Линейная связь

В линейной алгебре линейное отношение или просто отношение между элементами векторного пространства или модуля представляет собой линейное уравнение , которое имеет эти элементы в качестве решения.

Точнее, если $e_{1},\dots ,e_{n}$ являются элементами (левого) модуля M над кольцом R (случай векторного пространства над полем является частным случаем), соотношение между $e_{1},\dots ,e_{n}$ это последовательность $(f_{1},\dots ,f_{n})$ элементов R таких, что

$f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.$

Отношения между $e_{1},\dots ,e_{n}$ сформировать модуль. Обычно интересен случай, когда $e_{1},\dots ,e_{n}$ является порождающим набором M конечно порожденного модуля , отношений часто называют сизигийным модулем M и в этом случае модуль . Модуль сизигии зависит от выбора генераторной установки, но он уникален с точностью до прямой суммы со свободным модулем. То есть, если $S_{1}$ и $S_{2}$ являются сизигическими модулями, соответствующими двум порождающим множествам одного и того же модуля, то они стабильно изоморфны , что означает, что существуют два свободных модуля $L_{1}$ и $L_{2}$ такой, что $S_{1}\oplus L_{1}$ и $S_{2}\oplus L_{2}$ изоморфны ​ .

Модули сизигии более высокого порядка определяются рекурсивно: первый модуль сизигии модуля M является просто его сизигическим модулем. Для k > 1 й k- сизигийный модуль M является сизигийным модулем ( k – 1) -го сизигического модуля. Теорема о сизигиях Гильберта утверждает, что если $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ является кольцом полиномов от n неопределённых над полем, то каждый n- й модуль сизигии свободен. Случай n = 0 — это тот факт, что каждое конечномерное векторное пространство имеет базис, а случай n = 1 — это тот факт, что K [ x ] является областью главных идеалов и что каждый подмодуль конечно порожденного свободного K [ x ] модуль также бесплатен.

Конструкция модулей сизигий более высокого порядка обобщается как определение свободных резольвент , что позволяет переформулировать теорему о сизигиях Гильберта, поскольку кольцо многочленов от n неопределенных над полем имеет глобальную гомологическую размерность n .

Если a и b — два элемента коммутативного кольца R , то ( b , –a ) — отношение, которое называется тривиальным . Модуль тривиальных отношений идеала — это подмодуль первого сизигического модуля идеала, порождённый тривиальными отношениями между элементами порождающего множества идеала. Понятие тривиальных отношений можно обобщить на сизигические модули более высокого порядка, что приводит к понятию комплекса Кошуля идеала, который дает информацию о нетривиальных отношениях между генераторами идеала.

Основные определения

Пусть R — , кольцо а M — левый R - модуль . Линейное отношение или просто отношение между k элементами $x_{1},\dots ,x_{k}$ из M является последовательностью $(a_{1},\dots ,a_{k})$ элементов R таких, что

$a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.$

Если $x_{1},\dots ,x_{k}$ является порождающим набором M , часто сизигией M. отношение называют Имеет смысл назвать это сизигией $M$ безотносительно $x_{1},..,x_{k}$ потому что, хотя модуль сизигии зависит от выбранного генераторного набора, большинство его свойств независимы; см. § Стабильные свойства ниже.

Если кольцо R нетерово когерентно или, по крайней мере, и если M , конечно порождено то модуль сизигий также конечно порожден. Модуль сизигии этого модуля сизигии является модулем сизигии M вторым . Продолжая таким же образом, можно определить k-й модуль сизигии для каждого натурального числа k .

Теорема о сизигиях Гильберта утверждает, что если M — конечно порожденный модуль над кольцом многочленов $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ над полем , то любой n-й модуль сизигии является свободным модулем .

Стабильные свойства

В этом разделе предполагается, что все модули конечно сгенерированы. То есть кольцо R предполагается нетеровым или, по крайней мере, когерентным .

Вообще говоря, на языке К-теории свойство устойчиво , если оно становится истинным при составлении прямой суммы с достаточно большим свободным модулем . Фундаментальным свойством модулей syzygies является то, что существует «стабильно независимый» выбор генераторных наборов для задействованных модулей. Следующий результат является основой этих устойчивых свойств.

Предложение — Пусть $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ — порождающий набор R -модуля M и $y_{1},\dots ,y_{n}$ быть другими элементами M . Модуль отношений между $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ является прямой суммой модуля отношений между $x_{1},\dots ,x_{m},$ и свободный модуль ранга n .

Доказательство. Как $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ представляет собой генераторную установку, каждая $y_{i}$ можно написать $\textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.$Это обеспечивает отношение $r_{i}$ между $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.$ Теперь, если $r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})$ какое-либо отношение, то $\textstyle r-\sum b_{i}r_{i}$ представляет собой отношение между $x_{1},\dots ,x_{m}$ только. Другими словами, каждое отношение между $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ представляет собой сумму отношений между $x_{1},\dots ,x_{m},$ и линейная комбинация $r_{i}$с. Единственность этого разложения доказывается несложно, и это доказывает результат. $\blacksquare$

Это доказывает, что первый модуль syzygy «стабильно уникален». Точнее, учитывая две генераторные установки $S_{1}$ и $S_{2}$ модуля M , если $S_{1}$ и $S_{2}$ являются соответствующими модулями отношений, то существуют два свободных модуля $L_{1}$ и $L_{2}$ такой, что $S_{1}\oplus L_{1}$ и $S_{2}\oplus L_{2}$ изоморфны. Для доказательства этого достаточно дважды применить предыдущее предложение для получения двух разложений модуля отношений объединения двух порождающих множеств.

Для получения аналогичного результата для высших модулей сизигий осталось доказать, что если M — любой модуль, а L — свободный модуль, то M и M ⊕ L имеют изоморфные модули сизигий. Достаточно рассмотреть порождающий набор M ⊕ L , состоящий из порождающего набора M и базиса L . Для каждого отношения между элементами этого порождающего набора все коэффициенты базисных элементов L равны нулю, а сизигии M ⊕ L являются в точности сизигиями M, расширенными нулевыми коэффициентами. Этим завершается доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для каждого натурального числа k - й k модуль сизигии данного модуля зависит от выбора порождающих наборов, но уникален с точностью до прямой суммы со свободным модулем. Точнее, если $S_{1}$ и $S_{2}$ есть k- ые модули сизигий, полученные различными выборами порождающих наборов, то существуют свободные модули $L_{1}$ и $L_{2}$ такой, что $S_{1}\oplus L_{1}$ и $S_{2}\oplus L_{2}$ изоморфны.

Связь со свободными резолюциями

Учитывая генераторную установку $g_{1},\dots ,g_{n}$ -модуля R можно рассматривать свободный базиса L модуль $G_{1},\dots ,G_{n},$ где $G_{1},\dots ,G_{n}$ являются новыми неопределенными. Это определяет точную последовательность

$L\longrightarrow M\longrightarrow 0,$

где левая стрелка — это линейная карта , отображающая каждый $G_{i}$ соответствующему $g_{i}.$ Ядро этой левой стрелки является первым сизигическим модулем M .

используя это ядро ​​вместо M. Эту конструкцию можно повторить , Повторяя снова и снова эту конструкцию, получаем длинную точную последовательность

$\cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$

где все $L_{i}$ являются бесплатными модулями. такая длинная точная последовательность является свободной резольвентой M. По определению ,

Для каждого k ≥ 1 ядро $S_{k}$ стрелки, начиная с $L_{k-1}$ является k- м сизигийным модулем M . Отсюда следует, что изучение свободных резолюций совпадает с изучением модулей сизигий.

Свободная резольвента имеет конечную длину ≤ n, если $S_{n}$ бесплатно. В этом случае можно взять $L_{n}=S_{n},$ и $L_{k}=0$ ( нулевой модуль ) для любого k > n .

Это позволяет переформулировать теорему о сизигиях Гильберта : если $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ является кольцом многочленов от n неопределенных над полем K , то каждая свободная резольвента имеет конечную длину не более n .

Глобальная размерность коммутативного нётерова кольца либо бесконечна, либо минимальное n такое, что каждая свободная резольвента имеет конечную длину не более n . Коммутативное нётерово кольцо регулярно , если его глобальная размерность конечна. В этом случае глобальное измерение равно размерности Крулла . Итак, теорему о сизигиях Гильберта можно переформулировать в очень коротком предложении, за которым скрывается большая часть математики: кольцо многочленов над полем является регулярным кольцом.

Тривиальные отношения

В коммутативном кольце R всегда ab – ba = 0 . Из этого тривиально следует , что ( b , – a ) является линейным отношением между a и b . Следовательно, учитывая генераторную установку $g_{1},\dots ,g_{k}$ идеала I называется тривиальным отношением или тривиальной сизигией, , каждый элемент подмодуля модулем сизигии, который порождается этими тривиальными отношениями между двумя порождающими элементами. Точнее, модуль тривиальных сизигий порождается соотношениями

$r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})$

такой, что $x_{i}=g_{j},$ $x_{j}=-g_{i},$ и $x_{h}=0$ в противном случае.

История

Слово сизигия вошло в математику благодаря работе Артура Кэли . В этой статье Кэли использовал его в теории результантов и дискриминантов . Поскольку слово сизигия использовалось в астрономии для обозначения линейной связи между планетами, Кэли использовал его для обозначения линейных отношений между минорами матрицы, например, в случае матрицы 2×3:

$a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.$

Затем слово сизигия было популяризировано (среди математиков) Дэвидом Гильбертом в его статье 1890 года, которая содержит три фундаментальные теоремы о полиномах: теорему о сизигии Гильберта , базисную теорему Гильберта и Nullstellensatz Гильберта .

В своей статье Кэли в частном случае использует то, что было позднее называется комплексом Кошуля , в честь аналогичной конструкции в дифференциальной геометрии математика Жана-Луи Кошуля .

Ссылки

• Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2007). «Идеалы, разновидности и алгоритмы». Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-35651-8 . ISBN  978-0-387-35650-1 . ISSN   0172-6056 .
• Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). «Использование алгебраической геометрии». Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b138611 . ISBN  0-387-20706-6 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN  0-387-94268-8 .
• Дэвид Эйзенбуд, Геометрия сизигий, Тексты для аспирантов по математике, том. 229, Спрингер, 2005.