Локальные когомологии

В алгебраической геометрии локальные когомологии — алгебраический аналог относительных когомологий . Александр Гротендик представил его на семинарах в Гарварде в 1961 году, описанном Хартсхорном (1967) , а в 1961-2 в IHES, записанном как SGA2 - Grothendieck (1968) , переизданном как Grothendieck (2005) . Учитывая функцию (в более общем смысле, часть квазикогерентного пучка ), определенную на открытом подмножестве алгебраического многообразия (или схемы ), локальные когомологии измеряют препятствие к расширению этой функции на большую область . Рациональная функция $1/x$, например, определяется только в дополнении $0$ на аффинной линии $\mathbb {A} _{K}^{1}$ над полем $K$, и не может быть продолжено до функции на всем пространстве. Модуль локальных когомологий $H_{(x)}^{1}(K[x])$ (где $K[x]$ является координатным кольцом $\mathbb {A} _{K}^{1}$) обнаруживает это в неисчезновении класса когомологий $[1/x]$. Подобным образом, $1/xy$ определяется вдали от $x$ и $y$ осей в аффинной плоскости , но не может быть продолжено ни до дополнения, ни до $x$-ось или дополнение $y$-только ось (и не может быть выражена как сумма таких функций); это препятствие соответствует в точности ненулевому классу $[1/xy]$ в модуле локальных когомологий $H_{(x,y)}^{2}(K[x,y])$.

Помимо алгебраической геометрии, локальные когомологии нашли применение в коммутативной алгебре . комбинаторика , и некоторые виды уравнений в частных производных .

Определение

В наиболее общей геометрической форме теории сечения $\Gamma _{Y}$ считаются связкой $F$ абелевых групп в топологическом пространстве $X$, с поддержкой в ​​закрытом подмножестве $Y$, Производные функторы $\Gamma _{Y}$ образуют группы локальных когомологий

$H_{Y}^{i}(X,F)$

В алгебраической форме теории пространство X представляет собой спектр Spec( R ) коммутативного кольца R (на протяжении всей статьи предполагается, что оно нётерово ), а пучок F — это квазикогерентный пучок, ассоциированный с R - модулем M , обозначаемый через ${\tilde {M}}$. Замкнутая подсхема Y определяется идеалом I . В этой ситуации функтор Γ _Y ( F ) соответствует функтору I -кручения , объединению аннуляторов

$\Gamma _{I}(M):=\bigcup _{n\geq 0}(0:_{M}I^{n}),$

т. е. элементы M которые уничтожаются некоторой степенью I. , В качестве правостороннего производного i функтора ^й модуль локальных когомологий относительно I — это i ^й группа когомологий $H^{i}(\Gamma _{I}(E^{\bullet }))$ сетевого комплекса $\Gamma _{I}(E^{\bullet })$ полученный взятием I -торсионной части $\Gamma _{I}(-)$ инъективного разрешения $E^{\bullet }$ модуля $M$. Потому что $E^{\bullet }$ состоит из R -модулей и R -модулей гомоморфизмов , каждая группа локальных когомологий имеет естественную структуру R -модуля.

торсионная I- часть $\Gamma _{I}(M)$ альтернативно может быть описан как

$\Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),$

и по этой причине локальные когомологии R -модуля M совпадают с прямым ограничением Ext модулей ,

$H_{I}^{i}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/I^{n},M).$

Из любого из этих определений следует, что $H_{I}^{i}(M)$ было бы неизменно, если бы $I$ были заменены другим идеалом, имеющим тот же радикал . Отсюда также следует, что локальные когомологии не зависят от выбора образующих для I , и этот факт становится актуальным в следующем определении, включающем комплекс Чеха.

Использование комплексов Кошул и Чехия

Производное функторное определение локальных когомологий требует инъективного разрешения модуля $M$, что может сделать его недоступным для использования в явных вычислениях. Комплекс «Чех» в определенных контекстах считается более практичным. Айенгар и др. (2007) , например, заявляют, что они «по существу игнорируют» «проблему фактического создания любого из этих [инъективных] видов разрешения для данного модуля» Прежде чем представить комплексное определение локальных когомологий Чеха, Хартсхорн (1977) описывает когомологии Чеха как «дающие практический метод вычисления когомологий квазикогерентных пучков на схеме». и как «хорошо подходящий для вычислений».

Комплекс Чеха можно определить как копредел комплексов Кошуля. $K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{m})$ где $f_{1},\ldots ,f_{n}$ генерировать $I$. Модули локальных когомологий можно описать как:

$H_{I}^{i}(M)\cong \varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\dots ,f_{n}^{m}\right),M\right)\right)$

Комплексы Кошуля обладают тем свойством, что умножение на $f_{i}$ индуцирует цепной комплексный морфизм $\cdot f_{i}:K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})\to K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})$ гомотопный нулю, значение $H^{i}(K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n}))$ уничтожается $f_{i}$. Ненулевое отображение в копределе $\operatorname {Hom}$ множества содержат отображения всех комплексов Кошуля, кроме конечного числа, и которые не аннулируются каким-либо элементом идеала.

Этот копредел комплексов Кошуля изоморфен чешский комплекс , обозначаемый ${\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)$, ниже.

$0\to M\to \bigoplus _{i_{0}}M_{f_{i}}\to \bigoplus _{i_{0}<i_{1}}M_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to M_{f_{1}\cdots f_{n}}\to 0$

где я ^й модуль локальных когомологий $M$ относительно $I=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ изоморфен я ​ ^й группа когомологий вышеуказанного цепного комплекса ,

$H_{I}^{i}(M)\cong H^{i}({\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)).$

Более широкий вопрос вычисления модулей локальных когомологий (в нулевой характеристике ) обсуждается в работах Лейкина (2002) и Айенгара и др. (2007 г. , Лекция 23).

Основные свойства

Поскольку локальные когомологии определяются как производный функтор , для любой короткой точной последовательности R -модулей $0\to M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to 0$, по определению существует естественная длинная точная последовательность в локальных когомологиях

$\cdots \to H_{I}^{i}(M_{1})\to H_{I}^{i}(M_{2})\to H_{I}^{i}(M_{3})\to H_{I}^{i+1}(M_{1})\to \cdots$

Существует также длинная точная последовательность когомологий пучков, связывающая обычные когомологии пучков X и открытого множества U = X \ Y с модулями локальных когомологий. Для квазикогерентного пучка F, определенного на X , это имеет вид

$\cdots \to H_{Y}^{i}(X,F)\to H^{i}(X,F)\to H^{i}(U,F)\to H_{Y}^{i+1}(X,F)\to \cdots$

В ситуации, когда X — аффинная схема ${\text{Spec}}(R)$ и Y — исчезающее множество идеала I , группы когомологий $H^{i}(X,F)$ исчезнуть для $i>0$. Если $F={\tilde {M}}$, это приводит к точной последовательности

$0\to H_{I}^{0}(M)\to M{\stackrel {\text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tilde {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,$

где средняя карта - ограничение разделов. Цель этой карты ограничений также называется идеальным преобразованием . При n ≥ 1 существуют изоморфизмы

$H^{n}(U,{\tilde {M}}){\stackrel {\cong }{\to }}H_{I}^{n+1}(M).$

Благодаря указанному выше изоморфизму пучковых когомологий локальные когомологии могут быть использованы для выражения ряда содержательных топологических конструкций на схеме. $X=\operatorname {Spec} (R)$ чисто алгебраическим языком. Например, существует естественный аналог в локальных когомологиях последовательности Майера–Виеториса относительно пары открытых множеств U и V в X , заданный дополнениями к замкнутым подсхемам, соответствующим паре идеалов I и J соответственно. . Эта последовательность имеет вид

$\cdots H_{I+J}^{i}(M)\to H_{I}^{i}(M)\oplus H_{J}^{i}(M)\to H_{I\cap J}^{i}(M)\to H_{I+J}^{i+1}(M)\to \cdots$

для любого $R$-модуль $M$.

Исчезновение локальных когомологий можно использовать для ограничения наименьшего числа уравнений (называемых арифметическим рангом ), необходимых для (теоретического) определения алгебраического набора. $V(I)$ в $\operatorname {Spec} (R)$. Если $J$ имеет тот же радикал, что и $I$, и генерируется $n$ элементов, затем комплекс Чеха на генераторах $J$ не имеет членов по степени $i>n$. Наименьшее число образующих среди всех идеалов $J$ такой, что ${\sqrt {J}}={\sqrt {I}}$ это арифметический ранг $I$, обозначенный $\operatorname {ara} (I)$. Поскольку локальные когомологии по отношению к $I$ может быть вычислено с использованием любого такого идеала, отсюда следует, что $H_{I}^{i}(M)=0$ для $i>\operatorname {ara} (I)$.

локальные когомологии и

Когда $R$ оценивается ​ по $\mathbb {N}$, $I$ порождается однородными элементами, а $M$ является градуированным модулем, то на модуле локальных когомологий имеется естественная градуировка $H_{I}^{i}(M)$ что соответствует оценкам $M$ и $R$. Все основные свойства локальных когомологий, выраженные в этой статье, совместимы с градуированной структурой. Если $M$ конечно порождена и $I={\mathfrak {m}}$ идеал, порожденный элементами $R$ имеющие положительную степень, то градуированные компоненты $H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)_{n}$ конечно порождены $R$ и исчезают при достаточно больших $n$.

Случай, когда $I={\mathfrak {m}}$ Это идеал, порожденный всеми элементами положительной степени (иногда называемый иррелевантным идеалом ), является особенно особенным из-за его связи с проективной геометрией. В этом случае существует изоморфизм

$H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)\cong \bigoplus _{k\in \mathbf {Z} }H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(k))$

где ${\text{Proj}}(R)$ проективная схема, связанная с $R$, и $(k)$ обозначает поворот Серра . Этот изоморфизм градуирован, давая

$H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)_{n}\cong H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(n))$

во всех степенях $n$.

Этот изоморфизм связывает локальные когомологии с глобальными когомологиями проективных схем . Например, регулярность Кастельнуово–Мамфорда можно сформулировать с помощью локальных когомологий. как

${\text{reg}}(M)={\text{sup}}\{{\text{end}}(H_{\mathfrak {m}}^{i}(M))+i\,|\,0\leq i\leq {\text{dim}}(M)\}$

где ${\text{end}}(N)$ обозначает высшую степень $t$ такой, что $N_{t}\neq 0$. Локальные когомологии можно использовать для доказательства некоторых результатов о верхних оценках, касающихся регулярности.

Примеры

локальные

С помощью комплекса Чех, если $I=(f_{1},\ldots ,f_{n})R$ модуль локальных когомологий $H_{I}^{n}(M)$ генерируется более $R$ по образам формальных дробей

$\left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]$

для $m\in M$ и $t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1$. Эта дробь соответствует ненулевому элементу $H_{I}^{n}(M)$ тогда и только тогда, когда нет $k\geq 0$ такой, что $(f_{1}\cdots f_{t})^{k}m\in (f_{1}^{t_{1}+k},\ldots ,f_{t}^{t_{n}+k})M$. Например, если $t_{i}=1$, затем

$f_{i}\cdot \left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{i}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]=0.$

• Если $K$ это поле и $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ является кольцом полиномов над $K$ в $n$ переменные, то модуль локальных когомологий $H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])$ можно рассматривать как векторное пространство над $K$ с базой, заданной ( классами когомологий Чеха ) обратных мономов $\left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]$ для $t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1$. Как $R$-модуль, умножение на $x_{i}$ опускает $t_{i}$ на 1, при условии $x_{i}\cdot \left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{i}^{-1}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]=0.$ Потому что силы $t_{i}$ не может быть увеличено умножением на элементы $R$, модуль $H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])$ не является конечно порожденным .

Примеры H ¹

Если $H^{0}(U,{\tilde {R}})$ известно (где $U=\operatorname {Spec} (R)-V(I)$), модуль $H_{I}^{1}(R)$ иногда можно вычислить явно, используя последовательность

$0\to H_{I}^{0}(R)\to R\to H^{0}(U,{\tilde {R}})\to H_{I}^{1}(R)\to 0.$

В следующих примерах $K$ это любое поле .

• Если $R=K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]$ и $I=(X,Y^{2})R$, затем $H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[X,Y]$ и как векторное пространство над $K$, первый модуль локальных когомологий $H_{I}^{1}(R)$ является $K[X,Y]/K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]$, одномерный $K$ векторное пространство, созданное $Y$.

• Если $R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$ и ${\mathfrak {m}}=(X,Y)R$, затем $\Gamma _{\mathfrak {m}}(R)=xR$ и $H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[Y,Y^{-1}]$, так $H_{\mathfrak {m}}^{1}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]$ представляет собой бесконечномерную $K$ векторное пространство с базисом $Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots$

Связь с инвариантами модулей

Размерность dim _R (M) модуля (определяемая как размерность Крулля его носителя) обеспечивает верхнюю оценку для модулей локальных когомологий:

$H_{I}^{n}(M)=0{\text{ for all }}n>\dim _{R}(M).$

Если R локально M и . конечно порождено , то эта оценка точна, т. е $H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0$.

Глубина n (определяемая как максимальная длина регулярной M - последовательности ; также называемая степенью M ) обеспечивает точную нижнюю границу, т. е. это наименьшее целое число такое , что

$H_{I}^{n}(M)\neq 0.$

Эти две оценки вместе дают характеристику модулей Коэна–Маколея над локальными кольцами: это именно те модули, где $H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)$ исчезает для всех, кроме одного n .

Локальная двойственность

Теорема локальной двойственности является локальным аналогом двойственности Серра . Для Коэна-Маколея локального кольца $R$ размера $d$ это гомоморфный образ локального кольца Горенштейна (например, если $R$ завершен ​ ), он утверждает, что естественное спаривание

$H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\times \operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R})\to H_{\mathfrak {m}}^{d}(\omega _{R})$

это идеальная пара , где $\omega _{R}$ представляет собой дуализирующий модуль для $R$. В терминах функтора двойственности Матлиса $D(-)$, локальная теорема двойственности может быть выражена в виде следующего изоморфизма.

$H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\cong D(\operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R}))$

Утверждение проще, когда $\omega _{R}\cong R$, что эквивалентно к гипотезе о том, что $R$ это Горенштейн . Это имеет место, например, если $R$ является регулярным .

Приложения

Первоначальные приложения были к аналогам теорем Лефшеца о гиперплоскости . В целом такие теоремы утверждают, что гомологии или когомологии поддерживаются на гиперплоском сечении алгебраического многообразия , за исключением некоторых «потерь», которыми можно управлять. Эти результаты применимы к алгебраической фундаментальной группе и группе Пикара .

Другим типом приложений являются теоремы о связности, такие как теорема о связности Гротендика (локальный аналог теоремы Бертини ) или теорема о связности Фултона-Хансена, предложенная Фултоном и Хансеном (1979) и Фалтингсом (1979) . Последний утверждает, что для двух проективных многообразий V и W в P ^р над алгебраически замкнутым полем Z размерность связности = T V ∩ W ( т. е. минимальная размерность замкнутого подмножества поля Z , которое необходимо удалить из Z , чтобы дополнение Z \ T было несвязным ) ограничено формулой

c( Z ) ≥ dim V + dim W - r - 1.

Например, Z связен, если dim V + dim W > r .

В полиэдральной геометрии ключевой ингредиент доказательства Стэнли 1975 года симплициальной формы теоремы Макмаллена о верхней границе включает в себя демонстрацию того, что кольцо Стэнли-Рейснера соответствующего симплициального комплекса является кольцом Коэна-Маколея , а локальные когомологии являются важным инструментом в этом вычислении, посредством Формула Хохстера.

См. также

• Локальная гомология - дает топологический аналог и вычисление локальной гомологии конуса пространства.
• Теорема Фальтингса об аннуляторе

Вводная ссылка

• Хунеке, Крейг; Тейлор, Амелия, Лекции по локальным когомологиям

Ссылки

• Бродманн, член парламента; Шарп, Р.Ю. (1998), Локальные когомологии: алгебраическое введение с геометрическими приложениями (2-е изд.), Рецензия на книгу издательства Кембриджского университета, автор: Хартшорн
• Брунс, В.; Херцог, Дж. (1998), Кольца Коэна-Маколея , Cambridge University Press
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN  0-387-94268-8 . МР   1322960 .
• Эйзенбуд, Дэвид (2005), Геометрия сизигий , Тексты для аспирантов по математике , том. 229, Springer-Verlag , стр. 187–200.
• Фальтингс, Герд (1979), «Алгебраизация некоторых формальных векторных расслоений», Ann. математики. , 2, 110 (3): 501–514, doi : 10.2307/1971235 , JSTOR   1971235 , MR   0554381
• Фултон, В.; Хансен, Дж. (1979), «Теорема связности для проективных многообразий с приложениями к пересечениям и особенностям отображений», Annals of Mathematics , 110 (1): 159–166, doi : 10.2307/1971249 , JSTOR   1971249
• Гротендик, Александр (2005) [1968], Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962 - Локальные когомологии когерентных пучков и локальные и глобальные теоремы Лефшеца - (SGA 2) , Documents Mathématiques (Париж), vol. 4, Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode : 2005math.....11279G , ISBN  978-2-85629-169-6 , МР   2171939
• Гротендик, Александр (1968) [1962]. Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962 - Локальные когомологии когерентных пучков и локальные и глобальные теоремы Лефшеца - (SGA 2) (Продвинутые исследования в области чистой математики 2 ) (на французском языке). Амстердам: Издательство Северной Голландии. vii+287.
• Хартсхорн, Робин (1967) [1961], Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень 1961 г. , Конспекты лекций по математике, том. 41, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0073971 , ISBN.  978-3-540-03912-9 , МР   0224620
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Хуан, И-Чиау (2002). «Методы вычетов в комбинаторном анализе». В Любезнике, Геннадий (ред.). Локальные когомологии и их приложения . Марсель Деккер. стр. 255–342. ISBN  0-8247-0741-9 .
• Айенгар, Шрикант Б.; Лейшке, Грэм Дж.; Лейкин, Антон; Миллер, Клаудия; Миллер, Эзра; Сингх, Анураг К.; Вальтер, Ули (2007), Двадцать четыре часа локальных когомологий , Аспирантура по математике , том. 87, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/087 , ISBN.  978-0-8218-4126-6 , МР   2355715
• Лейкин, Антон (2002). «Вычисление локальных когомологий в Маколее 2». В Любезнике, Геннадий (ред.). Локальные когомологии и их приложения . Марсель Деккер. стр. 195–206. ISBN  0-8247-0741-9 .