Теория поля локальных классов

В математике , теория полей локальных классов введенная Гельмутом Хассе , — изучение абелевых расширений локальных полей ; здесь «локальное поле» означает поле, полное по абсолютному значению или дискретному значению с конечным полем вычетов: следовательно, каждое локальное поле изоморфно ( как топологическое поле) действительным числам R , комплексным числам C , конечное расширение -адических p чисел Q _p (где p — любое простое число ) или поле формальных рядов Лорана F _q (( T )) над конечным полем F _q .

полей

Теория полей локальных классов дает описание группы Галуа G максимального абелева расширения локального поля K через отображение взаимности, которое действует из мультипликативной группы K ^× = К \{0}. Для конечного абелева расширения L группы K отображение взаимности индуцирует изоморфизм факторгруппы K ^× / Н ( Л ^× ) К ^× по норме группы N ( L ^× ) расширения L ^× группе Галуа Gal( L / K )расширения.

Теорема существования в локальной теории полей классов устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K ^× и конечные абелевы расширения поля K . Для конечного абелева расширения L группы K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является нормой группой N ( L ^× ). Карта взаимности отправляет более высокие группы единиц в подгруппы с более высоким разветвлением, см., например, гл. IV из.

Используя локальную карту взаимности, определяют символ Гильберта и его обобщения. Нахождение явных формул для него — одно из поднаправлений теории локальных полей, имеющее долгую и богатую историю, см., например, Сергея Востокова . обзор

Существуют когомологические и негомологические подходы к теории полей локальных классов. Когомологические подходы, как правило, неявны, поскольку они используют чашечное произведение первых групп когомологий Галуа.

Различные подходы к теории полей локальных классов см. в гл. IV и разд. 7 гл. IV из К ним относятся подход Хассе с использованием группы Брауэра , когомологические подходы, явные методы Юргена Нойкирха , Михеля Хазевинкеля , теория Любина-Тейта и другие.

теории полей

Обобщения локальной теории полей классов на локальные поля с квазиконечным полем вычетов были простым расширением теории, полученной Г. Уэплсом в 1950-х годах, см. главу V книги. .

Явная теория поля p-класса для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна иметь дело с новым вопросом о нормальных группах бесконечного индекса. Соответствующие теории построил Иван Фесенко . Некоммутативная локальная теория полей классов Фесенко для арифметически бесконечных расширений Галуа локальных полей изучает подходящее локальное отображение коцикла взаимности и его свойства. Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу теоретическому представлению локального соответствия Ленглендса.

Теория поля

Для локального поля более высокой размерности $K$ существует высшее локальное отображение взаимности, которое описывает абелевы расширения поля в терминах открытых подгрупп конечного индекса в K-группе Милнора поля. А именно, если $K$ это $n$-мерное локальное поле, тогда используется $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ или его отделенное частное, наделенное подходящей топологией. Когда $n=1$ теория становится обычной теорией полей локальных классов. В отличие от классического случая, K-группы Милнора не удовлетворяют спуску модулей Галуа, если $n>1$. Общая многомерная теория полей локальных классов была развита К. Като и И. Фесенко .

Теория полей высших локальных классов является частью теории полей высших классов , которая изучает абелевы расширения (соответственно абелевы накрытия) полей рациональных функций собственных регулярных схем, плоских над целыми числами.

См. также

• Высшее местное поле
• Локальные гипотезы Ленглендса
• Нормальная группа

Дальнейшее чтение

• Фесенко Иван; Востоков, Сергей (2002), Локальные поля и их расширения (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-19-504030-2
• Фесенко Иван Борисович ; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение к высшим локальным полям , Монографии по геометрии и топологии, том. 3 (Первое изд.), Уорикский университет: Издательство математических наук , doi : 10.2140/gtm.2000.3 , ISSN   1464-8989 , Zbl   0954.00026
• Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-504030-2 , МР   0863740
• Нойкирх, Юрген (1986), Теория полей классов , Фундаментальные принципы математических наук, том. 280, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-15251-4 , МР   0819231
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория поля локальных классов», в Касселсе, Джон Уильям Скотт; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (Proc. Training Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 128–161, ISBN  978-0-9502734-2-6 , МР   0220701
• Серр, Жан-Пьер (1979) [1962], Corps Locaux (английский перевод: Local Fields) , Тексты для выпускников по математике, том. 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90424-5 , МР   0150130