Рубашка комплексная

В математике комплекс Кошуля был впервые введен Жаном-Луи Кошулем для определения алгебр Ли ( теории когомологий см. Когомологии алгебры Ли ). Это оказалось полезной общей конструкцией в гомологической алгебре . В качестве инструмента его гомологии можно использовать, чтобы определить, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярной последовательностью , и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубине модуля или идеала, который является алгебраическое понятие размерности, родственное геометрическому понятию размерности Крулля, но отличающееся от него . Более того, при определенных обстоятельствах комплекс является комплексом сизигий , то есть он сообщает вам об отношениях между генераторами модуля, отношениях между этими отношениями и так далее.

Определение

Пусть A — коммутативное кольцо и s: A ^р → A A -линейная карта. Его комплекс Кошуля K _s равен

$\bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A$

куда карты отправляют

$\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}$

где ${\hat {\ }}$ означает, что термин опущен и $\wedge$ означает клиновый продукт . Можно заменить $A^{r}$ с любым A -модулем.

Мотивирующий пример

Пусть М — многообразие, многообразие, схема, ... и А — кольцо функций на нем, обозначаемое ${\mathcal {O}}(M)$.

Карта $s\colon A^{r}\to A$ соответствует выбору r функций $f_{1},...,f_{r}$. Когда r = 1 , комплекс Кошуля имеет вид

${\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)$

которого коядром является кольцо функций на нулевом локусе f = 0 . В целом Кошульский комплекс

${\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).$

Коядро последнего отображения снова является функциями на нулевом локусе $f_{1}=\cdots =f_{r}=0$. Это тензорное произведение многих комплексов Кошуля для $f_{i}=0$, поэтому его размерности задаются биномиальными коэффициентами.

На картинках: данные функции $s_{i}$, как нам определить место, где они все исчезают?

В алгебраической геометрии кольцо функций нулевого локуса есть $A/(s_{1},\dots ,s_{r})$. В производной алгебраической геометрии кольцо dg функций представляет собой комплекс Кошуля. Если локусы $s_{i}=0$ пересекаются поперечно , они эквивалентны.

Таким образом: Комплексы Кошуля представляют собой производные пересечения нулевых локусов.

Свойства

Структура алгебры

Во-первых, комплекс Кошуля K _s группы (A,s) является цепным комплексом : композиция любых двух отображений равна нулю. Во-вторых, карта

$K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }$

превращает это в dg-алгебру .

Как тензорное произведение

Комплекс Кошуля является тензорным произведением: если $s=(s_{1},\dots ,s_{r})$, затем

$K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}$

где $\otimes$ обозначает производное тензорное произведение цепных комплексов A -модулей.

Исчезновение в обычном случае

Когда $s_{1},\dots ,s_{r}$ образуют регулярную последовательность , отображение $K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})$ является квазиизоморфизмом, т.е.

$\operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,$

и что касается любого s , $H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})$.

История

Комплекс Кошуля был впервые введен Жаном-Луи Кошулем для определения алгебр Ли ( теории когомологий см. Когомологии алгебры Ли ). Это оказалось полезной общей конструкцией в гомологической алгебре . В качестве инструмента его гомологии можно использовать, чтобы определить, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярной последовательностью , и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубине модуля или идеала, который является алгебраическое понятие размерности, родственное геометрическому понятию размерности Крулля, но отличающееся от него . Более того, при определенных обстоятельствах комплекс является комплексом сизигий , то есть он сообщает вам об отношениях между генераторами модуля, отношениях между этими отношениями и так далее.

Подробное определение

Пусть R — коммутативное кольцо и E — модуль конечного ранга r над R. свободный Мы пишем $\bigwedge ^{i}E$ для i -й внешней E степени . Тогда, учитывая R -линейное отображение $s\colon E\to R$,комплекс Кошуля, связанный с s, представляет собой цепной комплекс -модулей R :

$K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0$,

где дифференциал $d_{k}$ дается: для любого $e_{i}$ в Е ,

$d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}$.

Надстрочный индекс ${\widehat {\cdot }}$ означает, что термин опущен. Чтобы показать это $d_{k}\circ d_{k+1}=0$, используйте самодуальность комплекса Кошуля.

Обратите внимание, что $\bigwedge ^{1}E=E$ и $d_{1}=s$. Обратите внимание также, что $\bigwedge ^{r}E\simeq R$; этот изоморфизм не является каноническим (например, выбор формы объема в дифференциальной геометрии является примером такого изоморфизма).

Если $E=R^{r}$ (т. е. выбирается упорядоченный базис), то, давая R -линейное отображение $s\colon R^{r}\to R$ сводится к заданию конечной последовательности $s_{1},\dots ,s_{r}$ элементов в R (а именно, вектор-строка), а затем задается $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$

Если M — конечно порожденный R -модуль, то полагают:

$K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M$,

который снова представляет собой цепной комплекс с индуцированным дифференциалом $(d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m$.

-я гомология i комплекса Кошуля

$\operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})$

называется i -й гомологией Кошуля . Например, если $E=R^{r}$ и $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ является вектором-строкой с записями в R , тогда $d_{1}\otimes 1_{M}$ является

$s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}$

и так

$\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.$

Сходным образом,

$\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).$

Кошульские комплексы в низких размерностях

Учитывая коммутативное кольцо R , элемент x в R и R - модуль M , умножение на x дает гомоморфизм -модулей R ,

$M\to M.$

Рассматривая это как цепной комплекс (помещая их в степени 1 и 0 и добавляя нули в других местах), он обозначается $K(x,M)$. По построению гомологии

$H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},$

аннулятор ​ x ​ в M . Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии кодируют фундаментальные свойства умножения на x . Этот цепной комплекс $K_{\bullet }(x)$ называется комплексом Кошуля R относительно x , как в #Definition .

Комплекс Кошул для пары $(x,y)\in R^{2}$ является

$0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,$

с матрицами $d_{1}$ и $d_{2}$ данный

$d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ и

$d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.$

Обратите внимание, что $d_{i}$ применяется справа. Тогда циклы степени 1 представляют собой в точности линейные отношения с элементами x и y , а границы — это тривиальные отношения. Первые гомологии Кошуля $H_{1}(K_{\bullet }(x,y))$ следовательно, измеряет именно отношения мод тривиальные отношения. При большем количестве элементов гомологии Кошула более высокой размерности измеряют версии этого более высокого уровня.

В случае, когда элементы $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ образуют регулярную последовательность , все высшие модули гомологии комплекса Кошуля равны нулю.

Пример

Если k — поле и $X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}$ неопределенны, а R — кольцо полиномов $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]$, Кошульский комплекс $K_{\bullet }(X_{i})$ на $X_{i}$'s образует конкретное свободное R -разрешение k .

гомологии

Пусть E — свободный модуль конечного ранга над R , пусть $s\colon E\to R$ — R линейное отображение, и пусть t — элемент R. - Позволять $K(s,t)$ быть Кошульский комплекс $(s,t)\colon E\oplus R\to R$.

С использованием $\bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E$,есть точная последовательность комплексов:

$0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0$,

где $[-1]$ означает градусный сдвиг на $-1$ и $d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}$. Один отмечает: для $(x,y)$ в $\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E$,

$d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).$

На языке гомологической алгебры сказанное означает, что $K(s,t)$ является отображения конусом $t\colon K(s)\to K(s)$.

Взяв длинную точную последовательность гомологий, получим:

$\cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .$

Здесь связующий гомоморфизм

$\delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))$

рассчитывается следующим образом. По определению, $\delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]$ где y — элемент $K(s,t)$ это соответствует x . С $K(s,t)$ является прямой суммой, мы можем просто принять y за (0, x ). Тогда ранняя формула для $d_{K(s,t)}$ дает $\delta ([x])=t[x]$.

Приведенную выше точную последовательность можно использовать для доказательства следующего.

Теорема — Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. Если последовательность $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}$ элементов R является регулярной последовательностью на M , то

$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$

для всех $i\geq 1$. В частности, когда M = R , это означает, что

$0\to \bigwedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \bigwedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0$

является точным; то есть, $K(x_{1},\dots ,x_{r})$ является R - свободным разрешением $R/(x_{1},\dots ,x_{r})$.

Доказательство индукцией по r . Если $r=1$, затем $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0$. Далее предположим, что утверждение верно для г — 1. Тогда, используя приведенную выше точную последовательность, получим $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0$ для любого $i\geq 2$. Исчезновение справедливо и для $i=1$, с $x_{r}$является ненулевым делителем на $\operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.$ $\square$

Следствие — Пусть R , M такие же, как указано выше, и $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ последовательность элементов R . Предположим, существуют кольцо S , S -регулярная последовательность $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}$ в S и кольцевой гомоморфизм S → R, отображающий $y_{i}$ к $x_{i}$. (Например, можно взять $S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]$.) Затем

$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).$

где Tor обозначает функтор Tor , а M — S -модуль через $S\to R$.

Доказательство. По теореме, примененной к S и S как S -модулю, мы видим, что $K(y_{1},\dots ,y_{n})$ является S -свободной резолюцией $S/(y_{1},\dots ,y_{n})$. Итак, по определению, i -я гомология $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M$ это правая часть вышесказанного. С другой стороны, $K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M$ по определению структуры S -модуля на M . $\square$

Следствие — Пусть R , M такие же, как указано выше, и $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ последовательность элементов R . Тогда оба идеала $I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ и уничтожитель М уничтожит

$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)$

для всех я .

Доказательство: Пусть S = R [ y1 _yn ,... ] _, . Превратим M в S -модуль посредством кольцевого гомоморфизма S → R , y _i → xi _R и S в -модуль через y _i → 0 . По предыдущему следствию $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)$ а потом

$\operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).$ $\square$

Для локального кольца справедливо обратное утверждение теоремы. В более общем смысле,

Теорема — Пусть R — кольцо, а M — конечно порождённый модуль над R. ненулевой Если $x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}$ являются элементами Джекобсона радикала R , то следующие утверждения эквивалентны:

1. Последовательность $x_{1},\dots ,x_{r}$ является регулярной последовательностью на M ,
2. $\operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$,
3. $\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0$ для всех i ≥ 1.

Доказательство: нам нужно только показать, что из 2 следует 1, остальное ясно. Мы рассуждаем индукцией по r . Случай r = 1 уже известен. Пусть x ' обозначает x1 _, ,... xr _{- 1} . Учитывать

$\cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .$

С момента первого $x_{r}$ является сюръективным, $N=x_{r}N$ с $N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))$. По лемме Накаямы , $N=0$ и поэтому x ' является регулярной последовательностью по предположению индуктивности. Со второго $x_{r}$ инъективен (т. е. является ненолевым делителем), $x_{1},\dots ,x_{r}$ представляет собой регулярную последовательность. (Примечание: по лемме Накаямы требование $M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0$ происходит автоматически.) $\square$

комплексов

В общем случае, если C , D — цепные комплексы, то их тензорное произведение $C\otimes D$ представляет собой цепной комплекс, заданный формулой

$(C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}$

с дифференциалом: для любых однородных элементов x , y ,

$d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)$

где | х | это степень х .

Эта конструкция применима, в частности, к кошульским комплексам. Пусть E , F — свободные модули конечного ранга и $s\colon E\to R$ и $t\colon F\to R$ быть двумя R -линейными отображениями. Позволять $K(s,t)$ — комплекс Кошуля линейного отображения $(s,t)\colon E\oplus F\to R$. Тогда как комплексы

$K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).$

Чтобы убедиться в этом, удобнее работать с внешней алгеброй (а не с внешними степенями). Определить градуированный вывод степени $-1$

$d_{s}:\wedge E\to \wedge E$

потребовав: для любых однородных элементов x , y в Λ E ,

• $d_{s}(x)=s(x)$ когда $|x|=1$
• $d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)$

Это легко увидеть $d_{s}\circ d_{s}=0$ (индукция по степени) и что действие $d_{s}$ по однородным элементам согласуется с дифференциалами в #Definition .

Теперь у нас есть $\wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F$ как градуированные R -модули. Кроме того, по определению тензорного произведения, упомянутому в начале,

$d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).$

С $d_{K(s)\otimes K(t)}$ и $d_{K(s,t)}$ являются производными одного и того же типа, отсюда следует $d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.$

Обратите внимание, в частности,

$K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})$.

Следующее предложение показывает, как комплекс элементов Кошуля кодирует некоторую информацию о последовательностях в порожденном ими идеале.

Предложение — . Пусть R кольцо, а I = ( x ₁ , ..., x _n ) — идеал, порожденный некоторыми n -элементами. Тогда для любого R -модуля M и любых элементов y ₁ , ..., y _r из I ,

$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.$

где $\wedge ^{k}R^{r}$ рассматривается как комплекс с нулевым дифференциалом. (На самом деле разложение происходит на уровне цепочки).

Доказательство: (простое, но пока опущено)

В качестве приложения мы можем показать чувствительность гомологии Кошуля к глубине. Для конечно порожденного модуля M над кольцом R по (одному) определению глубина M является относительно идеала I верхней границей длин всех регулярных последовательностей элементов I на M . Это обозначается $\operatorname {depth} (I,M)$. Напомним, что M -регулярная последовательность x ₁ , ..., x _n в идеале I является максимальной, если I не содержит ненулевых делителей на $M/(x_{1},\dots ,x_{n})M$.

Гомология Кошуля дает очень полезную характеристику глубины.

Теорема   (чувствительность к глубине) . Пусть R — нетерово кольцо, x ₁ , ..., x _n элементы R и I = ( x ₁ , ..., x _n ) идеал, порожденный ими. Для конечно порожденного модуля M над R , если для некоторого целого m числа

$\operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0$ для всех i > m ,

пока

$\operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,$

тогда каждая максимальная M -регулярная последовательность из I имеет длину n — m (в частности, все они имеют одинаковую длину). Как следствие,

$\operatorname {depth} (I,M)=n-m$.

Доказательство. Чтобы упростить обозначения, мы будем писать H(-) вместо H( K (-)). Пусть y1 _ys ,..., — _{максимальная} M - регулярная последовательность в идеале I ; мы обозначим эту последовательность через ${\underline {y}}$. Сначала покажем индукцией по $l$, утверждение, что $\operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)$ является $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})$ если $i=l$ и равен нулю, если $i>l$. Основной случай $l=0$ это ясно из #Свойства гомологии Кошуля . Из длинной точной последовательности гомологий Кошуля и индуктивной гипотезы

$\operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)$,

который $\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).$ Кроме того, согласно тому же рассуждению, исчезновение справедливо для $i>l$. На этом доказательство утверждения закончено.

Теперь из утверждения и раннего предложения следует, что $\operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0$ для всех i > n - s . Чтобы сделать вывод, что n - s = m , осталось показать, что оно не равно нулю, если i = n - s . С ${\underline {y}}$ является максимальной M -регулярной последовательностью в I , идеал I содержится в множестве всех делителей нуля на $M/{\underline {y}}M$, конечное объединение ассоциированных простых чисел модуля. из-за простого избегания в Таким образом , $M/{\underline {y}}M$ такой, что $I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)$, то есть,

$0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.$ $\square$

Самодуальность

Существует подход к комплексу Кошуля, в котором используется коцепной комплекс вместо цепного комплекса . Как оказывается, это приводит, по сути, к одному и тому же комплексу (факт, известный как самодуальность комплекса Кошуля).

Пусть E свободный модуль конечного ранга r над кольцом R. — Тогда каждый элемент e из E приводит к внешнему умножению слева на e :

$l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.$

С $e\wedge e=0$, у нас есть: $l_{e}\circ l_{e}=0$; то есть,

$0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0$

представляет собой кочейн-комплекс свободных модулей. Этот комплекс, также называемый комплексом Кошула, используется в ( Eisenbud 1995 ). Если взять двойственное, то получается комплекс:

$0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0$.

Использование изоморфизма $\wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})$, комплекс $(\wedge E,l_{e})$ совпадает с комплексом Кошуля в определении .

Используйте

Комплекс Кошуля необходим для определения совместного спектра набора коммутирующих ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве .

См. также

• Комплекс Кошул-Тейт
• Сизигий (математика)

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94268-8 .
• Уильям Фултон (1998), Теория интерсекций , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-36764-6
• Серр, Жан-Пьер (1975), Локальная алгебра, кратности , курс в Коллеж де Франс, 1957–1958, написанный Пьером Габриэлем. Третье издание, 1975 г. Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Проект Стеки , раздел 0601

Внешние ссылки

• Мелвин Хохстер , Math 711: Лекция от 3 октября 2007 г. (особенно самая последняя часть).