Jump to content

Высшее местное поле

В математике высшим (-мерным) локальным полем является важный пример полного поля дискретных оценок . Такие поля также иногда называют многомерными локальными полями.

На обычных локальных полях (обычно пополнениях числовых полей или полях частных локальных колец алгебраических кривых ) существует единственное сюръективное дискретное нормирование (ранга 1), связанное с выбором локального параметра полей, если только они не являются архимедовыми. локальные поля, такие как действительные числа и комплексные числа . Аналогично существует дискретное нормирование ранга n почти на всех n -мерных локальных полях, связанное с выбором n локальных параметров поля. [1] В отличие от одномерных локальных полей, высшие локальные поля имеют последовательность полей вычетов . [2] Существуют разные интегральные структуры в более высоких локальных полях, в зависимости от того, сколько информации о полях вычетов нужно принять во внимание. [2]

Геометрически высшие локальные поля возникают в процессе локализации и пополнения локальных колец схем более высокой размерности . [2] Высшие локальные поля являются важной частью предмета теории чисел более высокой размерности, образуя соответствующий набор объектов для локальных рассмотрений.

Определение

[ редактировать ]

Конечные поля имеют размерность 0, а полные поля дискретного нормирования с конечным полем вычетов имеют размерность один (естественно также определить архимедовы локальные поля, такие как R или C, как имеющие размерность 1), то мы говорим, что полное поле дискретного нормирования имеет размерность n, если его поле вычетов имеет размерность n −1. Высшие локальные поля — это поля размерности больше единицы, а одномерные локальные поля — это традиционные локальные поля. Мы называем поле вычетов конечномерного высшего локального поля «первым» полем вычетов, тогда его поле вычетов становится вторым полем вычетов, и шаблон продолжается до тех пор, пока мы не достигнем конечного поля. [2]

Двумерные локальные поля делятся на следующие классы:

  • Поля положительной характеристики представляют собой формальные степенные ряды по переменной t над одномерным локальным полем, т. е. F q (( u ))(( t )).
  • Эквихарактеристические поля нулевой характеристики, это формальные степенные ряды F (( t )) по одномерному локальному полю F нулевой характеристики.
  • Поля смешанной характеристики , они являются конечными расширениями полей типа F {{ t }}, F — одномерное локальное поле нулевой характеристики. Это поле определяется как набор формальных степенных рядов, бесконечных в обоих направлениях, с коэффициентами из F такими, что минимальная оценка коэффициентов является целым числом и такими, что оценка коэффициентов стремится к нулю при изменении их индекса. до минус бесконечности. [2]
  • Архимедовы двумерные локальные поля, которые представляют собой формальные степенные ряды по числам R или комплексным числам C. действительным

Конструкции

[ редактировать ]

Высшие локальные поля появляются в различных контекстах. Геометрический пример следующий. Дана поверхность над конечным полем характеристики p, кривая на поверхности и точка на кривой. Возьмем в этой точке локальное кольцо. Затем дополните это кольцо, локализуйте его на кривой и дополните получившееся кольцо. Наконец, возьмем поле частного. Результатом является двумерное локальное поле над конечным полем. [2]

Существует также конструкция с использованием коммутативной алгебры, которая становится технической для нерегулярных колец. Отправной точкой является нётерово регулярное n -мерное кольцо и полный флаг простых идеалов, для которых соответствующее факторкольцо регулярно. Как указано выше, происходит серия пополнений и локализаций до тех пор, пока не будет достигнуто n -мерное локальное поле.

Топологии на высших локальных полях

[ редактировать ]

Одномерные локальные поля обычно рассматриваются в топологии нормирования, в которой дискретное нормирование используется для определения открытых множеств. Этого будет недостаточно для локальных полей более высокой размерности, поскольку необходимо учитывать топологию и на уровне остатков. Высшие локальные поля могут быть снабжены соответствующими топологиями (не однозначно определенными), которые решают эту проблему. Такие топологии не являются топологиями, связанными с дискретными нормированиями ранга n , если n > 1. В размерности два и выше аддитивная группа поля становится топологической группой, которая не является локально компактной , а база топологии несчетна. Самое удивительное, что умножение не является непрерывным; однако он последовательно непрерывен , что достаточно для всех разумных арифметических целей. Существуют также повторяющиеся подходы Ind-Pro для замены топологических соображений более формальными. [3]

Измерение, интегрирование и гармонический анализ в высших локальных полях

[ редактировать ]

не существует трансляционно- инвариантной меры В двумерных локальных полях . Вместо этого существует конечно-аддитивная трансляционно-инвариантная мера, определенная на кольце множеств, порожденных замкнутыми шарами относительно двумерных дискретных оценок на поле, и принимающая значения в формальных степенных рядах R (( X )) над действительными числами. [4] Эта мера также является счетно-аддитивной в некотором уточненном смысле. Ее можно рассматривать как высшую меру Хаара в более высоких локальных полях. Аддитивная группа каждого высшего локального поля неканонически самодуальна, и можно определить высшее преобразование Фурье на соответствующих пространствах функций . Это приводит к анализу высших гармоник . [5]

Теория поля высшего локального класса

[ редактировать ]

Теория полей локальных классов в первом измерении имеет аналоги в более высоких измерениях. Подходящей заменой мультипликативной группы становится n-я K-группа Милнора , где n — размерность поля, которое затем появляется как область определения отображения взаимности в группу Галуа максимального абелева расширения над полем. Еще лучше работать с фактором n-й K-группы Милнора по ее подгруппе элементов, делящихся на каждое положительное целое число. По теореме Фесенко [6] этот фактор также можно рассматривать как максимальный разделенный топологический фактор K-группы, наделенной соответствующей топологией более высокой размерности. Высший локальный гомоморфизм взаимности от этого фактора n-й K-группы Милнора к группе Галуа максимального абелева расширения высшего локального поля имеет много особенностей, аналогичных свойствам одномерной локальной теории полей классов.

Теория полей высших локальных классов совместима с теорией поля классов на уровне поля вычетов, используя граничную карту K-теории Милнора для создания коммутативной диаграммы, включающей карту взаимности на уровне поля и поля вычетов. [7]

Общая теория поля высшего локального класса была разработана Казуей Като. [8] и Иван Фесенко . [9] [10] Теорию полей высших локальных классов в положительной характеристике предложил Алексей Паршин . [11]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Фесенко И.Б., Востоков С.В. Локальные поля и их расширения . Американское математическое общество, 1992, глава 1 и приложение.
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, раздел 1 (Жуков).
  3. ^ Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, несколько разделов.
  4. ^ Фесенко, И. Анализ по арифметическим схемам. Я. ​Документ. Math., (2003), специальный том Като, 261–284.
  5. ^ Фесенко И., Мера, интегрирование и элементы гармонического анализа на обобщенных пространствах петель , Труды. Санкт-Петербургская математика. Соц., вып. 12 (2005), 179-199; АМС Перевод. Серия 2, том. 219, 149–164, 2006 г.
  6. ^ И. Фесенко (2002). «Последовательные топологии и факторы Милнора K-групп высших локальных полей» (PDF) . Петербургский математический журнал . 13 .
  7. ^ Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, раздел 5 (Курихара).
  8. ^ К. Като (1980). «Обобщение локальной теории полей классов с использованием K -групп. II». Дж. Фак. наук. унив. Токио . 27 : 603–683.
  9. ^ И. Фесенко (1991). «К теории полей классов многомерных локальных полей положительной характеристики». Адв. Сов. Математика . 4 : 103–127.
  10. ^ И. Фесенко (1992). «Теория полей классов многомерных локальных полей характеристики 0 с полем вычетов положительной характеристики». Петербургский математический журнал . 3 : 649–678.
  11. ^ Паршин А.Н. (1990). «Когомологии Галуа и группа локальных полей Брауэра». Труди Мат. Инст. Стеклов . 183 : 159–169, 227. МР   1092028 . Перевод (1991), Учеб. Стеклова. Математика. 4: 191–201.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 51fe249ad9099a0e016fc1a030dafcc1__1720921140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/51/c1/51fe249ad9099a0e016fc1a030dafcc1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Higher local field - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)