Кольцо Горенштейна

В коммутативной алгебре горенштейновым локальным кольцом называется коммутативное нётерово локальное кольцо R с конечной инъективной размерностью как R -модуль . Существует множество эквивалентных условий, некоторые из них перечислены ниже, что часто говорит о том, что кольцо Горенштейна самодвойственно в некотором смысле .

Кольца Горенштейна были представлены Гротендиком на его семинаре 1961 года (опубликовано в ( Hartshorne 1967 )). Название происходит от свойства двойственности сингулярных плоских кривых, изученного Горенштейном ( 1952 ) (который любил утверждать, что он не понимает определения кольца Горенштейна). ^{[ нужна ссылка ]}). Нульмерный случай изучал Маколей (1934) . Серр (1961) и Басс (1963) опубликовали концепцию колец Горенштейна.

Кольца Фробениуса являются некоммутативными аналогами нульмерных колец Горенштейна. Схемы Горенштейна представляют собой геометрическую версию колец Горенштейна.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Определения [ править ]

Кольцо Горенштейна — это коммутативное нётерово кольцо такое, что каждая локализация в простом идеале является локальным кольцом Горенштейна, как определено ниже. Кольцо Горенштейна — это, в частности, кольцо Коэна–Маколея .

Одна элементарная характеристика такова: нётерово локальное кольцо R ( нулевой размерности что эквивалентно R конечной длины как R -модуль) является горенштейновым тогда и только тогда, когда Hom _R ( k , R ) имеет размерность 1 как k - векторное пространство , где k — вычетов R. поле Аналогично, R имеет простой цоколь в качестве R -модуля. ^[1] В более общем смысле, нётерово локальное кольцо R является горенштейновым тогда и только тогда, когда существует регулярная последовательность a ₁ ,..., в _an максимальном идеале кольца R такая, что фактор-кольцо R /( a ₁ ,..., a _n ) является горенштейном нулевой размерности.

Например, если R — коммутативная градуированная алгебра над полем k такая, что R имеет конечную размерность как k -векторное пространство, R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , то R является горенштейновым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двойственности Пуанкаре , что означает, что кусок R _m с наивысшим рейтингом имеет размерность 1, а произведение R _a × R _{m − a} → R _m является идеальной парой для каждого a . ^[2]

Другая интерпретация свойства Горенштейна как типа двойственности для не обязательно градуированных колец такова: для поля F коммутативная F -алгебра R конечной размерности как F -векторное пространство (следовательно, нулевая размерность как кольцо) равна Горенштейн тогда и только тогда, когда существует F -линейное отображение e : R → F такое, что симметричная билинейная форма ( x , y ) := e ( xy ) на R (как F -векторном пространстве) невырождена . ^[3]

Для коммутативного нетерова локального кольца ( R , m , k ) размерности Крулла n следующие условия эквивалентны: ^[4]

R имеет конечную инъективную размерность как R -модуль;
R имеет инъективную размерность n как R -модуль;
Группа «Ext» $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ ибо я ≠ n, пока $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ для некоторого i > n ;
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ для всех i < n и $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
R — n -мерное кольцо Горенштейна.

Кольцо R (не обязательно коммутативное) называется горенштейновым, если R имеет конечную инъективную размерность и как левый R -модуль, и как правый R -модуль. Если R — локальное кольцо, то R называется локальным горенштейновым кольцом.

Примеры [ править ]

Всякое локальное кольцо полных пересечений , в частности всякое регулярное локальное кольцо , является горенштейновым.
Кольцо R = k [ x , y , z ]/( x ², и ², хз , yz , z ²− xy ) — 0-мерное кольцо Горенштейна, не являющееся полным кольцом пересечений. Более подробно: основа R : как k -векторного пространства определяется следующим образом $\{1,x,y,z,z^{2}\}.$ R является горенштейновым, потому что цоколь имеет размерность 1 как k -векторное пространство, натянутое на z ². В качестве альтернативы можно заметить, что R удовлетворяет двойственности Пуанкаре, если рассматривать его как градуированное кольцо с x , y , z одинаковой степени. Окончательно. R не является полным пересечением, поскольку имеет 3 образующих и минимальный набор из 5 (а не 3) отношений.

Кольцо R = k [ x , y ]/( x ², и ², xy ) — 0-мерное кольцо Коэна–Маколея, не являющееся кольцом Горенштейна. Более подробно: основа R как k -векторного пространства определяется следующим образом: $\{1,x,y\}.$ R не Горенштейн, потому что цоколь имеет размерность 2 (а не 1) как k -векторное пространство, натянутое на x и y .

Свойства [ править ]

Нётерово локальное кольцо является горенштейновым тогда и только тогда, когда его пополнение является горенштейновым. ^[5]

Канонический модуль горенштейнового локального кольца R изоморфен R . В геометрических терминах отсюда следует, что стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна X над полем представляет собой просто линейное расслоение (рассматриваемое как комплекс степени −dim( X )); называется каноническим расслоением X . это линейное расслоение При использовании канонического расслоения двойственность Серра принимает для схем Горенштейна тот же вид, что и в гладком случае.

В контексте градуированных колец R канонический модуль горенштейнового кольца R изоморфен R с некоторым сдвигом степени. ^[6]

Для локального кольца Горенштейна ( R , m , k ) размерности n локальная двойственность Гротендика принимает следующий вид. ^[7] Пусть E ( k ) — инъективная оболочка поля вычетов k как R -модуля. Тогда для любого конечно порожденного R -модуля M и целого числа i группа когомологий локальных $H_{m}^{i}(M)$ двойственен к $\operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R)$ в том смысле, что:

H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Ext} _{R}^{n-i}(M,R),E(k)).

Стэнли показал, что для конечно порожденной коммутативной градуированной алгебры R над полем k такой, что R является областью целостности , свойство Горенштейна зависит только от свойства Коэна – Маколея вместе с рядом Гильберта.

f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.

А именно, градуированная область R является горенштейновой тогда и только тогда, когда она принадлежит Коэну–Маколею и ряд Гильберта симметричен в том смысле, что

f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)

для некоторого целого числа s , где n размерность R. — ^[8]

Пусть ( R , m , k ) — нетерово локальное кольцо вложимой коразмерности c , что означает, что c = dim _k ( m / m ²) - тусклый( р ). В геометрических терминах это справедливо для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. Для c не более 2 Серр показал, что R горенштейново тогда и только тогда, когда оно является полным пересечением . ^[9] Существует также структурная теорема для колец Горенштейна коразмерности 3 в терминах пфаффианов кососимметричной матрицы Бухсбаума и Эйзенбуда . ^[10] В 2011 году Майлз Рид распространил эту структурную теорему на случай коразмерности 4. ^[11]

Примечания [ править ]

^ Эйзенбуд (1995), Предложение 21.5.
^ Хунеке (1999), Теорема 9.1.
^ Лам (1999), Теоремы 3.15 и 16.23.
^ Мацумура (1989), Теорема 18.1.
^ Мацумура (1989), Теорема 18.3.
^ Айзенбуд (1995), раздел 21.11.
^ Брунс и Херцог (1993), Теорема 3.5.8.
^ Стэнли (1978), Теорема 4.4.
^ Эйзенбуд (1995), Следствие 21.20.
^ Брунс и Херцог (1993), Теорема 3.4.1.
^ Рид (2011)

Ссылки [ править ]

Басс, Хайман (1963), «О повсеместности колец Горенштейна», Mathematical Journal , 82 : 8–28, CiteSeerX 10.1.1.152.1137 , doi : 10.1007/BF01112819 , ISSN 0025-5874 , MR 0153708
Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Коэна – Маколея , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-41068-7 , МР 1251956
Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Горенштейн, Дэниел (1952), «Арифметическая теория сопряженных плоских кривых», Труды Американского математического общества , 72 : 414–436, doi : 10.2307/1990710 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990710 , MR 0049591
«Кольцо Горенштейна» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Хартсхорн, Робин (1967), Локальные когомологии. Семинар, проведенный А. Гротендиком, Гарвардский университет, осень 1961 г. , Конспекты лекций по математике, том. 41, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0224620
Хунеке, Крейг (1999), «Хайман Басс и повсеместность: кольца Горенштейна», Алгебра, K-теория, группы и образование , Американское математическое общество , стр. 55–78, arXiv : math/0209199 , doi : 10.1090/conm/ 243/03686 , МР 1732040
Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN. 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Маколей, Фрэнсис Сауэрби (1934), «Современная алгебра и полиномиальные идеалы», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 30 (1): 27–46, Бибкод : 1934PCPS...30...27M , doi : 10.1017/S0305004100012354 , ISSN 0305-0041 , JFM 60.0096.02
Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , МР 0879273
Рид, Майлз (ноябрь 2011 г.), Юнгкай Альфред Чен (редактор), Горенштейн в коразмерности 4 - общая теория структуры (PDF) , Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 65: Алгебраическая геометрия в Восточной Азии – Тайбэй, 2011, стр. 201–227.
Серр, Жан-Пьер (1961), О проективных модулях , Семинар Дюбрей. Алгебра и теория чисел, том. 14, с. 1–16
Стэнли, Ричард П. (1978), «Функции Гильберта градуированных алгебр», Успехи в математике , 28 (1): 57–83, doi : 10.1016/0001-8708(78)90045-2 , MR 0485835

См. также [ править ]

[1] Эйзенбуд (1995), Предложение 21.5.

[2] Хунеке (1999), Теорема 9.1.

[3] Лам (1999), Теоремы 3.15 и 16.23.

[4] Мацумура (1989), Теорема 18.1.

[5] Мацумура (1989), Теорема 18.3.

[6] Айзенбуд (1995), раздел 21.11.

[7] Брунс и Херцог (1993), Теорема 3.5.8.

[8] Стэнли (1978), Теорема 4.4.

[9] Эйзенбуд (1995), Следствие 21.20.

[10] Брунс и Херцог (1993), Теорема 3.4.1.

[11] Рид (2011)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]