Регулярная последовательность

В коммутативной алгебре регулярная последовательность — это последовательность элементов коммутативного кольца , которые в точном смысле настолько независимы, насколько это возможно. Это алгебраический аналог геометрического понятия полного пересечения .

Определения

Для коммутативного кольца R и R - модуля M элемент r в R называется неделителем нуля на M, из rm = 0 следует m = 0 для m в M. если — M -регулярная последовательность это последовательность

r ₁ , ..., r _d в R

такой, что r _i не является делителем нуля на M /( r ₁ , ..., r _{i -1} ) M для i = 1, ..., d . ^[1] Некоторые авторы также требуют, чтобы M /( r ₁ , ..., r _d ) M не было равно нулю. Интуитивно сказать, что r ₁ , ..., rd _- -регулярная последовательность M означает, что эти элементы «урезают M максимально », когда мы переходим последовательно от M к M /( r ₁ ) M , к M /( r ₁ , r ₂ ) M и так далее.

-регулярная последовательность R называется просто регулярной последовательностью . То есть r ₁ , ..., является _rd регулярной последовательностью, если r ₁ является неделителем нуля в R , r ₂ является неделителем нуля в кольце R /( r ₁ ), и поэтому на. На геометрическом языке, если X — аффинная схема и r ₁ , ..., r _d — регулярная последовательность в кольце регулярных функций на X , то мы говорим, что замкнутая подсхема { r ₁ =0, ..., r _d =0} ⊂ X — пересечений полная подсхема X .

Быть регулярной последовательностью может зависеть от порядка элементов. Например, x , y (1- x ), z (1- x ) — регулярная последовательность в кольце полиномов C [ x , y , z ], а y (1- x ), z (1- x ), x не является регулярной последовательностью. Но если R — нётерово локальное кольцо и элементы ri _{находятся} в максимальном идеале, или если — градуированное кольцо и ri _R однородны положительной степени, то любая перестановка регулярной последовательности является регулярной последовательностью.

Пусть R — нётерово кольцо, I — идеал в R и M — конечно порождённый R -модуль. Глубина I I ) или на M , записываемая глубина _R ( I , M просто глубина( , M ) , является верхней границей длин всех M последовательностей элементов I. - регулярных Когда R — нетерово локальное кольцо, а M конечно порожденный R -модуль, глубина M — , записанная глубина _R ( M ) или просто глубина ( M ), означает глубину _R ( m , M ); то есть это верхняя грань длин всех M -регулярных последовательностей в максимальном идеале m кольца R . В частности, глубина нетерова локального кольца R означает глубину R как R -модуля. То есть глубина R — это максимальная длина регулярной последовательности в максимальном идеале.

Для нётерова локального кольца R глубина нулевого модуля равна ∞, ^[2] тогда как глубина ненулевого конечно порожденного R -модуля M не превосходит Крулла M M (также называемой размерностью носителя размерности ). ^[3]

Примеры

Учитывая целую область $R$ любой ненулевой $f\in R$ дает регулярную последовательность.
Для простого числа p локальное кольцо Z _{( p )} — это подкольцо рациональных чисел, состоящее из дробей, знаменатель которых не кратен p . Элемент p является неделителем нуля в Z _{( p )} , а фактор-кольцо Z _{( p )} по идеалу, порожденному p, является полем Z /( p ). Поэтому p нельзя расширить до более длинной регулярной последовательности в максимальном идеале ( p ), и фактически локальное кольцо Z _{( p )} имеет глубину 1.
Для любого поля k элементы x ₁ , ..., x _n в кольце полиномов A = k [ x ₁ , ..., x _n ] образуют регулярную последовательность. Отсюда следует, что R оператора A в максимальном идеале m = ( x1 _{локализация} ,..., xn ₎ имеет глубину не менее n . Фактически, R имеет глубину, равную n ; то есть в максимальном идеале длины больше n не существует регулярной последовательности .
В более общем смысле, пусть R — регулярное локальное кольцо с максимальным идеалом m . Тогда любые элементы r ₁ , ..., r _d из m , которые отображаются в базис для m / m ² как R / m -векторное пространство образуют регулярную последовательность.

Важный случай — когда глубина локального кольца R равна его размерности Крулля : тогда R называется кольцом Коэна-Маколея . Все три показанных примера представляют собой кольца Коэна-Маколея. Аналогично, конечно порожденный R -модуль M называется Коэном-Маколеем, если его глубина равна его размерности.

Непримеры

Простой пример регулярной последовательности представляет собой последовательность $(xy,x^{2})$ элементов в $\mathbb {C} [x,y]$ с

\cdot x^{2}:{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}

имеет нетривиальное ядро, заданное идеалом $(y)\subset \mathbb {C} [x,y]/(xy)$ . Подобные примеры можно найти, рассмотрев минимальные генераторы идеалов, порожденных из приводимых схем с несколькими компонентами, и взяв подсхему компонента, но утолщенную.

Приложения

Если r ₁ , ..., rd _— регулярная последовательность в кольце R , то комплекс Кошуля является явным свободным разрешением R / ( r ₁ , ..., ) _rd как R -модуля форма:

0\rightarrow R^{\binom {d}{d}}\rightarrow \cdots \rightarrow R^{\binom {d}{1}}\rightarrow R\rightarrow R/(r_{1},\ldots ,r_{d})\rightarrow 0

В частном случае, когда R — кольцо полиномов k [ r ₁ , ..., r _d ], это дает разрешение k как R -модуля.

Если I — идеал, порожденный регулярной последовательностью в кольце R , то соответствующее градуированное кольцо

\oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}

изоморфно кольцу многочленов ( R / I )[ x ₁ , ..., x _d ]. С геометрической точки зрения из этого следует, что полного пересечения локальная подсхема Y любой схемы X имеет нормальное расслоение , которое является векторным расслоением, даже если Y может быть сингулярным.

См. также

Примечания

^ Н. Бурбаки. Алгебра. Глава 10. Гомологическая алгебра. Спрингер-Верлаг (2006). Х.9.6.
^ А. Гротендик. EGA IV, Часть 1. Математические публикации IHÉS 20 (1964), 259 стр. 0.16.4.5.
^ Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра. Глава 10. Springer-Verlag (2007). Х.4.2.

Ссылки

Бурбаки, Николя (2006), Алгебра. Глава 10. Гомологическая алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34493-3 , ISBN 978-3-540-34492-6 , МР 2327161
Бурбаки, Николя (2007), Коммутативная алгебра. Глава 10 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34395-0 , ISBN 978-3-540-34394-3 , МР 2333539
Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна-Маколея . Кембриджские исследования по высшей математике, 39. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN 0-521-41068-1
Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию . Тексты для выпускников Springer по математике, вып. 150. ISBN 0-387-94268-8
Гротендик, Александр (1964), «Элементы алгебраической геометрии IV. Первая часть» , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 20 : 1–259, MR 0173675

[1] Н. Бурбаки. Алгебра. Глава 10. Гомологическая алгебра. Спрингер-Верлаг (2006). Х.9.6.

[2] А. Гротендик. EGA IV, Часть 1. Математические публикации IHÉS 20 (1964), 259 стр. 0.16.4.5.

[3] Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра. Глава 10. Springer-Verlag (2007). Х.4.2.

[1]

[2]

[3]