Поверхность Больца

В математике поверхность Больцы , альтернативно, комплексная алгебраическая кривая Больца введенная Оскаром Больца ( 1887 )), представляет собой компактную риманову поверхность рода ( $2$ с максимально возможным порядком группы конформных автоморфизмов этого рода, а именно $GL_{2}(3)$ порядка 48 ( общая линейная группа $2\times 2$ матрицы над конечным полем $\mathbb {F} _{3}$). Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением $GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}$ порядка 96. Аффинную модель поверхности Больца можно получить как геометрическое место уравнения

$y^{2}=x^{5}-x$

в $\mathbb {C} ^{2}$. Поверхность Больца представляет собой гладкое завершение аффинной кривой. Из всего рода $2$ гиперболических поверхностей, поверхность Больца максимизирует длину систолы ( Schmutz 1993 ). Как гиперэллиптическая риманова поверхность, она возникает как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с местом ветвления в шести вершинах правильного октаэдра, вписанного в сферу, как легко видеть из приведенного выше уравнения.

Поверхность Больца привлекла внимание физиков, поскольку она обеспечивает относительно простую модель квантового хаоса ; в этом контексте ее обычно называют моделью Адамара-Гуцвиллера . Спектральная теория оператора Лапласа –Бельтрами, действующего на функции на поверхности Больца, представляет интерес как для математиков, так и для физиков, поскольку предполагается, что поверхность максимизирует первое положительное собственное значение лапласиана среди всех компактных замкнутых римановых поверхностей рода $2$ с постоянной отрицательной кривизной .

Треугольная поверхность

Замощение поверхности Больцы областями отражения представляет собой частное замощение биссектрисы октагона третьего порядка .

Фундаментальная область поверхности Больца в диске Пуанкаре; противоположные стороны идентифицируются.

Поверхность Больца конформно эквивалентна $(2,3,8)$ поверхность треугольника – см. треугольник Шварца . Более конкретно, фуксова группа, определяющая поверхность Больца, представляет собой подгруппу группы, порожденной отражениями в сторонах гиперболического треугольника с углами ${\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}$. Группа изометрий, сохраняющих ориентацию, — это подгруппа индекса -два подгруппы группы отражений, состоящая из произведений четного числа отражений, имеющая абстрактное представление в терминах образующих. $s_{2},s_{3},s_{8}$ и отношения $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ а также $s_{2}s_{3}=s_{8}$. Фуксова группа $\Gamma$ определяющая поверхность Больца, также является подгруппой группы треугольников (3,3,4) , которая является подгруппой индекса 2 в $(2,3,8)$ группа треугольников. $(2,3,8)$ группа не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но $(3,3,4)$ группа делает.

Под действием $\Gamma$ на диске Пуанкаре фундаментальная область поверхности Больца представляет собой правильный восьмиугольник с углами ${\tfrac {\pi }{4}}$ и углы в

$p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},$

где $k=0,\ldots ,7$. Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Его генераторами являются матрицы

$g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},$

где $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ и $k=0,\ldots ,3$, а также их обратные. Генераторы удовлетворяют соотношению

$g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.$

Эти генераторы подключены к спектру длин , который дает все возможные длины геодезических петель. Самая короткая такая длина называется систолой поверхности. Систола поверхности Больца равна

$\ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.$

The $n^{\text{th}}$ элемент $\ell _{n}$ спектра длин поверхности Больца определяется выражением

$\ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),$

где $n$ проходит через положительные целые числа (но опуская 4, 24, 48, 72, 140 и различные более высокие значения) ( Aurich, Bogomolny & Steiner 1991 ), и где $m$ уникальное нечетное целое число, которое минимизирует

$\vert m-n{\sqrt {2}}\vert .$

Непосредственно из группы треугольников можно получить эквивалентную замкнутую форму систолы. Существуют формулы для явного расчета длин сторон треугольников (2,3,8). Систола равна четырехкратной длине стороны медиальной длины в треугольнике (2,3,8), то есть

$\ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.$

Геодезические длины $\ell _{n}$ также появляются в Фенхеля–Нильсена координатах поверхности . Набор координат Фенхеля-Нильсена для поверхности рода 2 состоит из трех пар, каждая пара представляет собой длину и кручение. Возможно, самый простой такой набор координат для поверхности Больца: $(\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)$, где $\ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969$.

Существует также «симметричный» набор координат. $(\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)$, где все три длины являются систолой $\ell _{1}$ и все три поворотаданы

$t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.$

Симметрии поверхности

Четыре образующих группы симметрии поверхности Больца

Фундаментальная область поверхности Больца представляет собой правильный восьмиугольник в диске Пуанкаре; четыре симметричных действия, которые генерируют (полную) группу симметрии:

• R – вращение 8-го порядка вокруг центра восьмиугольника;
• S – отражение в реальной линии;
• Т – отражение в стороне одного из 16 (4,4,4) треугольников, замощающих восьмиугольник;
• U – вращение третьего порядка вокруг центра (4,4,4) треугольника.

Они показаны жирными линиями на соседнем рисунке. Они удовлетворяют следующему набору отношений:

$\langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=STU,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\rangle ,$

где $e$ – тривиальное (тождественное) действие. можно использовать Этот набор отношений в GAP для получения информации о теории представления группы. В частности, существует четыре одномерных, два двумерных, четыре трехмерных и три четырехмерных неприводимых представления и

$4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96$

как и ожидалось.

Спектральная теория

Графики трех собственных функций, соответствующих первому положительному собственному значению поверхности Больца. Функции равны нулю на голубых линиях. Эти графики были созданы с использованием FreeFEM++ .

Здесь спектральная теория относится к спектру лапласиана, $\Delta$. Первое собственное пространство (то есть собственное пространство, соответствующее первому положительному собственному значению) поверхности Больца является трёхмерным, а второе — четырёхмерным ( Кук 2018 ), ( Дженни 1981 ). Думается, что исследование возмущений узловых линий функций в первом собственном пространстве пространства Тейхмюллера даст предполагаемый во введении результат. Эта гипотеза основана на обширных численных расчетах собственных значений поверхности и других поверхностей рода 2. В частности, спектр поверхности Больца известен с очень высокой точностью ( Strohmaier & Uski 2013 ). В следующей таблице приведены первые десять положительных собственных значений поверхности Больца.

Численные расчеты первых десяти положительных собственных значений поверхности Больца

собственное значение	Числовое значение	Множественность
$\lambda _{0}$	0	1
$\lambda _{1}$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
$\lambda _{2}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
$\lambda _{3}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
$\lambda _{4}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
$\lambda _{5}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
$\lambda _{6}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
$\lambda _{7}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
$\lambda _{8}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
$\lambda _{9}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
$\lambda _{10}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

Спектральный определитель и энергия Казимира $\zeta (-1/2)$ поверхности Больцы

$\det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557$

и

$\zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383$

соответственно, где все десятичные знаки считаются правильными. Предполагается, что спектральный определитель максимизируется в роде 2 для поверхности Больца.

Кватернионная алгебра

Следуя Маклахлану и Риду, алгеброй кватернионов можно считать алгебру над $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ порожденная как ассоциативная алгебра генераторами i,j и соотношениями

$i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,$

при соответствующем выборе заказа .

См. также

• Гиперэллиптическая кривая
• Клейн квартик
• Кривая Бринга
• Поверхность Макбета
• Первая тройка Гурвица

Ссылки

• Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в себя», American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi : 10.2307/2369402 , JSTOR   2369402
• Кац, М.; Сабурау, С. (2006). «Оптимальное систолическое неравенство для метрик CAT (0) второго рода». Пасифик Дж. Математика. 227 (1): 95–107. arXiv : math.DG/0501017 . дои : 10.2140/pjm.2006.227.95 . S2CID   16510851 .
• Шмутц, П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». ГАФА . 3 (6): 564–631. дои : 10.1007/BF01896258 . S2CID   120508826 .
• Аурих, Р.; Богомольный, Е.Б.; Штайнер, Ф. (1991). «Периодические орбиты на правильном гиперболическом восьмиугольнике» . Физика D: Нелинейные явления . 48 (1): 91–101. Бибкод : 1991PhyD...48...91A . дои : 10.1016/0167-2789(91)90053-C .
• Кук, Дж. (2018). Свойства собственных значений на римановых поверхностях с большими группами симметрии (кандидатская диссертация, неопубликована). Университет Лафборо.
• Дженни, Ф. (1981). О спектре оператора Лапласа на семействе компактных римановых поверхностей (кандидатская диссертация). Базельский университет. OCLC   45934169 .
• Стромайер, А.; Уски, В. (2013). «Алгоритм вычисления собственных значений, спектральных дзета-функций и дзета-определителей на гиперболических поверхностях». Связь в математической физике . 317 (3): 827–869. arXiv : 1110.2150 . Бибкод : 2013CMaPh.317..827S . дои : 10.1007/s00220-012-1557-1 . S2CID   14305255 .
• Маклахлан, К.; Рид, А. (2003). Арифметика гиперболических 3-многообразий . Тексты для выпускников по математике. Том. 219. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98386-4 .

Специфический