Дискретная оценка

В математике дискретная оценка это целочисленная оценка поля K ; — то есть функция :

$\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

удовлетворяющие условиям:

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}$

$\nu (x)=\infty \iff x=0$

для всех $x,y\in K$.

Обратите внимание, что часто тривиальная оценка, принимающая только значения $0,\infty$ явно исключено.

Поле с нетривиальным дискретным нормированием называется полем дискретного нормирования .

Дискретные оценочные кольца и оценки на полях

В каждое поле $K$ с дискретной оценкой $\nu$ мы можем связать подкольцо

${\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}$

из $K$, которое является кольцом дискретного нормирования . И наоборот, оценка $\nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ на кольце дискретных оценок $A$ может быть единственным образом расширено до дискретного нормирования в поле частных $K={\text{Quot}}(A)$; связанное кольцо дискретных оценок ${\mathcal {O}}_{K}$ это просто $A$.

Примеры

• Для фиксированного простого числа $p$ и для любого элемента $x\in \mathbb {Q}$ отлично от нуля написать $x=p^{j}{\frac {a}{b}}$ с $j,a,b\in \mathbb {Z}$ такой, что $p$ не делит $a,b$. Затем $\nu (x)=j$ это дискретная оценка $\mathbb {Q}$, называемая p-адической оценкой .
• Учитывая риманову поверхность $X$, мы можем рассмотреть поле $K=M(X)$ мероморфных функций $X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$. Для фиксированной точки $p\in X$, мы определяем дискретную оценку на $K$ следующее: $\nu (f)=j$ тогда и только тогда, когда $j$ — наибольшее целое число такое, что функция $f(z)/(z-p)^{j}$ можно продолжить до голоморфной функции при $p$. Это означает: если $\nu (f)=j>0$ затем $f$ имеет корень порядка $j$ в точку $p$; если $\nu (f)=j<0$ затем $f$ имеет полюс порядка $-j$ в $p$. Аналогичным образом определяется также дискретное нормирование на функциональном поле алгебраической кривой для каждой регулярной точки. $p$ на кривой.

Больше примеров можно найти в статье о кольцах дискретного нормирования .

Ссылки

• Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl   0153.07403
• Фесенко Иван Б.; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3259-2 , г-н   1915966