Относительная гомология

В алгебраической топологии , разделе математики , (сингулярные) гомологии топологического пространства относительно подпространства — это конструкция в сингулярных гомологиях для пар пространств . Относительная гомология полезна и важна по нескольким причинам. Интуитивно это помогает определить, какая часть группы абсолютной гомологии происходит из какого подпространства.

Определение [ править ]

Учитывая подпространство $A\subseteq X$ , можно составить короткую точную последовательность

0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0,

где $C_{\bullet }(X)$ обозначает особые цепи в пространстве X . Карта границ на $C_{\bullet }(X)$ спускается ^а к $C_{\bullet }(A)$ и, следовательно, индуцирует граничное отображение $\partial '_{\bullet }$ на частном. Если мы обозначим это частное через $C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{n}(A)$ , тогда мы имеем комплекс

\cdots \longrightarrow C_{n}(X,A)\xrightarrow {\partial '_{n}} C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots .

По определению, n ^й относительная группа гомологии пары пространств $(X,A)$ является

H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatorname {im} \partial '_{n+1}.

Говорят, что относительная гомология задается относительными циклами — цепями, границы которых являются цепями на А по модулю относительных границ (цепями, которые гомологичны цепочке на А , т. е. цепями, которые снова были бы границами по модулю А ). ^[1]

Свойства [ править ]

Вышеупомянутые короткие точные последовательности, определяющие относительные группы цепей, образуют цепной комплекс коротких точных последовательностей. Тогда применение леммы о змее дает длинную точную последовательность

\cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .

Соединяющая карта $\partial$ принимает относительный цикл, представляющий класс гомологии в $H_{n}(X,A)$ , до его границы (которая является циклом в A ). ^[2]

Отсюда следует, что $H_{n}(X,x_{0})$ , где $x_{0}$ — точка в X , — - я гомологии приведенная группа X. n Другими словами, $H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)$ для всех $i>0$ . Когда $i=0$ , $H_{0}(X,x_{0})$ свободный модуль на один ранг меньше $H_{0}(X)$ . Связный компонент, содержащий $x_{0}$ становится тривиальным в относительной гомологии.

Теорема об вырезании гласит, что удаление достаточно хорошего подмножества $Z\subset A$ покидает группы относительных гомологий $H_{n}(X,A)$ без изменений. Используя длинную точную последовательность пар и теорему об вырезании, можно показать, что $H_{n}(X,A)$ совпадает с n -й приведенной группой гомологий фактор-пространства $X/A$ .

Относительная гомология легко распространяется на тройку $(X,Y,Z)$ для $Z\subset Y\subset X$ .

Можно определить эйлерову характеристику пары $Y\subset X$ к

\chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rank} H_{j}(X,Y).

Из точности последовательности следует, что эйлерова характеристика аддитивна , т. е. если $Z\subset Y\subset X$ , у одного есть

\chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z).

Локальная гомология

The $n$ -я локальная группа гомологии пространства $X$ в какой-то момент $x_{0}$ , обозначенный

H_{n,\{x_{0}\}}(X)

определяется как относительная группа гомологий $H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})$ . Неформально это «локальная» гомология $X$ близко к $x_{0}$ .

конуса CX в координат начале Локальная гомология

Одним из простых примеров локальной гомологии является вычисление локальной гомологии конуса (топологии) пространства в начале конуса. Напомним, что конус определяется как факторпространство

CX=(X\times I)/(X\times \{0\}),

где $X\times \{0\}$ имеет подпространственную топологию. Тогда происхождение $x_{0}=0$ — класс эквивалентности точек $[X\times 0]$ . Используя интуицию, что локальная группа гомологии $H_{*,\{x_{0}\}}(CX)$ из $CX$ в $x_{0}$ улавливает гомологию $CX$ "около" начала координат, следует ожидать, что это гомология $H_{*}(X)$ с $CX\setminus \{x_{0}\}$ имеет гомотопический ретракт на $X$ . Затем вычисление локальной гомологии можно выполнить, используя длинную точную последовательность гомологии.

{\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n-1}(CX)\to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX).\end{aligned}}

Поскольку конус пространства стягиваем , все средние группы гомологии равны нулю, что дает изоморфизм

{\begin{aligned}H_{n,\{x_{0}\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X),\end{aligned}}

с $CX\setminus \{x_{0}\}$ сжимаема до $X$ .

В алгебраической геометрии [ править ]

Обратите внимание, что предыдущую конструкцию можно доказать в алгебраической геометрии, используя аффинный конус проективного многообразия. $X$ используя локальные когомологии .

Локальные гомологии точки на гладком многообразии [ править ]

Другое вычисление локальной гомологии можно выполнить в точке $p$ многообразия $M$ . Тогда пусть $K$ быть компактной окрестностью $p$ изоморфен замкнутому диску $\mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}$ и пусть $U=M\setminus K$ . Используя теорему вырезания, существует изоморфизм групп относительных гомологий.

{\begin{aligned}H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\cup \{p\}))\\&=H_{n}(K,K\setminus \{p\}),\end{aligned}}

следовательно, локальные гомологии точки сводятся к локальным гомологиям точки в замкнутом шаре $\mathbb {D} ^{n}$ . Ввиду гомотопической эквивалентности

\mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}

и тот факт

H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&k\neq 0,\end{cases}}

единственная нетривиальная часть длинной точной последовательности пары $(\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})$ является

0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0,

следовательно, единственной ненулевой группой локальных гомологий является $H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})$ .

Функциональность [ править ]

Как и в абсолютных гомологиях, непрерывные отображения пространств индуцируют гомоморфизмы между относительными группами гомологий. Фактически это отображение является в точности индуцированным отображением на группах гомологий, но оно сводится к фактору.

Позволять $(X,A)$ и $(Y,B)$ — пары пространств такие, что $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ , и пусть $f\colon X\to Y$ быть непрерывным отображением. Тогда существует индуцированное отображение $f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)$ на (абсолютных) цепных группах. Если $f(A)\subseteq B$ , затем $f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)$ . Позволять

${\begin{aligned}\pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}$

— естественные проекции , которые переводят элементы в их классы эквивалентности в факторгруппах . Тогда карта $\pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)$ является групповым гомоморфизмом. С $f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}$ , эта карта сводится к частному, что приводит к четко определенному отображению $\varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)$ такая, что следующая диаграмма коммутирует: ^[3]

Цепные отображения индуцируют гомоморфизмы между группами гомологии, поэтому $f$ вызывает карту $f_{*}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)$ об относительных группах гомологии. ^[2]

Примеры [ править ]

Одним из важных применений относительной гомологии является вычисление групп гомологий фактор-пространств. $X/A$ . В случае, если $A$ является подпространством $X$ удовлетворяющее мягкому условию регулярности, согласно которому существует окрестность $A$ у которого есть $A$ как деформационный ретракт, то группа ${\tilde {H}}_{n}(X/A)$ изоморфен $H_{n}(X,A)$ . Мы можем немедленно использовать этот факт для вычисления гомологии сферы. Мы можем реализовать $S^{n}$ как фактор n-диска по его границе, т.е. $S^{n}=D^{n}/S^{n-1}$ . Применение точной последовательности относительной гомологии дает следующее:
$\cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .$

Поскольку диск сжимаем, мы знаем, что его приведенные группы гомологий исчезают во всех измерениях, поэтому приведенная выше последовательность схлопывается до короткой точной последовательности:

$0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0.$

Следовательно, мы получаем изоморфизмы $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})$ . Теперь мы можем по индукции показать, что $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z}$ . Теперь, потому что $S^{n-1}$ является ретрактом деформации подходящей окрестности самого себя в $D^{n}$ , мы поняли это $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$ .

Другой полезный геометрический пример дает относительная гомология $(X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \})$ где $\alpha \neq 0,1$ . Тогда мы можем использовать длинную точную последовательность

{\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\to H_{0}(X)\to H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}

Используя точность последовательности, мы видим, что $H_{1}(X,D)$ содержит цикл $\sigma$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Поскольку коядро $\phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)$ вписывается в точную последовательность

0\to \operatorname {coker} (\phi )\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0

он должен быть изоморфен $\mathbb {Z}$ . Одним из генераторов коядра является $1$ -цепь $[1,\alpha ]$ поскольку его карта границ

\partial ([1,\alpha ])=[\alpha ]-[1]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ т. е . граница $\partial \colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ карты $C_{n}(A)$ к $C_{n-1}(A)$

Ссылки [ править ]

«Группы относительной гомологии» . ПланетаМатематика .
Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1

Специфический

^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401 . OCLC 45420394 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 118–119. ISBN 9780521795401 . OCLC 45420394 .
^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .

[1] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401 . OCLC 45420394 .

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 118–119. ISBN 9780521795401 . OCLC 45420394 .

[3] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .

[1]

[2]

[3]