группу .

Примечательно то, что алгебраически замкнутые группы настолько дикие, что ни одна из них не имеет рекурсивного представления.

Самый старый результат, связывающий алгебраическую структуру с разрешимостью проблемы слов, - это теорема Кузнецова:

Рекурсивно представленная простая группа $S$ есть решаемая словесная задача.

Чтобы доказать это, позвольте $\langle X|R\rangle$ быть рекурсивным представлением для $S$. Выберите неидентичный элемент $a\in S$, то есть, $a\neq 1$ в $S$.

Если $w$ это слово о генераторах $X$ из $S$, тогда пусть:

$S_{w}=\langle X|R\cup \{w\}\rangle .$

Есть рекурсивная функция $f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }$ такой, что:

$f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }(x)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x=1\ {\text{in}}\ S_{w}\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ x\neq 1\ {\text{in}}\ S_{w}.\end{cases}}$

Писать:

$g(w,x)=f_{\langle X|R\cup \{w\}\rangle }(x).$

Тогда, поскольку строительство $f$ была однородной, то это рекурсивная функция двух переменных.

Отсюда следует, что: $h(w)=g(w,a)$ является рекурсивным. По конструкции:

$h(w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ a=1\ {\text{in}}\ S_{w}\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ a\neq 1\ {\text{in}}\ S_{w}.\end{cases}}$

С $S$ является простой группой, ее единственными факторгруппами являются она сама и тривиальная группа. С $a\neq 1$ в $S$, мы видим $a=1$ в $S_{w}$ тогда и только тогда, когда $S_{w}$ тривиально тогда и только тогда, когда $w\neq 1$ в $S$. Поэтому:

$h(w)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ w\neq 1\ {\text{in}}\ S\\{\text{undefined/does not halt}}\ &{\text{if}}\ w=1\ {\text{in}}\ S.\end{cases}}$

Существования такой функции достаточно, чтобы доказать разрешимость словесной проблемы для $S$.

Это доказательство не доказывает существования единого алгоритма решения проблемы слов для этого класса групп. Неравномерность заключается в выборе нетривиального элемента простой группы. Нет оснований предполагать, что существует рекурсивная функция, отображающая представление простой группы в нетривиальный элемент группы. Однако в случае конечно представленной группы мы знаем, что не все генераторы могут быть тривиальными (конечно, любой отдельный генератор может быть тривиальным). Используя этот факт, можно модифицировать доказательство и показать:

Проблема слов равномерно разрешима для класса конечно определенных простых групп.

См. также

• Комбинаторика по словам
• SQ-универсальная группа
• Словесная задача (математика)
• Проблема с доступностью
• Вложенные стековые автоматы (использовались для решения словесной проблемы для групп)

Ссылки

• Бун, WW; Каннонито, ФБ; Линдон, Роджер К. (1973). Проблемы со словами: проблемы принятия решений и проблема Бернсайда в теории групп . Исследования по логике и основам математики. Том. 71. Северная Голландия. ISBN  9780720422719 .
• Бун, WW; Хигман, Г. (1974). «Алгебраическая характеристика разрешимости проблемы слова» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . 18 : 41–53. дои : 10.1017/s1446788700019108 .
• Бун, WW; Роджерс-младший, Х. (1966). «О проблеме Дж. Х. Уайтхеда и проблеме Алонсо Чёрча» . Математика. Скан . 19 : 185–192. doi : 10.7146/math.scand.a-10808 .
• Borisov, V. V. (1969), "Simple examples of groups with unsolvable word problem", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki , 6 : 521–532, ISSN  0025-567X , MR  0260851
• Коллинз, Дональд Дж. (1969), «Задачи о словах и сопряжениях в группах только с несколькими определяющими отношениями», Journal of Mathematical Logic and Foundations of Mathematics , 15 (20–22): 305–324, doi : 10.1002/malq. 19690152001 , МР   0263903
• Коллинз, Дональд Дж. (1972), «О теореме вложения группы В. В. Борисова», Бюллетень Лондонского математического общества , 4 (2): 145–147, doi : 10.1112/blms/4.2.145 , ISSN   0024-6093 , МР   0314998
• Коллинз, Дональд Дж. (1986), «Простое представление группы с неразрешимой словесной проблемой», Illinois Journal of Mathematics , 30 (2): 230–234, doi : 10.1215/ijm/1256044631 , ISSN   0019-2082 , MR   0840121
• Коллинз, Дональд Дж.; Цишанг, Х. (1990), Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы , Springer-Verlag , p. 166, МР   1099152
• Ден, Макс (1911), «О бесконечных разрывных группах» , Mathematical Annals , 71 (1): 116–144, doi : 10.1007/BF01456932 , ISSN   0025-5831 , MR   1511645 , S2CID   123478582
• Ден, Макс (1912), «Преобразование кривых на двусторонних поверхностях» , Mathematical Annals , 72 (3): 413–421, doi : 10.1007/BF01456725 , ISSN   0025-5831 , MR   1511705 , S2CID   122988176
• Кузнецов А.В. (1958). «Алгоритмы как операции в алгебраических системах». Известия Акад. Наук СССР сер мат . 13 (3): 81.
• Миллер, CF (1991). «Задачи принятия решений для групп — опрос и размышления» . Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 23. Спрингер. стр. 1–60. дои : 10.1007/978-1-4613-9730-4_1 . ISBN  978-1-4613-9730-4 .
• Нюберг-Бродда, Карл-Фредрик (2021), «Проблема слов для моноидов с одним отношением: обзор», Semigroup Forum , 103 (2): 297–355, arXiv : 2105.02853 , doi : 10.1007/s00233-021-10216 -8
• Ротман, Джозеф (1994), Введение в теорию групп , Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94285-8
• Стиллвелл, Дж. (1982). «Проблема слов и проблема изоморфизма групп» . Вестник АМС . 6 : 33–56. дои : 10.1090/s0273-0979-1982-14963-1 .