Точная последовательность

Иллюстрация точной последовательности групп $G_{i}$ с помощью диаграмм Эйлера .

Точная последовательность — это последовательность морфизмов между объектами (например, группами , кольцами , модулями и, в более общем плане, объектами абелевой категории ) такая, что образ одного морфизма равен ядру следующего.

Определение

В контексте теории групп последовательность

$G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}$

групп и групповых гомоморфизмов называется точным при $G_{i}$ если $\operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})$. Последовательность называется точной , если она точна в каждом $G_{i}$ для всех $1\leq i<n$, т. е. если образ каждого гомоморфизма равен ядру следующего.

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть как конечной, так и бесконечной.

Аналогичное определение можно дать и для других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей . В более общем плане понятие точной последовательности имеет смысл в любой категории с ядрами и коядрами , и особенно в абелевых категориях , где оно широко используется.

Простые случаи

Чтобы понять определение, полезно рассмотреть относительно простые случаи, когда последовательность состоит из гомоморфизмов групп, конечна и начинается или заканчивается тривиальной группой . Традиционно это, наряду с единственным единичным элементом, обозначается 0 (аддитивная запись, обычно когда группы абелевы) или 1 (мультипликативная запись).

• последовательность 0 → A → B. Рассмотрим Образ самой левой карты равен 0. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда самая правая карта (от A до B ) имеет ядро ​​{0}; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является мономорфизмом (инъективным или взаимно однозначным).
• Рассмотрим двойственную последовательность B → C → 0. Ядро самого правого отображения — это C . Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда образ самого левого отображения (от B до C ) полностью принадлежит C ; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является эпиморфизмом (сюръективным или онто).
• Следовательно, последовательность 0 → X → Y → 0 точна тогда и только тогда, когда отображение X в Y является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом (то есть биморфизмом ), и поэтому обычно изоморфизмом из X в Y (это всегда справедливо в точных категориях, таких как Set ).

Короткая точная последовательность

Короткие точные последовательности — это точные последовательности вида

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.$

Как установлено выше, для любой такой короткой точной последовательности f — мономорфизм, а g — эпиморфизм. Более того, образ f равен ядру g . Полезно думать об A как о подобъекте B , с f встраивающим A в B , и о C как о соответствующем фактор-объекте (или факторе ), B / A , с g , индуцирующим изоморфизм.

$C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)$

Короткая точная последовательность

$0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,$

называется расщеплением , если существует гомоморфизм h : C → B такой, что композиция g ∘ h является тождественным отображением на C . Отсюда следует, что если это абелевы группы , B изоморфна прямой сумме A то и C :

$B\cong A\oplus C.$

Длинная точная последовательность

Общую точную последовательность иногда называют длинной точной последовательностью , чтобы отличить ее от частного случая короткой точной последовательности.

Длинная точная последовательность эквивалентна семейству коротких точных последовательностей в следующем смысле: если задана длинная последовательность

$A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},$ (1)

при n ≥ 2 мы можем разбить его на короткие последовательности

${\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}$ (2)

где $K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})$ для каждого $i$. По построению последовательности (2) точны в $K_{i}$(независимо от точности (1) ). Более того, (1) является длинной точной последовательностью тогда и только тогда, когда (2) являются короткими точными последовательностями.

Примеры

Целые числа по модулю два

Рассмотрим следующую последовательность абелевых групп:

$\mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$

Первый гомоморфизм отображает каждый элемент i в множестве целых чисел Z в элемент 2 i в Z . Второй гомоморфизм отображает каждый элемент i в Z в элемент j в факторгруппе; то есть j = i mod 2 . Вот крючок-стрелка $\hookrightarrow$ указывает, что отображение 2× из Z в Z является мономорфизмом, а двусторонняя стрелка $\twoheadrightarrow$указывает на эпиморфизм (карта mod 2). Это точная последовательность, поскольку образ 2 Z мономорфизма является ядром эпиморфизма. По существу «та же самая» последовательность может быть записана как

$2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$

В этом случае мономорфизм равен 2 n ↦ 2 n , и хотя он выглядит как тождественная функция, он не является онтоном (то есть не эпиморфизмом), поскольку нечетные числа не принадлежат 2 Z . Однако образ 2 Z посредством этого мономорфизма является точно тем же подмножеством Z , что и образ Z через n ↦ 2 n , использованный в предыдущей последовательности. Эта последняя последовательность действительно отличается конкретной природой своего первого объекта от предыдущей, поскольку 2 Z не является тем же множеством, что и Z, даже несмотря на то, что они изоморфны как группы.

Первую последовательность можно записать и без использования специальных символов мономорфизма и эпиморфизма:

$0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0$

Здесь 0 обозначает тривиальную группу, отображение Z в Z представляет собой умножение на 2, а отображение Z в фактор-группу Z /2 Z задается сокращением целых чисел по модулю 2. Это действительно точная последовательность:

• образ отображения 0 → Z равен {0}, а ядро ​​умножения на 2 также равно {0}, поэтому последовательность точна в первом Z .
• образ умножения на 2 равен 2 Z , а ядро ​​приведения по модулю 2 также равно 2 , поэтому последовательность точна во втором Z. Z
• образ сокращения по модулю 2 равен Z /2 Z , а ядро ​​нулевого отображения также равно Z /2 Z , поэтому последовательность точна в позиции / 2 Z. Z

Первая и третья последовательности представляют собой своего рода особый случай из-за бесконечной Z. природы невозможно Конечную группу отобразить путем включения (то есть мономорфизма) в собственную подгруппу самой себя. Вместо этого последовательность, вытекающая из первой теоремы об изоморфизме, имеет вид

$1\to N\to G\to G/N\to 1$

(здесь тривиальная группа обозначается $1,$ поскольку эти группы не должны быть абелевыми ).

В качестве более конкретного примера точной последовательности на конечных группах:

$1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1$

где $C_{n}$ циклическая группа порядка n и $D_{2n}$ — группа диэдра порядка 2 n , которая является неабелевой группой.

Пересечение и сумма модулей

Пусть I и J — два идеала кольца R . Затем

$0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0$

является точной последовательностью R -модулей, где гомоморфизм модулей $I\cap J\to I\oplus J$ отображает каждый элемент x из $I\cap J$ к элементу $(x,x)$ прямой суммы $I\oplus J$, и гомоморфизм $I\oplus J\to I+J$ отображает каждый элемент $(x,y)$ из $I\oplus J$ к $x-y$.

Эти гомоморфизмы являются ограничениями аналогично определенных гомоморфизмов, образующих короткую точную последовательность

$0\to R\to R\oplus R\to R\to 0$

Переход к фактормодулям дает другую точную последовательность

$0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0$

Град, локон и деление в дифференциальной геометрии

Другой пример может быть получен из дифференциальной геометрии , особенно актуальной для работы над уравнениями Максвелла .

Рассмотрим гильбертово пространство $L^{2}$ скалярнозначных функций, интегрируемых с квадратом в трех измерениях $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \right\rbrace$. Взяв градиент функции $f\in \mathbb {H} _{1}$ перемещает нас к подмножеству $\mathbb {H} _{3}$, пространство векторнозначных, все еще интегрируемых с квадратом функций в той же области $\left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace$— в частности, набор таких функций, представляющих консервативные векторные поля. (Обобщенная теорема Стокса сохранила интегрируемость.)

Во-первых, обратите внимание, что ротор всех таких полей равен нулю, поскольку

$\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)\equiv \nabla \times (\nabla f)=0$

для всех таких ф . Однако это лишь доказывает, что образ градиента является подмножеством ядра ротора. Чтобы доказать, что на самом деле это одно и то же множество, докажите обратное: если ротор векторного поля ${\vec {F}}$ равно 0, тогда ${\vec {F}}$— градиент некоторой скалярной функции. Это почти сразу следует из теоремы Стокса (см. доказательство при консервативной силе ). Тогда образ градиента является в точности ядром ротора, и поэтому мы можем затем принять ротор в качестве нашего следующего морфизма, что снова приведет нас к (различное) подмножество $\mathbb {H} _{3}$.

Аналогично заметим, что

$\operatorname {div} \left(\operatorname {curl} {\vec {v}}\right)\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0,$

поэтому образ локона является подмножеством ядра дивергенции . Обратное утверждение несколько сложнее (для общего случая см. лемму Пуанкаре ):

показывать Доказательство того, что $\operatorname {div} {\vec {F}}$ = 0 подразумевает ${\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}$ для некоторых ${\vec {A}}$

We shall proceed by construction: given a vector field ${\vec {F}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}$ such that $\nabla \cdot {\vec {F}}=0$, we produce a field ${\vec {A}}$ such that ${\begin{aligned}\nabla \times {\vec {A}}&=\left(\partial _{y}A_{z}-\partial _{z}A_{y}\right){\hat {i}}+\left(\partial _{z}A_{x}-\partial _{x}A_{z}\right){\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}\right){\hat {k}}\\&=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}={\vec {F}}\end{aligned}}$ First, note that since as proved above $\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=0$, we can add the gradient of any scalar function to ${\vec {A}}$ without changing the curl. We can use this gauge freedom to set any one component of ${\vec {A}}$ to zero without changing its curl; choosing arbitrarily the z-component, we thus require simply that $-\partial _{z}A_{y}{\hat {i}}+\partial _{z}A_{x}{\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}\right){\hat {k}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}$ Then by simply integrating the first two components, and noting that the 'constant' of integration may still depend on any variable not integrated over, we find that ${\begin{aligned}A_{x}&=\int F_{y}dz+{\vec {C_{1}}}(x,y)\\A_{y}&=-\int F_{x}dz+{\vec {C_{2}}}(x,y)\end{aligned}}$ Note that since the two integration terms ${\vec {C_{1}}},{\vec {C_{2}}}$ both depend only on x and y and not on z, then we can add another gradient of some function $f(x,y)$ that also does not depend on z. This permits us to eliminate either of the terms in favor of the other, without spoiling our earlier work that set $A_{z}$ to zero. Choosing to eliminate ${\vec {C_{1}}}$ and applying the last component as a constraint, we have ${\begin{aligned}-\partial _{x}\int F_{x}dz+\partial _{x}{\vec {C_{2}}}(x,y)-\partial _{y}\int F_{y}dz&=F_{z}\\-\int \left(\partial _{x}F_{x}+\partial _{y}F_{y}\right)dz+\partial _{x}{\vec {C_{2}}}(x,y)&=F_{z}\end{aligned}}$ By assumption, $\operatorname {div} {\vec {F}}=\partial _{x}F_{x}+\partial _{y}F_{y}+\partial _{z}F_{z}=0$, and so $\int \partial _{z}F_{z}dz+\partial _{x}{\vec {C_{2}}}(x,y)=F_{z}$ Since the fundamental theorem of calculus requires that the first term above be precisely $F_{z}$ plus a constant in z, a solution to the above system of equations is guaranteed to exist.

Доказав таким образом, что образ ротора и есть ядро ​​дивергенции, этот морфизм, в свою очередь, возвращает нас к пространству, с которого мы начали. $L^{2}$. Поскольку по определению мы попали в пространство интегрируемых функций, любую такую ​​функцию можно (по крайней мере формально) проинтегрировать, чтобы создать векторное поле, дивергенция которого является этой функцией - поэтому образ дивергенции представляет собой совокупность $L^{2}$, и мы можем завершить нашу последовательность:

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {div} } } L^{2}\to 0$

Эквивалентно, мы могли бы рассуждать наоборот: в односвязном пространстве векторное поле без ротора (поле в ядре ротора) всегда может быть записано как градиент скалярной функции (и, таким образом, находится в образе градиент). Точно так же соленоидальное векторное поле можно записать как ротор другого поля. (Таким образом, при рассуждениях в этом направлении используется тот факт, что трехмерное пространство топологически тривиально.)

Эта короткая точная последовательность также позволяет гораздо более короткое доказательство справедливости разложения Гельмгольца , которое не опирается на векторное исчисление методом грубой силы. Рассмотрим подпоследовательность

$0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \operatorname {im} (\operatorname {curl} )\to 0.$

Поскольку дивергенция градиента является лапласианом и поскольку гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, можно натянуть на собственные функции лапласиана, мы уже видим, что некоторое обратное отображение $\nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}$должен существовать. Чтобы явно построить такое обратное, мы можем начать с определения векторного лапласиана

$\nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)$

Поскольку мы пытаемся построить тождественное отображение, составив некоторую функцию с градиентом, мы знаем, что в нашем случае $\nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} \left({\vec {A}}\right)=0$. Тогда если мы возьмем расхождение обеих сторон

${\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\\end{aligned}}$

мы видим, что если функция является собственной функцией векторного лапласиана, ее дивергенция должна быть собственной функцией скалярного лапласиана с тем же собственным значением. Затем мы можем построить нашу обратную функцию $\nabla ^{-1}$ просто сломав любую функцию в $\mathbb {H} _{3}$в векторный собственный базис Лапласа, масштабируя каждый на величину, обратную их собственному значению, и беря расхождение; действие $\nabla ^{-1}\circ \nabla$таким образом, это явно тождество. по лемме о расщеплении Таким образом ,

$\mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )$,

или, что то же самое, любое интегрируемое с квадратом векторное поле на $\mathbb {R} ^{3}$ можно разбить на сумму градиента и завитка — что мы и намеревались доказать.

Свойства

Лемма о расщеплении утверждает, что для короткой точной последовательности

$0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0,$ следующие условия эквивалентны.

• Существует морфизм t : B → A такой, что t ∘ f тождественно на A .
• Существует морфизм u : C → B такой, что g ∘ u тождественно на C .
• Существует морфизм u : C → B такой, что B является прямой суммой f ( A ) и u ( C ) .

Для некоммутативных групп лемма о расщеплении не применима, и имеется только эквивалентность между двумя последними условиями, с заменой «прямой суммы» на « полупрямое произведение ».

В обоих случаях говорят, что такая короткая точная последовательность расщепляется .

Лемма о змее показывает, как коммутативная диаграмма с двумя точными строками порождает более длинную точную последовательность. Девятая лемма представляет собой частный случай.

Пятая лемма дает условия, при которых среднее отображение в коммутативной диаграмме с точными строками длины 5 является изоморфизмом; Лемма о коротких пяти является ее частным случаем, применимым к коротким точным последовательностям.

Важность коротких точных последовательностей подчеркивается тем фактом, что каждая точная последовательность получается в результате «сплетения» нескольких перекрывающихся коротких точных последовательностей. Рассмотрим, например, точную последовательность

$A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}$

существуют объекты C _k откуда следует, что в категории такие, что

$C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})$.

Предположим, кроме того, что коядро каждого морфизма существует и изоморфно образу следующего морфизма в последовательности:

$C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})$

(Это верно для ряда интересных категорий, включая любую абелеву категорию, такую ​​как абелевы группы; но это не верно для всех категорий, допускающих точные последовательности, и, в частности, неверно для категории групп , в которых coker( f ) : G → H — это не H /im( f ), а $H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}$, фактор H по сопряженному замыканию im( f ).) Тогда мы получаем коммутативную диаграмму, в которой все диагонали представляют собой короткие точные последовательности:

Единственная часть этой диаграммы, которая зависит от условия коядра, — это объект ${\textstyle C_{7}}$ и последняя пара морфизмов ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$. Если существует какой-либо объект $A_{k+1}$ и морфизм $A_{k}\to A_{k+1}$ такой, что $A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}$ точно, то точность $0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0$обеспечено. Опять же, если взять пример категории групп, то из того факта, что im( f ) является ядром некоторого гомоморфизма на H, следует, что это нормальная подгруппа , совпадающая с ее сопряженным замыканием; таким образом, coker( f ) изоморфен образу H /im( f ) следующего морфизма.

И наоборот, для любого списка перекрывающихся коротких точных последовательностей их средние члены таким же образом образуют точную последовательность.

точных

В теории абелевых категорий короткие точные последовательности часто используются как удобный язык для разговоров о подобъектах и ​​факторных объектах.

по Проблема расширения, существу, представляет собой вопрос: « при наличии конечных членов A и C короткой точной последовательности Какие возможности существуют для среднего термина B ?» В категории групп это эквивалентно вопросу: какие группы B имеют A как нормальную подгруппу и C как соответствующую факторгруппу? Эта проблема важна при классификации групп . См. также Внешнюю группу автоморфизмов .

что в точной последовательности композиция fi _{Обратите внимание , +1} ∘ fi _{отображает} в A _i 0 в A _{i +2} , поэтому каждая точная последовательность является цепным комплексом . Более того, только f _i -образы элементов A _i отображаются в 0 с помощью +1 _{fi ,} поэтому гомологии этого цепного комплекса тривиальны. Более кратко:

Точные последовательности — это именно те цепные комплексы, которые являются ациклическими .

Таким образом, для любого цепного комплекса его гомологию можно рассматривать как меру степени его неточности.

Если взять ряд коротких точных последовательностей, связанных цепными комплексами (т. е. короткую точную последовательность цепных комплексов или, с другой точки зрения, цепной комплекс коротких точных последовательностей), то из этого можно вывести длинный точный последовательность (то есть точная последовательность, индексированная натуральными числами) по гомологии с помощью применения леммы о зигзаге . Он возникает в алгебраической топологии при изучении относительной гомологии ; последовательность Майера -Виеториса является еще одним примером. характерны также длинные точные последовательности, индуцированные короткими точными последовательностями Для производных функторов .

Точные функторы — это функторы , преобразующие точные последовательности в точные последовательности.

Ссылки

Цитаты

Источники

• Спэньер, Эдвин Генри (1995). Алгебраическая топология . Берлин: Шпрингер. п. 179 . ISBN  0-387-94426-5 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. п. 785 . ISBN  0-387-94269-6 .