Дэвид Хилберт

«Гильберт» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Гильберт (значения) .

Дэвид Хилберт
Гильберт в 1912 году
Рожденный	( 1862-01-23 ) 23 января 1862 г. Кенигсберг или Велау , Королевство Пруссия
Умер	14 февраля 1943 г. (1943-02-14) (81 год) Геттинген , нацистская Германия.
Образование	Кенигсбергский университет ( доктор философии )
Известный	Базисная теорема Гильберта Теорема Гильберта о нулевой точке Аксиомы Гильберта Проблемы Гильберта программа Гильберта Действие Эйнштейна – Гильберта Гильбертово пространство система Гильберта Расчет Эпсилон
Супруг	Кете Йерош
Дети	Франц (р. 1893)
Награды	Премия Лобачевского (1903). Премия Бояи (1910 г.) ФорМемРС
Научная карьера
Поля	Математика , Физика и Философия
Учреждения	Кенигсбергский университет Геттингенский университет
Тезис	Об инвариантных свойствах специальных бинарных форм, особенно сферических функций   (1885 г.)
Докторантура	Фердинанд фон Линдеманн
Докторанты	показывать   Wilhelm Ackermann Heinrich Behmann Felix Bernstein Otto Blumenthal Anne Bosworth Werner Boy Ugo Broggi Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Ludwig Föppl Rudolf Fueter Paul Funk Kurt Grelling Alfréd Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Margarete Kahn Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Klara Löbenstein Charles Max Mason Alexander Myller Erhard Schmidt Kurt Schütte Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Sudan Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Другие известные студенты	Эдвард Каснер Джон фон Нейман Карл Густав Хемпель

Дэвид Гилберт ( / ˈ h ɪ l b ər t / ; Немецкий: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик, один из самых влиятельных математиков XIX — начала XX веков. Гильберт открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей, включая теорию инвариантов , вариационное исчисление , коммутативную алгебру , теорию алгебраических чисел , основы геометрии , спектральную теорию операторов и ее применение к интегральным уравнениям , математическую физику и основы математики. (особенно теория доказательств ).

Гильберт принял и защитил Георга Кантора теорию множеств и трансфинитные числа . В 1900 году он представил сборник задач , задавших курс математическим исследованиям XX века.

Гильберт и его ученики внесли свой вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Гильберт был одним из основателей теории доказательств и математической логики .

Жизнь

Молодость

Гильберт, первый из двух детей и единственный сын Отто, окружного судьи, и Марии Терезы Гильберт ( урожденной Эрдтманн), дочери купца, родился в провинции Пруссия , королевство Пруссия , либо в Кенигсберге (по данным собственное заявление Гильберта) или в Велау (известном с 1946 года как Знаменск ) недалеко от Кенигсберга, где на момент его рождения работал его отец. Его дедом по отцовской линии был Давид Гильберт, судья и гехаймрат . Его мать Мария интересовалась философией, астрономией и простыми числами , а отец Отто учил его прусским добродетелям . После того как его отец стал городским судьей, семья переехала в Кёнигсберг. Сестра Дэвида, Элиза, родилась, когда ему было шесть лет. Он начал учиться в школе в восемь лет, на два года позже обычного возраста.

В конце 1872 года Гильберт поступил в Фридрихсколлег гимназию ( Collegium fridericianum , ту же школу, которую Иммануил Кант 140 лет назад посещал ); но после неудачного периода он перевелся (в конце 1879 г.) и окончил (начало 1880 г.) более научно-ориентированную гимназию Вильгельма . По окончании учебы, осенью 1880 года, Гильберт поступил в Кенигсбергский университет «Альбертина». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта и тоже уроженец Кенигсберга, но уехавший на три семестра в Берлин) вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на всю жизнь подружился с застенчивым и одаренным Минковским.

Карьера

Гильберт в 1886 году

Гильберт в 1907 году

В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Геттингена в качестве экстраординара (т. е. доцента). Между этими троими начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и особенно Минковский и Гильберт оказывали взаимное влияние друг на друга в разные периоды своей научной карьеры. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, защитив диссертацию, написанную под руководством Фердинанда фон Линдеманна . под названием форм, в частности сферических гармонических функций » («Об инвариантных свойствах специальных «Об инвариантных свойствах специальных бинарных бинарных форм , в частности сферических гармонических функций» ).

Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента ( старшего преподавателя ) с 1886 по 1895 год. В 1895 году в результате вмешательства от его имени Феликса Клейна он получил должность профессора математики в Гёттингенском университете . В годы правления Кляйна и Гильберта Геттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. Он оставался там до конца своей жизни.

Математический институт в Геттингене. Его новое здание, построенное на средства Фонда Рокфеллера , было открыто Гильбертом и Курантом в 1930 году.

Геттингенская школа

Среди учеников Гильберта были Герман Вейль , по шахматам чемпион Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Карл Густав Гемпель . Джон фон Нейман был его помощником. В Геттингенском университете Гильберт был окружен кругом общения некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонсо Чёрч .

Среди его 69 докторов философии. В Геттингене было много студентов, которые позже стали известными математиками, в том числе (с датой диссертации): Отто Блюменталь (1898 г.), Феликс Бернштейн (1901 г.), Герман Вейль (1908 г.), Рихард Курант (1910 г.), Эрих Хекке (1910 г.), Гюго Штайнхаус (1911 г.) и Вильгельм Аккерманн (1925 г.). Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени. США В 1907 году он был избран международным членом Национальной академии наук .

Личная жизнь

Кете Гильберт с Константином Каратеодори , до 1932 года.

Гильберт и его жена Кете Йерош (1892 г.)

Франц Гильберт

В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского торговца, «откровенной молодой женщине с независимостью ума, соответствующей [Гильберту]». В Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт (1893–1969). Франц всю свою жизнь страдал психическим заболеванием, и после того, как его поместили в психиатрическую клинику, Гильберт сказал: «Отныне я должен считать, что у меня нет сына». Его отношение к Францу сильно огорчило Кете.

Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и вернейшим другом».

Гильберт был крещен и воспитан кальвинистом в Прусской евангелической церкви . Позже он покинул Церковь и стал агностиком . Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. Когда Галилео Галилея критиковали за то, что он не смог отстоять свои убеждения в отношении гелиоцентрической теории , Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог поверить, что научная истина требует мученичества; это может быть необходимо в религии, но научные результаты окажутся в свое время».

Спустя годы

Как и Альберт Эйнштейн , Гильберт имел самые тесные контакты с Берлинской группой , ведущие основатели которой учились у Гильберта в Гёттингене ( Курт Греллинг , Ганс Райхенбах и Вальтер Дубислав ).

Примерно в 1925 году у Гильберта развилась злокачественная анемия — неизлечимый на тот момент дефицит витаминов, основным симптомом которого является истощение; его помощник Юджин Вигнер описал его как человека, подверженного «огромной усталости», и что он «выглядел довольно старым», и что даже после того, как в конце концов ему поставили диагноз и вылечили, он «едва ли был ученым после 1925 года и уж тем более не Гильбертом».

Гильберт был избран членом Американского философского общества в 1932 году.

Гильберт дожил до того, чтобы стать свидетелем чистки нацистами многих видных преподавателей Геттингенского университета в 1933 году. Среди изгнанных были Герман Вейль (который занял кресло Гильберта, когда он вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау . , которому пришлось покинуть Германию, Пауль Бернейс сотрудничал с Гильбертом в области математической логики и был соавтором важной книги. Grundlagen der Mathematik (который в конечном итоге вышел в двух томах, в 1934 и 1939 годах). Это было продолжение книги Гильберта- « Акермана Принципы математической логики» 1928 года. Преемником Германа Вейля был Гельмут Хассе .

Примерно через год Гильберт присутствовал на банкете и сел рядом с новым министром образования Бернхардом Рустом . Руст задавался вопросом, «действительно ли Математический институт так сильно пострадал из-за выезда евреев». Гильберт ответил: «Пострадал? Его больше не существует, не так ли?»

Смерть

Могила Гильберта:
Мы должны знать
Мы узнаем

К моменту смерти Гильберта в 1943 году нацисты почти полностью восстановили штат сотрудников университета, поскольку многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женатыми на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, только двое из которых были коллегами-учеными, в том числе Арнольд Зоммерфельд , физик-теоретик, также уроженец Кенигсберга. Известие о его смерти стало известно всему миру только через несколько месяцев после его смерти.

Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в заключении своего обращения на пенсию к Обществу немецких ученых и врачей 8 сентября 1930 года. Эти слова были даны в ответ на латинскую максиму: « Ignoramus et ignorabimus ». или «Мы не знаем и не узнаем»:

Мы должны знать.
Мы узнаем.

Мы должны знать.
Мы узнаем.

За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей 1930 года, Курт Гёдель — в ходе дискуссии за круглым столом во время Конференции по эпистемологии, проводившейся совместно с заседаниями Общества, — предварительно объявил о первом выражении своей теоремы о неполноте. . Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано, либо внутренне противоречивы, либо содержат логические утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть в рамках этой системы.

в математику

Гордана

Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году его знаменитой теоремы о конечности . Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности генераторов для бинарных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными не увенчались успехом из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что стало известно в некоторых кругах как проблема Гордана , Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта , показывающую существование конечного набора образующих, для инвариантов квантик от любого числа переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого набора, это не было конструктивным доказательством (он не отображал «объект»), а, скорее, было доказательством существования. и полагался на использование закона исключенного третьего в бесконечном расширении.

Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen . Гордан, эксперт по теории инвариантов в Mathematische Annalen , не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отверг статью, раскритиковав ее изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:

Это не математика. Это теология.

Это не математика. Это Теология.

Кляйн , напротив, признавал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Воодушевленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора образующих, и еще раз отправил его в « Аннален» . Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:

Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, в «Анналене» . когда-либо опубликованная

Позже, после того как полезность метода Гильберта была общепризнана, сам Гордан скажет:

Я убедил себя, что даже теология имеет свои достоинства.

Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог себе представить. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил на аналогичную критику других, что «многие различные конструкции сводятся к одной фундаментальной идее» — другими словами (цитируя Рида): «Благодаря доказательству существования Гильберт смог получить строительство"; «Доказательство» (то есть символы на странице) было «объектом». Не все были убеждены. Хотя Кронекер вскоре умер, его конструктивистская философия продолжилась вместе с молодым Брауэром и его развивающейся интуиционистской «школой», к большому мучению Гильберта в последние годы его жизни. Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма - «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере». Интуиционист Брауэр, в частности, выступал против использования закона исключенного третьего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:

Отобрать у математика принцип исключенного третьего... это то же самое, что... запретить боксёру пользоваться кулаками.

Кривая Гильберта

Правила замены

Основная статья: кривая Гильберта

В 1890 году Джузеппе Пеано опубликовал в Mathematische Annalen статью , описывающую исторически первую кривую, заполняющую пространство . В ответ Гильберт разработал свою собственную конструкцию такой кривой, которая теперь называется кривой Гильберта . Аппроксимации к этой кривой строятся итерационно по правилам замены на первом рисунке этого раздела. Сама кривая тогда является поточечным пределом.

Первые шесть приближений кривой Гильберта

Аксиоматизация геометрии

Основная статья: аксиомы Гильберта

Текст Grundlagen der Geometrie (тр.: Основы геометрии ), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида . Они избегают недостатков, выявленных у Евклида , чьи работы в то время все еще использовались как учебники. Трудно указать аксиомы, используемые Гильбертом, не обращаясь к истории публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторскими правами в 1902 году. В этот перевод вошли изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому он считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий вышло на немецком языке. 7-е издание было последним, вышедшим при жизни Гильберта. За 7-м последовали новые издания, но основной текст по существу не перерабатывался.

Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу . В этом Гильберта предвосхитила работа Морица Паша 1882 года. Аксиомы не принимаются как самоочевидные истины. Геометрия может рассматривать вещи , о которых у нас есть мощная интуиция, но нет необходимости придавать какое-либо явное значение неопределенным понятиям. Такие элементы, как точка , линия , плоскость и другие, можно было бы заменить, как сообщается, Гильберт Шенфлису и Кеттеру , столами, стульями, стаканами с пивом и другими подобными предметами. Обсуждаются их определенные взаимоотношения.

Гильберт сначала перечисляет неопределенные понятия: точка, линия, плоскость, лежащее на (отношение между точками и прямыми, точками и плоскостями, а также линиями и плоскостями), междумежность, конгруэнтность пар точек ( прямой ) и конгруэнтность углов отрезков . Аксиомы объединяют в единую систему как плоскую геометрию , так и объемную геометрию Евклида.

23 проблемы

Основная статья: Проблемы Гильберта

Гильберт представил весьма влиятельный список, состоящий из 23 нерешенных задач, на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Обычно его считают наиболее успешным и глубоко продуманным сборником открытых задач, когда-либо созданным отдельным математиком.

Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог бы экстраполировать их на остальную часть математики. Однако его подход отличался от более позднего «основателя» Рассела-Уайтхеда или «энциклопедиста» Николаса Бурбаки и от его современника Джузеппе Пеано . Математическое сообщество в целом могло заниматься проблемами, которые он считал важнейшими аспектами важных областей математики.

Набор задач был представлен в виде доклада «Проблемы математики», представленного в ходе Второго Международного конгресса математиков, проходившего в Париже. Во введении к речи, которую произнес Гильберт, говорилось:

Кто из нас не был бы рад приоткрыть завесу, за которой скрыто будущее; взирать на грядущее развитие нашей науки и на тайны ее развития в грядущие века? К каким целям будет стремиться дух будущих поколений математиков? Какие методы, какие новые факты откроет новый век на обширном и богатом поле математической мысли?

Он представил на съезде менее половины задач, которые были опубликованы в актах съезда. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ставших теперь каноническими 23 проблем Гильберта. См. также двадцать четвертую проблему Гильберта . Полный текст важен, поскольку толкование вопросов по-прежнему может стать предметом неизбежных дебатов, когда бы ни спросили, сколько из них было решено.

Некоторые из них были решены в течение короткого времени. Другие обсуждались на протяжении всего 20-го века, а некоторые из них теперь считаются слишком открытыми, чтобы их можно было завершить. Некоторые из них продолжают оставаться проблемой.

Ниже приведены заголовки 23 задач Гильберта в том виде, в каком они были опубликованы в переводе 1902 года в Бюллетене Американского математического общества .

1. Проблема Кантора о кардинальном числе континуума.

2. Совместимость арифметических аксиом.

3. Равенство объемов двух тетраэдров с равными основаниями и равными высотами.

4. Задача о прямой как о кратчайшем расстоянии между двумя точками.

5. Концепция Ли о непрерывной группе преобразований без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.

6. Математическая трактовка аксиом физики.

7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.

8. Проблемы простых чисел («Гипотеза Римана»).

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Определение разрешимости диофантова уравнения.

11. Квадратичные формы с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на любую алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения 7-й степени с помощью функций всего двух аргументов.

14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.

15. Строгое обоснование перечислительного исчисления Шуберта.

16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.

17. Выражение определенных форм квадратами.

18. Построение пространства из равных многогранников.

19. Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления обязательно аналитические?

20. Общая проблема граничных значений (Краевые задачи в УЧП).

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих заданную группу монодромии.

22. Униформизация аналитических отношений с помощью автоморфных функций.

23. Дальнейшее развитие методов вариационного исчисления.

Формализм

В описании, которое к середине века стало стандартным, набор задач Гильберта также был своего рода манифестом, открывшим путь для развития формалистической школы , одной из трех основных школ математики 20-го века. Согласно формалистам, математика — это манипуляция символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли. Однако есть основания сомневаться в том, что взгляды Гильберта были в этом смысле упрощенно-формалистскими.

Программа Гильберта

Основная статья: программа Гильберта

В 1920 году Гильберт предложил исследовательский проект в области метаматематики , который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика была сформулирована на прочной и полной логической основе. Он считал, что в принципе это можно сделать, показав, что:

1. вся математика следует из правильно выбранной конечной системы аксиом ; и
2. что некоторая такая система аксиом доказуемо непротиворечива с помощью некоторых средств, таких как эпсилон-исчисление .

Похоже, у него были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Это подтвердило его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus , что все еще было активной проблемой в немецкую мысль в его время и восходило в этой формулировке к Эмилю дю Буа-Реймону .

Эта программа до сих пор узнаваема в самой популярной философии математики , где ее обычно называют формализмом . Например, группа Бурбаки приняла его смягченную и выборочную версию как адекватную требованиям их двойных проектов: (а) написания фундаментальных энциклопедических работ и (б) поддержки аксиоматического метода как инструмента исследования. Этот подход оказался успешным и влиятельным в отношении работ Гильберта в области алгебры и функционального анализа, но не смог таким же образом отразиться на его интересах в физике и логике.

Гильберт писал в 1919 году:

Мы не говорим здесь о произволе ни в каком смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и ни в коем случае не иначе.

Гильберт опубликовал свои взгляды на основы математики в двухтомном труде Grundlagen der Mathematik .

Работа Гёделя

Гильберт и математики, работавшие с ним на его предприятии, были преданы этому проекту. Его попытка подкрепить аксиоматизированную математику четкими принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.

Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать хотя бы арифметику, не может продемонстрировать свою полноту посредством собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что заявленный великий план Гильберта был невозможен. Второй пункт не может каким-либо разумным образом сочетаться с первым пунктом, пока система аксиом действительно финитна .

Тем не менее, последующие достижения теории доказательств, по крайней мере, прояснили последовательность в отношении теорий, представляющих центральный интерес для математиков. Работа Гильберта положила начало логике этого пути разъяснения; Необходимость понять работу Гёделя привела затем к развитию теории рекурсии , а затем и математической логики как самостоятельной дисциплины в 1930-х годах. Основа более поздней теоретической информатики в работах Алонсо Чёрча и Алана Тьюринга также выросла непосредственно из этих «дебатов».

Функциональный анализ

Около 1909 года Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства , позже названного гильбертовым пространством . Его работа в этой части анализа заложила основу для важного вклада в математику и физику в следующие два десятилетия, хотя и в неожиданном направлении. Позже Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховые пространства . Гильбертовые пространства — важный класс объектов в области функционального анализа , особенно спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которая выросла вокруг него в 20 веке.

Физика

До 1912 года Гильберт был почти исключительно чистым математиком . Планируя визит из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней на карантине, прежде чем он сможет навестить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство физических исследований Гильберта до 1912 года, включая их совместный семинар по этой теме в 1905 году.

В 1912 году, через три года после смерти своего друга, Гильберт сосредоточил свое внимание почти исключительно на этой теме. Он нанял себе «репетитора по физике». Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к элементарной теории излучения и молекулярной теории вещества. за работами Альберта Эйнштейна Даже после начала войны в 1914 году он продолжал проводить семинары и занятия, на которых внимательно следили и других.

К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации , но затем почти 8 лет боролся за то, чтобы привести теорию в ее окончательную форму . К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности , и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочитать неделю лекций по этому предмету. Эйнштейна встретили в Геттингене с энтузиазмом. Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работает над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стали «Уравнения поля гравитации» (см. Уравнения поля Эйнштейна ). Почти одновременно Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью признал Эйнштейна создателем теории, и в течение их жизни между этими двумя людьми никогда не возникало никаких публичных споров о приоритетах относительно уравнений поля. Больше смотрите в приоритете .

Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и способствовала нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики . Его работа была ключевым аспектом работы Германа Вейля и Джона фон Неймана по математической эквивалентности Вернера Гейзенберга и матричной механики волнового Эрвина Шредингера , уравнения а его тезка Гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы как теории волновых функций Шрёдингера, так и матрицам Гейзенберга.

На протяжении всего погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы сделать математическую физику более строгой. Несмотря на то, что физики сильно зависели от высшей математики, они, как правило, относились к ней «небрежно». Для такого чистого математика, как Гильберт, это было одновременно уродливо и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики использовали математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил – особенно в области интегральных уравнений . Когда его коллега Рихард Курант написал ставшую классической книгу « Methoden der mathematischen Physik» ( «Методы математической физики »), включающую некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта в качестве автора, хотя Гильберт не принимал непосредственного участия в написании. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», подразумевая, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.

Теория чисел

Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел , сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности , он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов. Тогда ему особо нечего было публиковать по этому вопросу; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем привязывается к основной области.

Он сделал ряд гипотез по теории полей классов . Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад сохранился в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории полей локальных классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги .

Гильберт не работал в центральных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта-Пойа по причинам, которые являются анекдотическими. Эрнст Хеллингер , ученик Гильберта, однажды рассказал Андре Вейлю , что Гильберт объявил на своем семинаре в начале 1900-х годов, что он ожидает, что доказательство гипотезы Римана станет следствием работы Фредгольма над интегральными уравнениями с симметричным ядром.

Работает

Собрание его сочинений ( Gesammelte Abhandlungen ) издавалось несколько раз. Оригинальные версии его статей содержали «много технических ошибок разной степени»; когда сборник был впервые опубликован, ошибки были исправлены и выяснилось, что это можно сделать без серьезных изменений в формулировках теорем, за одним исключением — заявленным доказательством гипотезы континуума . Тем не менее ошибки были настолько многочисленными и существенными, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы внести исправления.

См. также

Концепции

• Список вещей, названных в честь Дэвида Гильберта
• Основы геометрии
• Гильберт C*-модуль
• Куб Гильберта
• Кривая Гильберта
• Матрица Гильберта
• Гильбертова метрика
• Критерий Гильберта – Мамфорда
• число Гильберта
• Кольцо Гильберта
• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Ряд Гильберта и полином Гильберта
• Гильбертово пространство
• Гильбертов спектр
• система Гильберта
• Преобразование Гильберта
• Арифметика целей Гильберта
• Парадокс Гильберта о Гранд-отеле
• Оператор Гильберта – Шмидта
• Гипотеза Гильберта – Смита

Теоремы

• Теорема Гильберта – Берча
• Теорема Гильберта о неприводимости
• Теорема Гильберта о нулевой точке
• Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)
• Теорема Гильберта 90
• Теорема о сизигиях Гильберта
• Теорема Гильберта – Спейзера

Другое

• Споры Брауэра и Гильберта
• Прямой метод в вариационном исчислении
• Проблема решения
• Геометрия и воображение
• Спор о приоритете общей теории относительности

Источники

английском

• Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета.
  • 1918. «Аксиоматическая мысль», 1114–1115.
  • 1922. «Новые основания математики: первый отчет», 1115–1133.
  • 1923. «Логические основы математики», 1134–1147.
  • 1930. «Логика и познание природы», 1157–1165.
  • 1931. «Обоснование элементарной теории чисел», 1148–1156.
  • 1904. «Об основах логики и арифметики», 129–138.
  • 1925. «О бесконечности», 367–392.
  • 1927. «Основы математики», с комментарием Вейля и приложением Бернейса , 464–489.
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 гг . Издательство Гарвардского университета.
• Гильберт, Дэвид (1950) [1902]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Перевод Таунсенда, Э.Дж. (2-е изд.). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court. Архивировано (PDF) из оригинала 28 декабря 2005 г.
• Гильберт, Дэвид (1990) [1971]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] . Перевод Унгера, Лео (2-е английское изд.). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court. ISBN  978-0-87548-164-7 . перевод из 10-го немецкого издания
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1998-2 . Доступный набор лекций, изначально предназначенный для жителей Геттингена.
• Гильберт, Дэвид (2004). Халлетт, Майкл; Майер, Ульрих (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам математики и физики, 1891–1933 гг . Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64373-9 .

Вторичная литература

• Бертран, Габриэль (20 декабря 1943b), «Аллокация» , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 217 , Париж: 625–640 , доступно в Gallica . «Обращение» Габриэля Бертрана от 20 декабря 1943 года во Французской академии: он дает биографические очерки жизни недавно умерших членов, в том числе Питера Зеемана , Давида Гильберта и Жоржа Жиро .
• Боттаццини Умберто, 2003. Флейта Гильберта. История математики . ЮТЭТ , ISBN   88-7750-852-3
• Корри Л., Ренн Дж. и Стачел Дж., 1997, «Запоздалое решение в споре о приоритете Гильберта и Эйнштейна», Science 278 : nn-nn.
• Корри, Лео (2004). Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики (1898–1918): от основ геометрии к основам физики . Спрингер. ISBN  90-481-6719-1 .
• Доусон, Джон В. младший 1997. Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . Уэлсли Массачусетс: АК Питерс. ISBN   1-56881-256-6 .
• Фёлсинг, Альбрехт (1998). Альберт Эйнштейн . Пингвин.
• Граттан-Гиннесс, Айвор , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Принстонский университет. Нажимать.
• Грей, Джереми , 2000. Вызов Гильберта . ISBN   0-19-850651-1
• Манкосу, Паоло (1998). От Брауэра до Гильберта, Дебаты об основаниях математики в 1920-х годах . Оксфордский университет. Нажимать. ISBN  978-0-19-509631-6 .
• Мехра, Джагдиш , 1974. Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации . Рейдель.
• Пьерджорджио Одифредди , 2003. Geometric Entertainment. Геометрические истоки логики от Евклида до Гильберта . Боллати Борингьери, ISBN   88-339-5714-4 . Четкое изложение «ошибок» Евклида и решений, представленных в « Основах геометрии» , со ссылкой на неевклидову геометрию .
• Рид, Констанс. (1996). Гильберт . Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  0-387-94674-8 . Полная англоязычная биография Гильберта.
• Роу, Делавэр (1989). «Кляйн, Гильберт и Геттингенская математическая традиция». Осирис . 5 : 186–213. дои : 10.1086/368687 . S2CID   121068952 .
• Зауэр, Тилман (1999). «Относительность открытий: первая заметка Гильберта об основах физики». Арх. Хист. Точная наука . 53 : 529–75. arXiv : физика/9811050 . Бибкод : 1998физика..11050S .
• Зиг, Вильфрид (2013). Программы Гильберта и не только . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-537222-9 .
• Зиг, Вильфрид и Равалья, Марк, 2005, «Grundlagen der Mathematik» в Grattan-Guinness, I. , изд., « Важные произведения в западной математике» . Эльзевир : 981-99. (по-английски)
• Торн, Кип , 1995. Черные дыры и искажения времени: возмутительное наследие Эйнштейна , WW Norton & Company; Репринтное издание. ISBN   0-393-31276-3 .
• Георг фон Вальвиц: Господа, это не баня. Как математик изменил XX век. Беренберг Верлаг, Берлин, 2017 г., ISBN 978-3-946334-24-8. Полная биография Гильберта на немецком языке.

Внешние ссылки

• Проект Гильберта Бернейса
• Обращение Гильберта к 23 проблемам
• ICMM 2014 посвящен памяти Д.Гильберта
• Работы Дэвида Гильберта в Project Gutenberg
• Работы Дэвида Гилберта или о нем в Internet Archive
• Работы Дэвида Гилберта в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• Радиовыступление Гильберта, записанное в Кенигсберге в 1930 году (на немецком языке). Архивировано 14 февраля 2006 года в Wayback Machine с английским переводом . Архивировано 12 ноября 2020 года в Wayback Machine.
• Wolfram MathWorld – Константа Гильберта
• Дэвид Гилберт в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Дэвид Гильберт» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• «От проблем Гильберта к будущему» , лекция профессора Робина Уилсона, Грешам-Колледж , 27 февраля 2008 г. (доступно в текстовом, аудио- и видеоформате).
• Вырезки из газет о Давиде Гильберте в пресс-архиве 20-го ZBW века