Систолическая геометрия

Более доступное и менее техническое введение в эту тему см. в разделе « Введение в систолическую геометрию» .

линия Геодезическая на футбольном мяче, иллюстрирующая доказательство гипотезы Громова о площади заполнения в гиперэллиптическом случае (см. пояснение ниже).

В математике , систолическая геометрия — это изучение систолических инвариантов многообразий , и многогранников , первоначально задуманных Чарльзом Левнером и развитых Михаилом Громовым , Майклом Фридманом , Сарнаком и Михаилом Кацем , Ларри Гутом и другими, в ее арифметических эргодических Питером топологические проявления. См. также Введение в систолическую геометрию .

Понятие систолы

Кратчайшая петля на торе

Систола т. е . компактного петли , метрического пространства X — это метрический инвариант X , определяемый как наименьшая длина несжимаемой петли в X ( которую нельзя стянуть до точки в окружающем пространстве X ). Говоря более техническим языком, мы минимизируем длину свободных циклов, классы сопряженности в фундаментальной группе X. представляющих нетривиальные Когда X является графом , инвариант обычно называют обхватом , начиная со статьи 1947 года об обхвате У.Т. Тутте . Возможно, вдохновленный статьей Тутте, Лёвнер начал думать о систолических вопросах на поверхностях в конце 1940-х годов, что привело к написанию в 1950 году диссертации его ученика Пао Мин Пу . Сам термин «систола» был придуман лишь четверть века спустя Марселем Бергером .

Дальнейший толчок этому направлению исследований, по-видимому, дало замечание Рене Тома в беседе с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961/62 учебном году, вскоре после публикации статей Р. Акколы и К. Блаттер. Говоря об этом систолическом неравенстве, Том, как сообщается, воскликнул: «Mais c'estfoundal!» [Эти результаты имеют фундаментальное значение!]

Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, последняя из которых — в мартовском выпуске «Извещений Американского математического общества» за 2008 год (см. ссылку ниже). Библиография на сайте по систолической геометрии и топологии в настоящее время содержит более 160 статей. Систолическая геометрия — быстро развивающаяся область, имеющая ряд недавних публикаций в ведущих журналах. связь с категорией Люстерника – Шнирельмана Недавно (см. статью Каца и Рудяка 2006 г. ниже) появилась . Существование такой связи можно рассматривать как теорему систолической топологии .

Свойство центрально-симметричного многогранника в трехмерном пространстве

Каждый выпуклый центрально-симметричный многогранник P в R ³ допускает пару противоположных (антиподальных) точек и соединяющий их путь длины L, лежащий на границе ∂ P точки P , удовлетворяющий условию

$L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {area} (\partial P).$

Альтернативная формулировка заключается в следующем. Любое центрально-симметричное выпуклое тело с площадью поверхности A можно протиснуть в петлю длиной ${\sqrt {\pi A}}$, с наибольшей плотностью прилегания, достигаемой сферой. Это свойство эквивалентно частному случаю неравенства Пу (см. ниже), одного из самых ранних систолических неравенств.

Концепции

Чтобы дать предварительное представление о характере поля, можно сделать следующие наблюдения. Основная идея цитированного выше замечания Тома Бергеру заключается в следующем. Всякий раз, когда кто-либо сталкивается с неравенством, связывающим геометрические инварианты, такое явление само по себе интересно; тем более, когда неравенство точное (т.е. оптимальное). классическое изопериметрическое неравенство Хорошим примером является .

Тор

В систолических вопросах о поверхностях особенно важную роль играют интегрально-геометрические тождества. Грубо говоря, имеется интегральная область, связывающая тождество, с одной стороны, и среднее значение энергий подходящего семейства петель, с другой. Согласно неравенству Коши – Шварца энергия является верхней границей квадрата длины; отсюда получается неравенство между площадью и площадью систолы. Такой подход работает как для неравенства Лёвнера

$\mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {area}$

для тора , где случай равенства достигается плоским тором, преобразования колоды которого образуют решетку целых чисел Эйзенштейна ,

Анимация римской поверхности, представляющей P ² ( р ) в р ³

и неравенство Пу для вещественной проективной плоскости P ² ( Р ):

$\mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\cdot \mathrm {area}$,

с равенством, характеризующим метрику постоянной гауссовой кривизны .

Применение вычислительной формулы для дисперсии фактически дает следующую версию неравенства тора Левнера с изосистолическим дефектом:

$\mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f),$

где f - конформный фактор метрики по отношению к плоской метрике единичной площади в ее конформном классе. Это неравенство можно рассматривать как аналог неравенства Боннесена с изопериметрическим дефектом, усиление изопериметрического неравенства.

Недавно был открыт ряд новых неравенств этого типа, в том числе нижние оценки универсального объема. Более подробная информация появляется при систолах поверхностей .

Gromov's systolic inequality

Самый глубокий результат в этой области — неравенство Громова для гомотопической 1-систолы существенного n - многообразия M :

$\operatorname {sys\pi } _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),$

где Cn _{— универсальная константа ,} от размерности M. зависящая только Здесь гомотопическая систола sysπ ₁ по определению есть наименьшая длина нестягиваемой петли в M . Многообразие называется существенным , если его фундаментальный класс [М] представляет нетривиальный класс в гомологиях его фундаментальной группы . В доказательстве используется новый инвариант, названный радиусом заполнения , введенный Громовым и определяемый следующим образом.

Обозначим через A кольцо коэффициентов Z или Z ₂ или нет M в зависимости от того, ориентируемо . Тогда фундаментальный класс , обозначаемый [M] компактного n -мерного многообразия M , является генератором $H_{n}(M;A)=A$. Учитывая вложение M в евклидово пространство E , положим

$\mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _{\epsilon }([M])=0\in H_{n}(U_{\epsilon }M)\right.\right\},$

где _ιε индуцированный включением M в его ε-окрестность UεM _{включения ,} гомоморфизм в E. —

Чтобы определить абсолютный радиус заполнения в ситуации, когда M оснащен римановой метрикой g , Громов поступает следующим образом. Используется вложение К. Куратовского. Вложим M в банахово пространство L ^∞ ( M ) ограниченных борелевских функций на M , наделенных нормой sup $\|\;\|$. А именно, мы отображаем точку x ∈ M в функцию f _x ∈ L ^∞ ( M ), определяемый формулой f _x (y) = d(x,y) для всех y ∈ M , где d — функция расстояния, определяемая метрикой. По неравенству треугольника имеем $d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,$ и, следовательно, вложение является строго изометрическим в том точном смысле, что внутреннее расстояние и окружающее расстояние совпадают. Такое сильно изометрическое вложение невозможно, если объемлющее пространство является гильбертовым, даже если M — риманова окружность (расстояние между противоположными точками должно быть π , а не 2!). Затем мы полагаем E = L ^∞ ( M ) в приведенной выше формуле и определите

$\mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty }(M)\right).$

А именно, Громов доказал резкое неравенство, связывающее систолу и радиус наполнения:

$\mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),$

справедливо для всех существенных многообразий M ; а также неравенство

$\mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),$

справедливо для всех замкнутых многообразий M .

Краткое изложение доказательства, основанного на недавних результатах С. Венгера в геометрической теории меры и более ранних работах Л. Амбросио и Б. Кирххайма, содержится в разделе 12.2 книги «Систолическая геометрия и топология», на которую ссылка ниже. Совершенно иной подход к доказательству неравенства Громова недавно предложил Ларри Гут .

Gromov's stable inequality

Следует иметь в виду значительную разницу между 1-систолическими инвариантами (определяемыми через длину петель) и высшими, k -систолическими инвариантами (определяемыми через площади циклов и т. д.). Хотя к настоящему времени получен ряд оптимальных систолических неравенств, включающих 1-систолы, практически единственным оптимальным неравенством, включающим исключительно высшие k -систолы, является оптимальное устойчивое 2-систолическое неравенство Громова.

$\mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})$

для комплексного проективного пространства , где оптимальная граница достигается с помощью симметричной метрики Фубини–Студи , указывающей на связь с квантовой механикой . Здесь устойчивая 2-систола риманова многообразия M определяется полаганием

$\mathrm {stsys} _{2}=\lambda _{1}\left(H_{2}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} },\|\;\|\right),$

где $\|\;\|$ – стабильная норма, а λ ₁ – наименьшая норма ненулевого элемента решетки. Насколько исключительным является устойчивое неравенство Громова, стало ясно лишь недавно. А именно, было обнаружено, что, вопреки ожиданию, симметричная метрика на кватернионной проективной плоскости является не ее систолически оптимальной метрикой, в отличие от 2-систолы в сложном случае. В то время как кватернионная проективная плоскость с ее симметричной метрикой имеет среднемерное стабильное систолическое соотношение 10/3, аналогичное соотношение для симметричной метрики комплексного проективного 4-мерного пространства дает значение 6, в то время как наилучшая доступная верхняя граница для такого отношение произвольной метрики в обоих этих пространствах равно 14. Эта верхняя оценка связана со свойствами алгебры Ли E7 . Если существует 8-многообразие с исключительной голономией Spin(7) и 4-м числом Бетти 1, то значение 14 фактически является оптимальным. Многообразия с голономией Spin(7) интенсивно изучались Домиником Джойсом .

Нижние границы для 2-систол

Аналогичным образом, чуть ли не единственная нетривиальная нижняя оценка для k -систолы с k = 2 является результатом недавних работ в области калибровочной теории и J-голоморфных кривых . к упрощенному доказательству плотности изображения карты периода Исследование нижних границ конформной 2-систолы 4-многообразий привело Джейка Соломона .

Задача Шоттки

Возможно, одно из наиболее ярких применений систол - в контексте проблемы Шоттки П. Бузером и П. Сарнаком , которые выделили якобианы римановых поверхностей среди принципиально поляризованных абелевых разновидностей, заложив основу систолической арифметики.

Категория Люстерника – Шнирельмана

Задание систолических вопросов часто стимулирует вопросы в смежных областях. Таким образом, определено и исследовано понятие систолической категории многообразия, обнаруживающее связь с категорией Люстерника–Шнирельмана (категорией LS). Обратите внимание, что систолическая категория (как и категория LS) по определению является целым числом. Было показано, что эти две категории совпадают как для поверхностей, так и для 3-многообразий. Более того, для ориентируемых 4-многообразий систолическая категория является нижней границей категории LS. Как только связь установлена, влияние становится взаимным: известные результаты по категории LS стимулируют систолические вопросы, и наоборот.

Новый инвариант был введен Кацем и Рудяком (см. ниже). Поскольку инвариант оказался тесно связан с категорией Люстерника-Шнирельмана (категория LS), его назвали систолической категорией .

Систолическая категория многообразия M определяется через различные k -систолы M . Грубо говоря, идея заключается в следующем. Учитывая многообразие M , ищут самое длинное произведение систол, которое дает «без кривизны» нижнюю границу общего объема M (с константой, не зависящей от метрики). естественно включить и систолические инварианты покрытий M. В определение Число факторов в таком «самом длинном произведении» по определению является систолической М. категорией

Например, Громов показал, что существенное n -многообразие допускает нижнюю границу объема в n-й степени гомотопической 1-систолы (см. раздел выше). Отсюда следует, что систолическая категория существенного n -многообразия равна именно n . Фактически для замкнутых n -многообразий максимальное значение как категории LS, так и систолической категории достигается одновременно.

Еще одним намеком на существование интригующей связи между двумя категориями является связь с инвариантом, называемым длиной чашки. Таким образом, реальная длина чашки оказывается нижней границей для обеих категорий.

Систолическая категория совпадает с категорией LS в ряде случаев, в том числе в случае многообразий размерностей 2 и 3. В размерности 4 недавно было показано, что систолическая категория является нижней границей категории LS.

Систолическая

Исследование асимптотического поведения большого рода g систолы гиперболических поверхностей выявило некоторые интересные константы. Таким образом, поверхности Гурвица Σ _g, определенные башней главных конгруэнтных подгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют оценке

$\mathrm {sys} \pi _{1}(\Sigma _{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,$

аналогичная оценка справедлива и для более общих арифметических фуксовых групп . Результат Каца, Шапса и Вишне за 2007 год. обобщает результаты Питера Бузера и Питера Сарнака в случае арифметических групп, определенных над Q , из их основополагающей статьи 1994 года.

Библиография систол в гиперболической геометрии в настоящее время насчитывает сорок статей. Интересные примеры дают поверхность Больца , квартика Клейна , поверхность Макбита , первая тройка Гурвица .

Связь с картами Абеля – Якоби

Семейство оптимальных систолических неравенств получается в результате применения методов Бураго и Иванова с использованием подходящих отображений Абеля – Якоби , определяемых следующим образом.

Пусть M — многообразие , π = π ₁ ( M ), его фундаментальная группа и f : π → π. ^аб быть его картой абелианизации . Пусть tor — периодическая подгруппа группы π ^аб . Пусть g : π ^аб → п ^аб / tor — частное кручения. Очевидно, π ^аб / дорожка = Z ^б , где б знак равно б ₁ ( М ). Пусть φ: π → Z ^б — составной гомоморфизм.

Определение: Обложка ${\bar {M}}$ многообразия M , соответствующего подгруппе Ker(φ) ⊂ π, называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым накрытием.

Теперь предположим, что M имеет риманову метрику . Пусть E — пространство гармонических 1-форм на M , причем двойственное E * канонически отождествляется с H ₁ ( M , R ). Интегрируя целочисленную гармоническую 1-форму по путям из базовой точки x ₀ ∈ M , получаем отображение в окружность R / Z = S ¹ .

Аналогично, чтобы определить отображение M → H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R без выбора базиса когомологий, мы рассуждаем следующим образом. Пусть x — точка универсального накрытия ${\tilde {M}}$ М. ​ ​Таким образом, представляется точкой из M вместе с путем c от x0 _x до нее. Интегрируя по пути c , получаем линейную форму: $h\to \int _{c}h$, один . Таким образом, мы получаем карту ${\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf {R} )$, которая, кроме того, сводится к отображению

${\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),$

где ${\overline {M}}$ является универсальным свободным абелевым накрытием.

Определение: Многообразием Якоби (тор Якоби) M — это тор J ₁ ( M ) = H ₁ ( M , R )/ H ₁ ( M , Z ) _R

Определение: карта Абеля – Якоби. $A_{M}:M\to J_{1}(M),$ получается из приведенной выше карты переходом к факторам. Отображение Абеля–Якоби уникально с точностью до перевода тора Якоби.

В качестве примера можно привести следующее неравенство, принадлежащее Д. Бураго, С. Иванову и М. Громову .

Пусть M — n -мерное риманово многообразие с первым числом Бетти n такое, что отображение M в его тор Якоби имеет ненулевую степень . Тогда M удовлетворяет оптимальному устойчивому систолическому неравенству

$\mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma _{n}\mathrm {vol} _{n}(M),$

где $\gamma _{n}$ — классическая постоянная Эрмита .

Связанные поля, энтропия объема

Было показано, что асимптотические явления систолы поверхностей большого рода связаны с интересными эргодическими явлениями и свойствами конгруэнтных подгрупп арифметических групп .

Неравенство Громова 1983 года для гомотопической систолы подразумевает, в частности, равномерную нижнюю оценку площади асферической поверхности через ее систолу. Такая оценка обобщает неравенства Левнера и Пу, хотя и неоптимальным образом.

В основополагающей статье Громова 1983 года также содержатся асимптотические границы, связывающие систолу и площадь, которые улучшают равномерную оценку (действительную во всех измерениях).

Недавно было обнаружено (см. статью Каца и Сабуро ниже), что объемная энтропия h вместе с оптимальным неравенством А. Катока для h является «правильным» посредником в прозрачном доказательстве асимптотической оценки М. Громова для систолического отношения поверхности большого рода.

Классический результат А. Каток утверждает, что каждая метрика на замкнутой поверхности M с отрицательной эйлеровой характеристикой удовлетворяет оптимальному неравенству, связывающему энтропию и площадь.

Оказывается, минимальная энтропия замкнутой поверхности может быть связана с ее оптимальным систолическим соотношением. А именно, существует верхняя граница энтропии систолически экстремальной поверхности через ее систолу. Объединив эту верхнюю оценку с оптимальной нижней оценкой Катока по объему, можно получить более простое альтернативное доказательство асимптотической оценки Громова оптимального систолического отношения поверхностей большого рода. Более того, такой подход дает улучшенную мультипликативную константу в теореме Громова.

В качестве приложения этот метод подразумевает, что каждая метрика на поверхности рода не менее 20 удовлетворяет неравенству тора Лёвнера. Это улучшает лучшую предыдущую оценку 50, которая следовала из оценки Громова.

области

Основная статья: гипотеза о области заполнения

Гипотеза Громова о области заполнения была доказана в гиперэллиптической ситуации (см. ссылку Бангерта и др. ниже).

Гипотеза о площади заполнения утверждает, что среди всех возможных заполнений римановой окружности длины 2π поверхностью с сильно изометричным свойством круглая полусфера имеет наименьшую площадь. Здесь под римановой окружностью понимается единственное замкнутое одномерное риманово многообразие с полным 1-объемом 2π и римановым диаметром π.

Чтобы объяснить гипотезу, мы начнем с наблюдения, что экваториальный круг единичной 2-сферы S ² ⊂ Р ³ , является римановой окружностью S ¹ длины 2π и диаметра π.

Точнее, риманова функция расстояния S ¹ — ограничение объемлющего риманова расстояния на сфере. Этому свойству не удовлетворяет стандартное вложение единичного круга в евклидову плоскость, где пара противоположных точек находится на расстоянии 2, а не π.

Рассмотрим все заполнения S ¹ поверхностью так, что ограниченная метрика, определяемая включением окружности в качестве границы поверхности, является римановой метрикой окружности длины 2π. Включение окружности в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

В 1983 году Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга среди всех заполняющих поверхностей.

Случай односвязных заполнений эквивалентен неравенству Пу . Недавно случай пломб рода -1 также был решен положительно (см. ссылку Bangert et al. ниже). А именно, оказывается, что можно использовать формулу Дж. Герша полувековой давности из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе (см. рисунок в начале статьи). Формула Херша выражает площадь метрики конформного класса футбольного мяча как среднее значение энергий петель восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае.

Другие систолические разветвления гиперэллиптичности были идентифицированы в роде 2.

Опросы

К полевым исследованиям относятся опрос М. Бергера (1993 г.), опрос Громова (1996 г.), книга Громова (1999 г.), панорамная книга Бергера (2003 г.), а также книга Каца (2007 г.). Эти ссылки могут помочь новичку войти в эту область. Они также содержат открытые проблемы, над которыми нужно работать.

См. также

• Гипотеза о заполнении области
• Первая тройка Гурвица
• Обхват (функциональный анализ)
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Список тем дифференциальной геометрии
• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Систолы поверхностей
• Систолическая свобода

Ссылки

• Бангерт, В .; Крок, К.; Иванов С.; Кац, М. (2005). «Гипотеза о площади заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геометрический и функциональный анализ . 15 (3): 577–597. arXiv : math/0405583 . CiteSeerX   10.1.1.240.2242 . дои : 10.1007/s00039-005-0517-8 . S2CID   17100812 .
• Бергер, Марсель (1992–1993). «Систолы и аппликации по Громову» (PDF) . Семинар Бурбаки . 35 : 279–310.
• Бергер, М. (2003). Панорама римановой геометрии . Спрингер. ISBN  978-3-642-18245-7 .
• Бергер, М. (2008). «Что такое… систола?» (PDF) . Уведомления АМС . 55 (3): 374–6.
• Громов, М. (1983). «Заполнение римановых многообразий». Дж. Диф. Геом . 18 : 1–147. CiteSeerX   10.1.1.400.9154 . дои : 10.4310/jdg/1214509283 .
• Громов, М. (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии (Luminy, 1992) . Семин. Конг. Полет. 1. Соц. Математика. Франция. стр. 291–362. CiteSeerX   10.1.1.539.1365 .
• Кац, М.; Семмес, С.; Громов, М. (2007) [2001]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4583-0 .
• Кац, М. (1983). «Радиус заполнения двухточечных однородных пространств» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3): 505–511. дои : 10.4310/jdg/1214437785 .
• Кац, М. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4177-8 .
• Кац, М.; Рудяк, Ю. (2006). «Систолическая категория и категория Люстерника – Шнирельмана маломерных многообразий». Сообщения по чистой и прикладной математике . 59 : 1433–56. arXiv : math/0410456 . CiteSeerX   10.1.1.236.3757 . дои : 10.1002/cpa.20146 . S2CID   15470409 .
• Кац, М.; Сабурау, С. (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Следовательно. Т.е. Динам. Сис . 25 (4): 1209–20. arXiv : math/0410312 . CiteSeerX   10.1.1.236.5949 . дои : 10.1017/S0143385704001014 . S2CID   11631690 .
• Пу, ПМ (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» (PDF) . Пасифик Дж. Математика . 2 : 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55 .

Внешние ссылки

• Веб-страница AMS с книгой Михаила Каца.
• Веб-сайт систолической геометрии и топологии