Высшее местное поле
В математике высшим (-мерным) локальным полем является важный пример полного поля дискретных оценок . Такие поля также иногда называют многомерными локальными полями.
На обычных локальных полях (обычно пополнениях числовых полей или полях частных локальных колец алгебраических кривых ) существует единственное сюръективное дискретное нормирование (ранга 1), связанное с выбором локального параметра полей, если только они не являются архимедовыми. локальные поля, такие как действительные числа и комплексные числа . Аналогично существует дискретное нормирование ранга n почти на всех n -мерных локальных полях, связанное с выбором n локальных параметров поля. [1] В отличие от одномерных локальных полей, высшие локальные поля имеют последовательность полей вычетов . [2] Существуют разные интегральные структуры в более высоких локальных полях, в зависимости от того, сколько информации о полях вычетов нужно принять во внимание. [2]
Геометрически высшие локальные поля возникают в процессе локализации и пополнения локальных колец схем более высокой размерности . [2] Высшие локальные поля являются важной частью предмета теории чисел более высокой размерности, образуя соответствующий набор объектов для локальных рассмотрений.
Определение
[ редактировать ]Конечные поля имеют размерность 0, а полные поля дискретного нормирования с конечным полем вычетов имеют размерность один (естественно также определить архимедовы локальные поля, такие как R или C, как имеющие размерность 1), то мы говорим, что полное поле дискретного нормирования имеет размерность n, если его поле вычетов имеет размерность n −1. Высшие локальные поля — это поля размерности больше единицы, а одномерные локальные поля — это традиционные локальные поля. Мы называем поле вычетов конечномерного высшего локального поля «первым» полем вычетов, тогда его поле вычетов становится вторым полем вычетов, и шаблон продолжается до тех пор, пока мы не достигнем конечного поля. [2]
Примеры
[ редактировать ]Двумерные локальные поля делятся на следующие классы:
- Поля положительной характеристики представляют собой формальные степенные ряды по переменной t над одномерным локальным полем, т. е. F q (( u ))(( t )).
- Эквихарактеристические поля нулевой характеристики, это формальные степенные ряды F (( t )) по одномерному локальному полю F нулевой характеристики.
- Поля смешанной характеристики , они являются конечными расширениями полей типа F {{ t }}, F — одномерное локальное поле нулевой характеристики. Это поле определяется как набор формальных степенных рядов, бесконечных в обоих направлениях, с коэффициентами из F такими, что минимальная оценка коэффициентов является целым числом и такими, что оценка коэффициентов стремится к нулю при изменении их индекса. до минус бесконечности. [2]
- Архимедовы двумерные локальные поля, которые представляют собой формальные степенные ряды по числам R или комплексным числам C. действительным
Конструкции
[ редактировать ]Высшие локальные поля появляются в различных контекстах. Геометрический пример следующий. Дана поверхность над конечным полем характеристики p, кривая на поверхности и точка на кривой. Возьмем в этой точке локальное кольцо. Затем дополните это кольцо, локализуйте его на кривой и дополните получившееся кольцо. Наконец, возьмем поле частного. Результатом является двумерное локальное поле над конечным полем. [2]
Существует также конструкция с использованием коммутативной алгебры, которая становится технической для нерегулярных колец. Отправной точкой является нётерово регулярное n -мерное кольцо и полный флаг простых идеалов, для которых соответствующее факторкольцо регулярно. Как указано выше, происходит серия пополнений и локализаций до тех пор, пока не будет достигнуто n -мерное локальное поле.
Топологии на высших локальных полях
[ редактировать ]Одномерные локальные поля обычно рассматриваются в топологии нормирования, в которой дискретное нормирование используется для определения открытых множеств. Этого будет недостаточно для локальных полей более высокой размерности, поскольку необходимо учитывать топологию и на уровне остатков. Высшие локальные поля могут быть снабжены соответствующими топологиями (не однозначно определенными), которые решают эту проблему. Такие топологии не являются топологиями, связанными с дискретными нормированиями ранга n , если n > 1. В размерности два и выше аддитивная группа поля становится топологической группой, которая не является локально компактной , а база топологии несчетна. Самое удивительное, что умножение не является непрерывным; однако он последовательно непрерывен , что достаточно для всех разумных арифметических целей. Существуют также повторяющиеся подходы Ind-Pro для замены топологических соображений более формальными. [3]
Измерение, интегрирование и гармонический анализ в высших локальных полях
[ редактировать ]не существует трансляционно- инвариантной меры В двумерных локальных полях . Вместо этого существует конечно-аддитивная трансляционно-инвариантная мера, определенная на кольце множеств, порожденных замкнутыми шарами относительно двумерных дискретных оценок на поле, и принимающая значения в формальных степенных рядах R (( X )) над действительными числами. [4] Эта мера также является счетно-аддитивной в некотором уточненном смысле. Ее можно рассматривать как высшую меру Хаара в более высоких локальных полях. Аддитивная группа каждого высшего локального поля неканонически самодуальна, и можно определить высшее преобразование Фурье на соответствующих пространствах функций . Это приводит к анализу высших гармоник . [5]
Теория поля высшего локального класса
[ редактировать ]Теория полей локальных классов в первом измерении имеет аналоги в более высоких измерениях. Подходящей заменой мультипликативной группы становится n-я K-группа Милнора , где n — размерность поля, которое затем появляется как область определения отображения взаимности в группу Галуа максимального абелева расширения над полем. Еще лучше работать с фактором n-й K-группы Милнора по ее подгруппе элементов, делящихся на каждое положительное целое число. По теореме Фесенко [6] этот фактор также можно рассматривать как максимальный разделенный топологический фактор K-группы, наделенной соответствующей топологией более высокой размерности. Высший локальный гомоморфизм взаимности от этого фактора n-й K-группы Милнора к группе Галуа максимального абелева расширения высшего локального поля имеет много особенностей, аналогичных свойствам одномерной локальной теории полей классов.
Теория полей высших локальных классов совместима с теорией поля классов на уровне поля вычетов, используя граничную карту K-теории Милнора для создания коммутативной диаграммы, включающей карту взаимности на уровне поля и поля вычетов. [7]
Общая теория поля высшего локального класса была разработана Казуей Като. [8] и Иван Фесенко . [9] [10] Теорию полей высших локальных классов в положительной характеристике предложил Алексей Паршин . [11]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Фесенко И.Б., Востоков С.В. Локальные поля и их расширения . Американское математическое общество, 1992, глава 1 и приложение.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, раздел 1 (Жуков).
- ^ Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, несколько разделов.
- ^ Фесенко, И. Анализ по арифметическим схемам. Я. Документ. Math., (2003), специальный том Като, 261–284.
- ^ Фесенко И., Мера, интегрирование и элементы гармонического анализа на обобщенных пространствах петель , Труды. Санкт-Петербургская математика. Соц., вып. 12 (2005), 179-199; АМС Перевод. Серия 2, том. 219, 149–164, 2006 г.
- ^ И. Фесенко (2002). «Последовательные топологии и факторы Милнора K-групп высших локальных полей» (PDF) . Петербургский математический журнал . 13 .
- ^ Фесенко И., Курихара М. (ред.) Приглашение в высшие местные поля . Монографии по геометрии и топологии, 2000, раздел 5 (Курихара).
- ^ К. Като (1980). «Обобщение локальной теории полей классов с использованием K -групп. II». Дж. Фак. наук. унив. Токио . 27 : 603–683.
- ^ И. Фесенко (1991). «К теории полей классов многомерных локальных полей положительной характеристики». Адв. Сов. Математика . 4 : 103–127.
- ^ И. Фесенко (1992). «Теория полей классов многомерных локальных полей характеристики 0 с полем вычетов положительной характеристики». Петербургский математический журнал . 3 : 649–678.
- ^ Паршин А.Н. (1990). «Когомологии Галуа и группа локальных полей Брауэра». Труди Мат. Инст. Стеклов . 183 : 159–169, 227. МР 1092028 . Перевод (1991), Учеб. Стеклова. Математика. 4: 191–201.
Ссылки
[ редактировать ]- Фесенко Иван Борисович ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3259-2 , МР 1915966 , Збл 1156.11046
- Фесенко Иван Борисович ; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение на высшие местные поля. Расширенная версия докладов, прочитанных на конференции по высшим локальным полям, Мюнстер, Германия, 29 августа – 5 сентября 1999 г. , Монографии по геометрии и топологии, том. 3 (Первое изд.), Уорикский университет: Издательство математических наук , doi : 10.2140/gtm.2000.3 , ISSN 1464-8989 , Zbl 0954.00026