Риманова поверхность

Не путать с римановой поверхностью или римановым многообразием .

О римановой поверхности подкольца поля см. Пространство Зариского – Римана .

Открытое подмножество римановой поверхности для многозначной функции f ( z ) = log ( z ).

В математике , особенно в комплексном анализе , риманова поверхность представляет собой связное одномерное комплексное многообразие . и названы в его честь Эти поверхности были впервые изучены Бернхардом Риманом . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы , тора или нескольких склеенных между собой листов.

Примеры римановых поверхностей включают графики многозначных функций , таких как √z или log(z) , например, подмножество пар ( z,w ) ∈ C ² с w = log(z) .

Каждая риманова поверхность является поверхностью : двумерным вещественным многообразием , но она содержит больше структуры (в частности, комплексную структуру ). И наоборот, двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Учитывая это, сфера и тор допускают сложные структуры, а лента Мёбиуса , бутылка Клейна и реальная проективная плоскость — нет. Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой по теореме Чоу и теореме Римана-Роха .

Определения

Дополнительная информация: Комплексное многообразие и конформная геометрия.

Существует несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

1. Риманова поверхность X — связное комплексное многообразие комплексной размерности один. Это означает, что X — связное хаусдорфово пространство наделенное атласом карт открытого , единичного круга комплексной плоскости : для каждой точки x ∈ X существует окрестность точки x , гомеоморфная : открытому единичному кругу комплексной плоскости плоскости, а карты перехода между двумя перекрывающимися диаграммами должны быть голоморфными .
2. Риманова поверхность — это ориентированное многообразие (вещественной) размерности два — двусторонняя поверхность — вместе с конформной структурой . Опять же, многообразие означает, что локально в любой точке x пространства X гомеоморфно подмножеству вещественной плоскости. Дополнение «Риман» означает, что X наделено дополнительной структурой, позволяющей измерять углы на многообразии, а именно классом эквивалентности так называемых римановых метрик . Две такие метрики считаются эквивалентными , если измеряемые ими углы одинаковы. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительным данным конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру путем выбора стандартной евклидовой метрики , заданной на комплексной плоскости, и переноса ее в X с помощью диаграмм. Показать, что конформная структура определяет сложную структуру, сложнее.

Примеры

• Комплексная плоскость C является основной римановой поверхностью.
• Каждое открытое подмножество комплексной плоскости U ⊆ C является римановой поверхностью. В более общем смысле, каждое непустое открытое подмножество римановой поверхности является римановой поверхностью.

  

  Сфера Римана и стереографическая проекция.

• 2 -сфера S ² имеет уникальную структуру римановой поверхности, называемую сферой Римана . Он имеет два открытых подмножества, которые мы отождествляем с комплексной плоскостью, стереографически проецируя ее с северного или южного полюса.

  $\mathbf {C} \ {\stackrel {}{\hookrightarrow }}\ S^{2}\ {\stackrel {}{\hookleftarrow }}\ \mathbf {C} .$

  На пересечении этих двух открытых множеств составление одного вложения с обратным другому дает

  $\mathbf {C} ^{\times }\ \to \ \mathbf {C} ^{\times }\ \ \ \,\ \ \ z\ \mapsto \ z^{-1}.$

  Это отображение перехода голоморфно, поэтому эти два вложения определяют структуру римановой поверхности на S ² . В качестве множеств S ² = С ∪ {∞}. Сфера Римана имеет другое описание: проективная линия CP. ¹ = ( С ² - {0})/ С ^× .

  

  Тор.

• 2 -трубный Т ² имеет множество различных структур римановой поверхности, все из которых имеют вид C /( Z + τ   Z ), где τ — любое комплексное недействительное число. Их называют эллиптическими кривыми .
• Важные примеры некомпактных римановых поверхностей дает аналитическое продолжение .

Алгебраические кривые

• Если P ( x,y ) — любой комплексный многочлен от двух переменных, его точка исчезновения

  {( x,y ) : P ( x,y ) = 0} ⊆ C ²

  определяет риманову поверхность при условии, что на этом локусе нет точек с ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0 (или мы ограничиваемся открытым подмножеством, не содержащим таких точек). Это пример алгебраической кривой .
• Каждая эллиптическая кривая является алгебраической кривой, заданной (компактификацией) локуса

  и ² = х ³ + топор + б

  для некоторых комплексных чисел a и b , зависящих от τ . Точка z ∈ C /( Z + τ   Z ) отправляется в ( x,y ) = (℘( z ),℘'( z )), где ℘ — эллиптическая функция Вейерштрасса .
• Точно так же поверхности рода g имеют структуры римановой поверхности как (компактификации) гиперэллиптических поверхностей.

  и ² = Q ( х ),

  где Q — комплексный полином степени 2 g + 1, такой, что указанное выше не имеет особых точек. Когда g > 1, существуют другие структуры римановой поверхности рода g .

• 
  ж ( z ) = дугсинус z
• 
  ж ( z ) = журнал z
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/2
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/3
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/4

Дальнейшие определения и свойства

Как и любое отображение между комплексными многообразиями, функция f : M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной, для каждой карты g в атласе M N и каждой карты h в атласе если отображение h ∘ f ∘ г ⁻¹ голоморфен (как функция от C до C ), где бы он ни был определен. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными , чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция из M в N , обратная которой также голоморфна (оказывается, что последнее условие является автоматическим и может поэтому опустим). Две конформно эквивалентные римановы поверхности практически идентичны.

Ориентируемость

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируется как вещественное многообразие. Для сложных карт f и g с функцией перехода h = f ( g ⁻¹ ( z )), h можно рассматривать как отображение открытого множества R ² в Р ² чей якобиан в точке z представляет собой просто вещественное линейное отображение, заданное умножением на комплексное число h '( z ). Однако вещественный определитель умножения на комплексное число α равен | α | ² , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, сложный атлас является ориентированным атласом.

Функции

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически, каждая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .

Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна в силу принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее, поле X функциональное является конечным расширением C ), функционального поля с одной переменной , ( t т.е. любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение распространяется на более высокие измерения, см. Siegel (1955) . Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах тэта -функций Римана и Абеля – Якоби отображения поверхности .

Алгебраичность

Все компактные римановы поверхности являются алгебраическими кривыми , поскольку их можно вложить в некоторые $\mathbb {CP} ^{n}$. Это следует из теоремы вложения Кодайры и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение.

Аналитический против алгебраического

Существование непостоянных мероморфных функций можно использовать, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т. е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . Фактически можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно вложить в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются картами локальных исправлений. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии . Соответствующее утверждение для объектов более высокой размерности неверно, т.е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см. теорему Чоу .

В качестве примера рассмотрим тор T := C /( Z + τ Z ). Вейерштрасса Функция $\wp _{\tau }(z)$принадлежащая решетке Z + τ Z, является мероморфной функцией на T . Эта функция и ее производная $\wp _{\tau }'(z)$ сгенерируйте функциональное поле T . Существует уравнение

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$

где коэффициенты g ₂ и g ₃ зависят от τ, что дает эллиптическую кривую E _τ в смысле алгебраической геометрии. Обращение этого достигается с помощью j-инварианта j ( E ), который можно использовать для определения τ и, следовательно, тора.

Классификация римановых поверхностей

Совокупность всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной кривизной сечения . То есть каждая связная риманова поверхность $X$ допускает единственную полную двумерную действительную метрику Римана с постоянной кривизной, равной $-1,0$ или $1$которая принадлежит конформному классу римановых метрик, определяемому ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат .

Пуанкаре – Кебе В комплексных аналитических терминах теорема униформизации (обобщение теоремы об отображении Римана ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих:

• Сфера Римана ${\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}$, который изоморфен $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ ;
• Сложный самолет $\mathbf {C}$;
• Открытый диск $\mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}$ который изоморфен верхней полуплоскости $\mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}$.

Риманова поверхность бывает эллиптической, параболической или гиперболической в ​​зависимости от того, ли ее универсальное накрытие изоморфно $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$, $\mathbf {C}$ или $\mathbf {D}$. Элементы каждого класса допускают более точное описание.

Эллиптические римановы поверхности

Сфера Римана $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ является единственным примером, поскольку не существует группы , действующей на нее биголоморфными преобразованиями свободно и правильно разрывно , и поэтому любая риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ само должно быть изоморфно ему.

Параболические римановы поверхности

Если $X$ — риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно комплексной плоскости $\mathbf {C}$ то она изоморфна одной из следующих поверхностей:

• $\mathbf {C}$ сам;
• Частное $\mathbf {C} /\mathbf {Z}$;
• Частное $\mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )$ где $\tau \in \mathbf {C}$ с $\mathrm {Im} (\tau )>0$.

Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но хотя в двух первых случаях (параболическая) структура римановой поверхности уникальна, варьируя параметр $\tau$в третьем случае дает неизоморфные римановы поверхности. Описание по параметру $\tau$дает пространство Тейхмюллера «отмеченных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «маркировки», которую можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм тора). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забыв об маркировке), факторизуется пространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В данном случае это модульная кривая .

Гиперболические римановы поверхности

В остальных случаях $X$— гиперболическая риманова поверхность, изоморфная фактору верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологический тип $X$ может быть любой ориентируемой поверхностью, кроме тора и сферы .

Особый интерес представляет случай, когда $X$компактен. Тогда его топологический тип описывается родом $g\geq 2$. Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей равны $6g-6$-мерный. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности за вычетом конечного числа точек). Однако, вообще говоря, пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допустить такое описание.

между

Геометрическая классификация отражена в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувилля и теореме Литтла Пикара : отображения от гиперболического к параболическому и эллиптическому просты, но отображения от эллиптического к параболическому или от параболического к гиперболическому очень ограничены (действительно, обычно постоянны). !). Встречаются включения диска в плоскости в сфере: $\Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},$ но любое голоморфное отображение сферы на плоскость постоянно, любое голоморфное отображение плоскости в единичный круг постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение плоскости в плоскость минус две точки является постоянным (Литтл Пикард теорема)!

Проколотые сферы

Эти утверждения проясняются при рассмотрении типа сферы Римана. ${\widehat {\mathbf {C} }}$с рядом проколов. Без проколов это эллиптическая сфера Римана. С одним проколом, который можно разместить на бесконечности, это комплексная плоскость, имеющая параболическую форму. При двух проколах это проколотая плоскость или, альтернативно, кольцо или цилиндр, который является параболическим. При трёх и более проколах это гиперболично – сравните пару штанов . Можно сопоставить один прокол с двумя с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определено на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображения от нуля проколов до одного или нескольких, или постоянны от одного-двух проколов до трех и более.

Разветвленные покрытия

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться в поверхности более низкого рода, но не в более высокий род, за исключением постоянных отображений. Это связано с тем, что голоморфные и мероморфные отображения локально ведут себя как $z\mapsto z^{n},$ поэтому непостоянные карты являются разветвленными накрывающими картами , а для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана-Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленное накрытие.

Например, гиперболические римановы поверхности представляют собой разветвленные накрывающие пространства сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображает иным образом поверхности более высокого рода, за исключением константы.

Изометрии римановых поверхностей

униформизированной Группа изометрий римановой поверхности (эквивалентно группе конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:

• род 0 – группа изометрии сферы представляет собой группу Мёбиуса проективных преобразований комплексной прямой,
• группа изометрий плоскости — это подгруппа , фиксирующая бесконечность, а проколотой плоскости — подгруппа, оставляющая инвариантным множество, содержащее только бесконечность и ноль: либо фиксируя их обе, либо меняя их местами (1/ z ).
• группа изометрий верхней полуплоскости является вещественной группой Мёбиуса; это сопряжено с группой автоморфизмов диска.
• род 1 - группа изометрии тора находится в общих переводах (как абелева разновидность ), хотя квадратная решетка и шестиугольная решетка имеют симметрию сложения от поворота на 90 ° и 60 °.
• Для рода g ≥ 2 группа изометрий конечна и имеет порядок не более 84 ( g − 1) по теореме Гурвица об автоморфизмах ; поверхности, реализующие эту границу, называются поверхностями Гурвица.
• Известно, что любую конечную группу можно реализовать как полную группу изометрий некоторой римановой поверхности.
  • Для рода 2 порядок максимизируется поверхностью Больца с порядком 48.
  • Для рода 3 порядок максимизируется квартикой Клейна с порядком 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168, которая является второй по величине неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна как PSL(2,7), так и PSL(3,2) .
  • Для рода 4 поверхность Бринга представляет собой высокосимметричную поверхность.
  • Для рода 7 порядок максимизируется поверхностью Макбита с порядком 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL(2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

функциональная

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которую обычно используют специалисты по комплексной аналитике. Он использует другое определение слов «параболический» и «гиперболический». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической, если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и в противном случае называется гиперболической . Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, вырождены ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все ограниченные голоморфные функции являются постоянными. положительные гармонические функции постоянны и т. д.

Во избежание путаницы классификацию, основанную на метрике постоянной кривизны, будем называть геометрической классификацией , а основанную на вырождении функциональных пространств — теоретико-функциональной классификацией . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в ​​теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в ​​геометрической классификации.

См. также

• Детский рисунок
• Келеровое многообразие
• Поверхность Лоренца
• Группа классов сопоставления
• Двойственность Серра

римановых

• Теорема о ветвлении
• Теорема Гурвица об автоморфизмах
• Теорема тождества римановых поверхностей
• Теорема Римана – Роха
• Формула Римана – Гурвица

Ссылки

• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Riemann Surfaces (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90465-8
• Пабло Арес Гастези, Книга «Римановы поверхности» .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , MR   0463157 , OCLC   13348052 , особенно. глава IV.
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 208–219, ISBN  978-3-540-33065-3
• Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности , Аспирантура по математике, том. 5, Американское математическое соц.
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I (PDF) , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/029 , ISBN.  978-3-03719-029-6 , МР   2284826 , S2CID   119593165
• Лоутон, Шон; Петерсон, Элиша (2009), Пападопулос, Атанас (редактор), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055 , ISBN  978-3-03719-055-5 , МР   2524085 , S2CID   16687772
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. III , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/103 , ISBN.  978-3-03719-103-3
• * Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам». Семинары и конгрессы . Збл   1044.01520 .
• Сигель, Карл Людвиг (1955), «Мероморфные функции на компактных аналитических многообразиях», Новости Академии наук в Геттингене. II Математик-физический класс , 1955 : 71–77, ISSN   0065-5295 , МР   0074061.
• Вейль, Герман (2009) [1913], Концепция римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-47004-7 , МР   0069903

Внешние ссылки

• «Риманова поверхность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• МакМаллен, К. «Комплексный анализ римановых поверхностей, математика 213b» (PDF) . Гарвардская математика . Гарвардский университет.