Свободная абелева группа

Не путать с группой Free .

В математике свободная абелева группа — это абелева группа с базисом . Быть абелевой группой означает, что это множество сложения, с операцией которая является ассоциативной , коммутативной и обратимой. Базис, также называемый целочисленным базисом , — это подмножество , в котором каждый элемент группы может быть однозначно выражен как целочисленная комбинация конечного числа базисных элементов. Например, двумерная целочисленная решетка образует свободную абелеву группу с покоординатным сложением в качестве операции и с двумя точками (1,0) и (0,1) в качестве основы. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства , и их можно эквивалентно назвать свободными. $\mathbb {Z}$-modules , свободные модули над целыми числами. Теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы вещественных векторных пространств. В алгебраической топологии свободные абелевы группы используются для определения цепных групп , а в алгебраической геометрии они используются для определения дивизоров .

Элементы свободной абелевой группы с базисом $B$можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы свыше $B$, которые являются выражениями вида ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ где каждый $a_{i}$ является ненулевым целым числом, каждый $b_{i}$является отдельным базисным элементом, и сумма имеет конечное число членов. Альтернативно, элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества , содержащие конечное число элементов $B$, причем кратность элемента мультимножества равна его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы — как функцию от $B$целым числам с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция представляет собой поточечное сложение функций.

Каждый набор $B$ имеет свободную абелеву группу с $B$как его основа. Эта группа единственна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны . Вместо того, чтобы строить ее путем описания ее отдельных элементов, свободная абелева группа с базисом $B$ может быть построен как прямая сумма копий аддитивной группы целых чисел, по одной копии на каждый член $B$. Альтернативно, свободная абелева группа с базисом $B$ можно описать презентацией с элементами $B$в качестве его генераторов, а коммутаторы пар членов — в качестве его реляторов. Ранг мощность свободной абелевой группы — это базиса ; каждые две базы одной и той же группы имеют одинаковый ранг, и любые две свободные абелевы группы одного и того же ранга изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор свободной абелевой группы по «отношениям» или как гомоморфизма между коядро инъективного свободными абелевыми группами. Единственные свободные абелевы группы, которые являются свободными группами, — это тривиальная группа и бесконечная циклическая группа .

Определение и примеры

Решетка в евклидовой плоскости . Добавление любых двух синих точек решетки дает еще одну точку решетки; группа, образованная в результате этой операции сложения, является свободной абелевой группой.

Свободная абелева группа — это абелева группа , имеющая базис. Здесь абелева группа означает, что она описывается множеством $S$ его элементов и бинарная операция над $S$, условно обозначаемая как группа аддитивная $+$ символ (хотя это не обязательно должно быть обычное сложение чисел), подчиняющийся следующим свойствам:

• Операция $+$ коммутативен и , ассоциативен что означает для всех элементов $x$, $y$, и $z$ из $S$, $x+y=y+x$ и $(x+y)+z=x+(y+z)$. Поэтому при объединении двух и более элементов $S$ при использовании этой операции порядок и группировка элементов не влияют на результат.
• $S$ содержит идентификационный элемент (условно обозначаемый $0$) со свойством, что для каждого элемента $x$, $x+0=0+x=x$.
• Каждый элемент $x$ в $S$ имеет обратный элемент $-x$, такой, что $x+(-x)=0$.

Базис – это подмножество $B$ элементов $S$ тем свойством, что каждый элемент $S$ можно сформировать единственным образом, выбрав конечное число базисных элементов $b_{i}$ из $B$, выбрав ненулевое целое число $k_{i}$ для каждого из выбранных базовых элементов и складывая вместе $k_{i}$ копии базовых элементов $b_{i}$ для которого $k_{i}$ является положительным, и $-k_{i}$ копии $-b_{i}$ для каждого базового элемента, для которого $k_{i}$ является отрицательным. В частном случае единичный элемент всегда может быть сформирован таким образом как комбинация нулевых базисных элементов в соответствии с обычным соглашением для пустой суммы , и не должно быть возможности найти какую-либо другую комбинацию, представляющую тождество.

Целые числа $\mathbb {Z}$, при обычной операции сложения образуют свободную абелеву группу с базисом $\{1\}$. Целые числа являются коммутативными и ассоциативными, с 0 в качестве аддитивной идентичности и с каждым целым числом, имеющим аддитивную обратную величину , его отрицание. Каждый неотрицательный $x$ это сумма $x$ копии ​ $1$, и каждое отрицательное целое число $x$ это сумма $-x$ копии ​ $-1$, поэтому базовое свойство также удовлетворяется.

Примером того, где групповая операция отличается от обычного сложения чисел, являются положительные рациональные числа. $\mathbb {Q} ^{+}$, которые образуют свободную абелеву группу с обычной операцией умножения чисел и с простыми числами в качестве основы. Умножение коммутативно и ассоциативно, причем число $1$ как его идентичность и с $1/x$ как обратный элемент для каждого положительного рационального числа $x$. Тот факт, что простые числа образуют основу для умножения этих чисел, следует из фундаментальной теоремы арифметики , согласно которой каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на множители в произведение конечного числа простых чисел или их обратных чисел. Если $q=a/b$ — положительное рациональное число, выраженное простейшим образом, то $q$ может быть выражено как конечная комбинация простых чисел, входящих в факторизацию $a$ и $b$. Количество копий каждого простого числа, используемого в этой комбинации, является его показателем при факторизации $a$, или отрицание его показателя при факторизации $b$.

Полиномы ​ одной переменной $x$с целыми коэффициентами образуют свободную абелеву группу при полиномиальном сложении со степенями $x$в качестве основы. Как абстрактная группа, это то же самое, что ( изоморфная группа) мультипликативная группа положительных рациональных чисел. Один из способов сопоставить эти две группы друг с другом, показав, что они изоморфны, — это переосмыслить показатель степени. $i$простое число в мультипликативной группе рациональных чисел, которое вместо этого дает коэффициент при $x^{i-1}$в соответствующем многочлене или наоборот. Например, рациональное число $5/27$ имеет показатели $0,-3,1$ для первых трёх простых чисел $2,3,5$ и, таким образом, будет соответствовать многочлену $-3x+x^{2}$ имеющие одинаковые коэффициенты $0,-3,1$для его постоянных, линейных и квадратичных членов. Поскольку эти отображения просто интерпретируют одни и те же числа, они определяют биекцию между элементами двух групп. А поскольку групповая операция умножения положительных рациональных чисел действует аддитивно на показатели степеней простых чисел точно так же, как групповая операция сложения многочленов действует на коэффициенты многочленов, эти отображения сохраняют структуру группы; они являются гомоморфизмами . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, и его существование показывает, что эти две группы обладают одинаковыми свойствами.

Хотя представление каждого элемента группы в терминах данного базиса уникально, свободная абелева группа обычно имеет более одного базиса, и разные базисы обычно приводят к разным представлениям ее элементов. Например, если заменить любой элемент базиса обратным ему, получится другой базис. В качестве более сложного примера можно привести двумерную целочисленную решетку . $\mathbb {Z} ^{2}$, состоящая из точек плоскости с целыми декартовыми координатами свободную абелеву группу , образует при сложении векторов с базисом $\{(1,0),(0,1)\}$. Для этого элемент $(4,3)$ можно написать $(4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)$, где «умножение» определяется так, что, например, $\ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)$. Другого способа написать нет $(4,3)$на той же основе. Однако на другой основе, например, $\{(1,0),(1,1)\}$, это можно записать как $(4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)$. Обобщая этот пример, каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу. $d$-мерная целочисленная решетка $\mathbb {Z} ^{d}$ имеет естественный базис, состоящий из положительных целых единичных векторов , но у него также есть много других базисов: если $M$ это $d\times d$ целочисленная матрица с определителем $\pm 1$, то строки $M$ образуют базис, и наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет этот вид. Дополнительную информацию о двумерном случае см. в разделе « Фундаментальная пара периодов» .

Конструкции

Каждое множество может быть базисом свободной абелевой группы, единственной с точностью до групповых изоморфизмов. Свободная абелева группа для данного базисного набора может быть построена несколькими различными, но эквивалентными способами: как прямая сумма копий целых чисел, как семейство целочисленных функций, как знаковое мультимножество или путем представления группы. .

Произведения и суммы

Прямое произведение групп состоит из наборов элементов каждой группы в произведении с покомпонентным сложением. Прямое произведение двух свободных абелевых групп само по себе является свободным абелевым, а базис представляет собой непересекающееся объединение базисов двух групп. В более общем смысле, прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. $d$-мерная целочисленная решетка, например, изоморфна прямому произведению $d$ копии целочисленной группы $\mathbb {Z}$. Тривиальная группа $\{0\}$ также считается свободным абелевым с базой пустого множества . Его можно интерпретировать как пустой продукт , прямой продукт нулевых копий $\mathbb {Z}$.

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение не обязательно является свободным абелевым. Например, группа Бэра – Спекера $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$, неисчислимая группа , образовавшаяся как прямой продукт счетного копий числа $\mathbb {Z}$, как было показано в 1937 году Рейнхольдом Баером, не является свободным абелевым, хотя Эрнст Шпекер доказал в 1950 году, что все ее счетные подгруппы свободны абелевы. Вместо этого, чтобы получить свободную абелеву группу из бесконечного семейства групп, следует использовать прямую сумму , а не прямое произведение. Прямая сумма и прямое произведение одинаковы, когда они применяются к конечному числу групп, но различаются в бесконечных семействах групп. В прямой сумме элементы снова представляют собой кортежи элементов из каждой группы, но с ограничением, что все эти элементы, кроме конечного числа, являются тождественными для своей группы. Прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой. Он имеет основу, состоящую из кортежей, в которых все элементы, кроме одного, являются единицами, а оставшийся элемент является частью основы своей группы.

Любую свободную абелеву группу можно описать как прямую сумму копий $\mathbb {Z}$, по одному экземпляру для каждого члена его базы. Эта конструкция позволяет любому набору $B$ стать основой свободной абелевой группы.

Целочисленные функции и формальные суммы

Учитывая набор $B$, можно определить группу $\mathbb {Z} ^{(B)}$ элементы которого являются функциями от $B$к целым числам, где скобка в верхнем индексе указывает, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. Если $f(x)$ и $g(x)$ две такие функции, то $f+g$ это функция, значения которой являются суммами значений в $f$ и $g$: то есть, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Эта поточечного сложения дает операция $\mathbb {Z} ^{(B)}$ строение абелевой группы.

Каждый элемент $x$ из данного набора $B$ члену соответствует $\mathbb {Z} ^{(B)}$, функция $e_{x}$ для которого $e_{x}(x)=1$ и для чего $e_{x}(y)=0$ для всех $y\neq x$. Каждая функция $f$ в $\mathbb {Z} ^{(B)}$ является однозначной линейной комбинацией конечного числа базисных элементов:

$$f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.$$

Таким образом, эти элементы $e_{x}$ составить основу для $\mathbb {Z} ^{(B)}$, и $\mathbb {Z} ^{(B)}$является свободной абелевой группой. Таким образом, каждый набор $B$ можно положить в базис свободной абелевой группы.

Элементы $\mathbb {Z} ^{(B)}$ также могут быть записаны в виде формальных сумм , выражений в виде суммы конечного числа членов, где каждый член записывается как произведение ненулевого целого числа с отдельным членом $B$. Эти выражения считаются эквивалентными, если они содержат одинаковые термины, независимо от порядка терминов, и их можно добавлять путем образования объединения терминов, добавления целочисленных коэффициентов для объединения терминов с одним и тем же базисным элементом и удаления терминов, для которых эта комбинация дает нулевой коэффициент. Их также можно интерпретировать как знаковые мультимножества конечного числа элементов . $B$.

Презентация

Представление группы — это набор элементов, которые порождают группу (это означает, что все элементы группы могут быть выражены как произведения конечного числа генераторов) вместе с «реляторами», продуктами генераторов, которые дают единичный элемент. Элементы группы, определенные таким образом, представляют собой классы эквивалентности последовательностей образующих и их обратных значений при отношении эквивалентности , которое позволяет вставлять или удалять любую пару отношения или пары, обращенной к генератору, как непрерывную подпоследовательность. Свободная абелева группа с базисом $B$ имеет представление, в котором генераторы являются элементами $B$, а реляторы являются коммутаторами пар элементов $B$. Здесь коммутатор из двух элементов $x$ и $y$ это продукт $x^{-1}y^{-1}xy$; установка этого продукта на идентичность причин $xy$ в равной $yx$, так что $x$ и $y$добираться. В более общем смысле, если все пары генераторов коммутируют, то и все пары произведений генераторов также коммутируют. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, и реляторы представления образуют минимальный набор соотношений, необходимый для того, чтобы оно было абелевым.

Когда набор образующих конечен, представление свободной абелевой группы также конечно, поскольку в представление можно включить лишь конечное число различных коммутаторов. Этот факт, а также тот факт, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой ( ниже ), можно использовать, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. Ибо, если $G$ конечно порождается множеством $B$, это фактор свободной абелевой группы по $B$ свободной абелевой подгруппой, подгруппой, порожденной связями представления $G$. Но так как эта подгруппа сама является свободной абелевой, то она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над $B$) образует конечное множество соотношений для представления $G$.

В качестве модуля

Модули скалярного над целыми числами определяются аналогично векторным пространствам над действительными или рациональными числами : они состоят из систем элементов, которые можно складывать друг с другом, с операцией умножения на целые числа, совместимой с этой операцией сложения. Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль целых чисел со скалярной операцией умножения, определяемой следующим образом:

$0\,x=0$
$1\,x=x$
$n\,x=x+(n-1)\,x,\quad$	если $n>1$
$n\,x=-((-n)\,x),$	если $n<0$

Однако, в отличие от векторных пространств, не все абелевы группы имеют базис, поэтому те, у которых он есть, получили специальное название «свободные». — Свободный модуль это модуль, который можно представить в виде прямой суммы по его базовому кольцу , поэтому свободные абелевы группы и свободные $\mathbb {Z}$-модули являются эквивалентными понятиями: каждая свободная абелева группа (с учетом вышеописанной операции умножения) является свободной $\mathbb {Z}$-модуль, и каждый бесплатный $\mathbb {Z}$ -модуль происходит из свободной абелевой группы. Таким образом, Помимо прямой суммы, еще один способ объединить свободные абелевы группы — использовать произведение тензорное $\mathbb {Z}$-модули. Тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда является свободным абелевым, базис которого является декартовым произведением базисов двух групп в произведении.

Многие важные свойства свободных абелевых групп могут быть обобщены на свободные модули над областью главных идеалов . Например, подмодули свободных модулей в областях главных идеалов свободны, и этот факт, как пишет Хэтчер (2002), позволяет «автоматическое обобщение» гомологического механизма на эти модули. Кроме того, теорема о том, что каждый проективный $\mathbb {Z}$-модуль свободен, обобщает таким же образом.

Свойства

Универсальная собственность

Свободная абелева группа $F$ с основой $B$ обладает следующим универсальным свойством : для каждой функции $f$ от $B$ в абелеву группу $A$, существует единственный гомоморфизм группы из $F$ к $A$ который простирается $f$. Здесь гомоморфизм группы — это отображение одной группы в другую, которое согласуется с законом группового произведения: выполнение произведения до или после отображения дает один и тот же результат. По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «абелева группа базы» $B$единственна с точностью до изоморфизма. Следовательно, универсальное свойство можно использовать как определение свободной абелевой группы основания. $B$. Единственность группы, определяемой этим свойством, показывает, что все остальные определения эквивалентны.

Именно из-за этого универсального свойства свободные абелевы группы называются «свободными»: они являются свободными объектами в категории абелевых групп , категории , которая имеет абелевы группы в качестве своих объектов и гомоморфизмы в качестве своих стрелок. Отображение базиса в его свободную абелеву группу представляет собой функтор , сохраняющее структуру отображение категорий множеств в абелевы группы, и сопряжено с функтором забывания из абелевых групп в множества. Однако свободная абелева группа не за является свободной группой, исключением двух случаев: свободная абелева группа, имеющая пустой базис (нулевой ранг, дающий тривиальную группу ) или имеющая только один элемент в базисе (первый ранг, дающий бесконечную циклическую группу). ). Другие абелевы группы не являются свободными группами, поскольку в свободных группах $ab$ должно отличаться от $ba$ если $a$ и $b$являются разными элементами базиса, тогда как в свободных абелевых группах два произведения должны быть одинаковыми для всех пар элементов. В общей категории групп дополнительным ограничением является требование, чтобы $ab=ba$, тогда как это необходимое свойство в категории абелевых групп.

Ранг

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковую мощность , поэтому мощность базиса образует инвариант группы, известный как ее ранг. Две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ранг равен конечному числу. $n$, и в этом случае группа изоморфна $\mathbb {Z} ^{n}$.

Это понятие ранга можно обобщить от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно свободны. Ранг абелевой группы $G$ определяется как ранг свободной абелевой подгруппы $F$ из $G$ для которого факторгруппа $G/F$является торсионной группой . Эквивалентно, это мощность максимального подмножества $G$который генерирует свободную подгруппу. Ранг является групповым инвариантом: он не зависит от выбора подгруппы.

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричарда Дедекинда был предшественником аналогичной теоремы Нильсена-Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы является бесконечной циклической . Для доказательства нужна аксиома выбора . Доказательство с использованием леммы Цорна (одного из многих предположений, эквивалентных выбранной аксиоме) можно найти в Сержа Ланга » «Алгебре . Соломон Лефшец и Ирвинг Каплански утверждают, что использование принципа хорошего порядка вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству.

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если $G$ является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы $F$, затем $G$ бесплатно и существует основа $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ из $F$ и положительные целые числа $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ (то есть каждый из них делит следующий) такой, что $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ является основой $G.$ Более того, последовательность $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ зависит только от $F$ и $G$ и не на основании. Конструктивное доказательство существования части теоремы обеспечивается любым алгоритмом, вычисляющим нормальную форму Смита матрицы целых чисел. Единственность следует из того, что для любого $r\leq k$, наибольший общий младших рангов делитель $r$ матрицы не изменяется во время вычисления нормальной формы Смита и является произведением $d_{1}\cdots d_{r}$ в конце вычислений.

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы не имеют кручения , что означает отсутствие неединичного элемента группы. $x$ и ненулевое целое число $n$ такой, что $nx=0$. И наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми.

Аддитивная группа рациональных чисел $\mathbb {Q}$ дает пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. Одна из причин, по которой $\mathbb {Q}$ не является свободным абелевым, состоит в том, что он делится , а это означает, что для каждого элемента $x\in \mathbb {Q}$ и каждое ненулевое целое число $n$, можно выразить $x$ как скалярное кратное $ny$ другого элемента $y=x/n$. Напротив, нетривиальные свободные абелевы группы никогда не делятся, потому что в свободной абелевой группе базисные элементы не могут быть выражены как кратные другим элементам.

Симметрия

Симметрии любой группы можно описать как групповые автоморфизмы , обратимые гомоморфизмы группы в себя. В неабелевых группах они подразделяются на внутренние и внешние автоморфизмы, но в абелевых группах все нетождественные автоморфизмы являются внешними. они образуют другую группу — группу автоморфизмов данной группы При операции композиции . Группа автоморфизмов свободной абелевой группы конечного ранга $n$ — общая линейная группа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$, которое можно конкретно (для конкретного базиса группы свободных автоморфизмов) описать как множество $n\times n$обратимые целочисленные матрицы при операции матричного умножения . Их действие как симметрии на свободной абелевой группе. $\mathbb {Z} ^{n}$ это просто умножение матрицы на вектор.

Группы автоморфизмов двух свободных абелевых групп бесконечного ранга имеют одинаковые теории первого порядка друг с другом тогда и только тогда, когда их ранги являются эквивалентными кардиналами с точки зрения логики второго порядка . Этот результат зависит от структуры инволюций свободных абелевых групп, автоморфизмов, обратных самим себе. Имея базис свободной абелевой группы, можно найти инволюции, которые отображают любой набор непересекающихся пар базисных элементов друг в друга или отрицают любое выбранное подмножество базисных элементов, оставляя остальные базисные элементы фиксированными. И наоборот, для каждой инволюции свободной абелевой группы можно найти базис группы, для которого все базисные элементы попарно заменены местами, отброшены или оставлены неизменными инволюцией.

Отношение к другим группам

Если свободная абелева группа является фактором двух групп $A/B$, затем $A$ это прямая сумма $B\oplus A/B$.

Дана произвольная абелева группа $A$, всегда существует свободная абелева группа $F$ и сюръективный групповой гомоморфизм из $F$ к $A$. Один из способов построения сюръекции на заданную группу $A$ это позволить $F=\mathbb {Z} ^{(A)}$ быть свободной абелевой группой над $A$, представленные в виде формальных сумм. Тогда можно определить сюръекцию путем отображения формальных сумм в $F$ соответствующим суммам членов $A$. То есть сюръективные отображения

$$\sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,$$

где $a_{x}$ целочисленный коэффициент базисного элемента $e_{x}$в данной формальной сумме, первая сумма находится в $F$, а вторая сумма находится в $A$. Эта сюръекция представляет собой единственный групповой гомоморфизм, расширяющий функцию $e_{x}\mapsto x$, и поэтому его конструкцию можно рассматривать как пример универсального свойства.

Когда $F$ и $A$ такие же, как указано выше, ядро $G$ сюръективности от $F$ к $A$ также является свободной абелевой, так как является подгруппой $F$(подгруппа элементов, сопоставленных с идентичностью). Следовательно, эти группы образуют короткую точную последовательность

$$0\to G\to F\to A\to 0$$

в котором $F$ и $G$ являются свободными абелевыми и $A$ изоморфна фактор- группе $F/G$. Это свободное решение $A$. Более того, предполагая аксиому выбора, свободные абелевы группы — это в точности проективные объекты в категории абелевых групп .

Приложения

Алгебраическая топология

Основная статья: Цепочка (алгебраическая топология)

В алгебраической топологии формальная сумма $k$-мерный простой называется $k$-цепь и свободная абелева группа, имеющая набор $k$-симплексы, поскольку их основа называется цепной группой. Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства , например, как набор $k$-симплексы в симплициальном комплексе , или множество особых $k$-симплексы в многообразии . Любой $k$-мерный симплекс имеет границу, которую можно представить в виде формальной суммы $(k-1)$-мерные симплексы, а универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет расширить этот граничный оператор до группового гомоморфизма из $k$-цепи к $(k-1)$-цепи. Система цепных групп, связанных таким образом граничными операторами, образует цепной комплекс , и изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии .

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ

Основная статья: Дивизор (алгебраическая геометрия)

Рациональная функция $z^{4}/(z^{4}-1)$ имеет ноль четвертого порядка в 0 (черная точка в центре графика) и простые полюса в четырех комплексных числах. $\pm 1$ и $\pm i$(белые точки на концах четырех лепестков). Его можно представить (с точностью до скаляра) делителем $4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}$ где $e_{z}$ является базовым элементом комплексного числа $z$ в свободной абелевой группе над комплексными числами.

Каждой рациональной функции над комплексными числами можно сопоставить знаковое мультимножество комплексных чисел. $c_{i}$, нули и полюса функции (точки, где ее значение равно нулю или бесконечно). Множественность $m_{i}$точки в этом мультимножестве — это ее порядок как нуля функции или отрицание ее порядка как полюса. Тогда по этим данным можно восстановить саму функцию с точностью до скалярного множителя, как

$$f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.$$

Если эти мультимножества интерпретировать как члены свободной абелевой группы над комплексными числами, то произведение или частное двух рациональных функций соответствует сумме или разности двух членов группы. Таким образом, мультипликативную группу рациональных функций можно разложить на мультипликативную группу комплексных чисел (соответствующие скалярные множители для каждой функции) и свободную абелеву группу над комплексными числами. Рациональные функции, имеющие ненулевое предельное значение на бесконечности ( мероморфные функции на сфере Римана ), образуют подгруппу этой группы, в которой сумма кратностей равна нулю.

Эта конструкция была обобщена в алгебраической геометрии до понятия дивизора . Существуют разные определения дивизоров, но в целом они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один алгебраического многообразия , множества точек решения системы полиномиальных уравнений . В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическую кривую или риманову поверхность ), подмногообразие имеет коразмерность единицу, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек от сорта. Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, а их делители образуют подгруппу свободной абелевой группы над точками поверхности, причем умножение или деление функций соответствует сложению или вычитанию элементов группы. Чтобы быть дивизором, элемент свободной абелевой группы должен иметь кратность, равную нулю, и удовлетворять определенным дополнительным ограничениям, зависящим от поверхности.

Групповые кольца

Целое групповое кольцо $\mathbb {Z} [G]$, для любой группы $G$, — кольцо, аддитивной группой которого является свободная абелева группа над $G$. Когда $G$ конечна и абелева , мультипликативная группа единиц в $\mathbb {Z} [G]$ имеет структуру прямого произведения конечной группы и конечно порожденной свободной абелевой группы.