Гипотеза о заполнении области

В дифференциальной геометрии гипотеза Михаила Громова о площади заполнения утверждает, что полусфера имеет минимальную площадь среди ориентируемых поверхностей, которые заполняют замкнутую кривую заданной длины, не вводя сокращений между ее точками.

Определения и формулировка гипотезы

Каждая гладкая поверхность M или кривая в евклидовом пространстве является метрическим пространством , в котором (внутреннее) расстояние d _M ( x , y ) между двумя точками x , y из M определяется как нижняя грань длин кривых, идущих от x до y вдоль M. от Например, на замкнутой кривой $C$ длины 2 L для каждой точки кривой существует единственная другая точка кривой (называемая антиподом x L ) на расстоянии x от x .

Компактная границей поверхность M заполняет замкнутую кривую C, ее граница (также называемая , обозначаемая ∂M ) является кривой C. если Заполнение M называется изометричным, если для любых двух точек x , y граничной кривой C расстояние d _M ( x , y ) между ними вдоль M такое же (не меньше), чем расстояние d _C ( x , y ) вдоль границы. Другими словами, заполнить кривую изометрически — значит заполнить ее без использования сокращений.

Вопрос: Насколько маленькой может быть площадь поверхности заданной длины, изометрически заполняющей ее граничную кривую?

Например, в трехмерном евклидовом пространстве круг

$C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}$

(длиной 2 π ) заполнен плоским диском

$D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}$

которая не является изометрической заливкой, поскольку любая прямая хорда вдоль нее является коротким путем. Напротив, полушарие

$H=\{(x,y,z):\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ and }}z\geq 0\}$

представляет собой изометрическое заполнение того же круга C , имеющего площадь в два раза больше плоского диска . Это минимально возможная площадь?

Поверхность можно представить как сделанную из гибкого, но нерастягивающегося материала, что позволяет ее перемещать и сгибать в евклидовом пространстве. Ни одно из этих преобразований не изменяет ни площадь поверхности, ни длину нарисованных на ней кривых, которые являются величинами, имеющими отношение к проблеме. Поверхность можно вообще удалить из евклидова пространства, получив риманову поверхность , которая представляет собой абстрактную гладкую поверхность с римановой метрикой , кодирующей длины и площади. И наоборот, согласно теореме Нэша-Койпера , любая риманова поверхность с краем может быть вложена в евклидово пространство, сохраняя длину и площадь, заданные римановой метрикой. Таким образом, проблему заполнения можно эквивалентно сформулировать как вопрос о римановых поверхностях , которые не помещаются в евклидово пространство каким-либо определенным образом.

Гипотеза (гипотеза Громова о площади заполнения, 1983 г.): полусфера имеет минимальную площадь среди ориентируемых компактных римановых поверхностей, которые изометрически заполняют свою граничную кривую заданной длины.

Доказательство Громова для случая римановых дисков

В той же статье, где Громов высказал эту гипотезу, он доказал, что

которые изометрически заполняют круг заданной длины и гомеоморфны диску полушарие имеет наименьшую площадь среди римановых поверхностей , .

Доказательство: Пусть $M$ — риманов диск, изометрически заполняющий свою границу длины $2L$. Приклеиваем каждую точку $x\in \partial M$ с его противоположной точкой $-x$, определяемый как единственная точка $\partial M$ это на максимально возможном расстоянии $L$ от $x$. Склеивая таким образом, получим замкнутую риманову поверхность $M'$ гомеоморфной вещественной проективной плоскости и систола которой (длина кратчайшей нестягиваемой кривой) равна $L$. (И наоборот, если мы разрежем проективную плоскость по кратчайшей нестягиваемой петле длиной $L$, получим диск, изометрически заполняющий свою границу длины $2L$.) Таким образом, минимальная площадь, которую изометрическое заполнение $M$ может иметь минимальную площадь, которую может иметь риманова проективная плоскость систолы. $L$ может иметь. Но тогда систолическое неравенство Пу утверждает именно то, что риманова проективная плоскость данной систолы имеет минимальную площадь тогда и только тогда, когда она круглая (т. е. получена из евклидовой сферы путем отождествления каждой точки с ее противоположностью). Площадь этой круглой проективной плоскости равна площади полушария (поскольку каждое из них имеет половину площади сферы).

Доказательство неравенства Пу, в свою очередь, опирается на теорему униформизации .

Заполнения метриками Финслера

В 2001 году Сергей Иванов представил еще один способ доказать, что полушарие имеет наименьшую площадь среди изометрических заполнений, гомеоморфных диску. Его аргумент не использует теорему униформизации , а вместо этого основан на топологическом факте, что две кривые на диске должны пересекаться, если их четыре конечные точки находятся на границе и переплетаются. Более того, доказательство Иванова в более общем смысле применимо к дискам с финслеровой метрикой , которая отличается от римановой метрики тем, что не обязательно удовлетворяет уравнению Пифагора на бесконечно малом уровне. Площадь финслеровой поверхности можно определить различными неэквивалентными способами, здесь используется площадь Холмса – Томпсона , которая совпадает с обычной площадью, когда метрика риманова. Иванов доказал, что

Полушарие имеет минимальную площадь Холмса – Томпсона среди дисков Финслера, изометрически заполняющих замкнутую кривую заданной длины.

show Доказательство теоремы Иванова.

Let (M,F) be a Finsler disk that isometrically fills its boundary of length 2L. We may assume that M is the standard round disk in $\mathbb {R} ^{2}$, and the Finsler metric $F:{\text{T}}M={\text{M}}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow [0,+\infty )$ is smooth and strongly convex. The Holmes–Thompson area of the filling can be computed by the formula $\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)={\frac {1}{\pi }}\iint _{M}|B_{x}^{*}|\,\mathrm {d} x_{0}\,\mathrm {d} x_{1}$ where for each point $x\in M$, the set $B_{x}^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ is the dual unit ball of the norm $F_{x}$ (the unit ball of the dual norm $F_{x}^{*}$), and $|B_{x}^{*}|$ is its usual area as a subset of $\mathbb {R} ^{2}$. Choose a collection $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ of boundary points, listed in counterclockwise order. For each point $p_{i}$, we define on M the scalar function $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$. These functions have the following properties: Each function $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ is Lipschitz on M and therefore (by Rademacher's theorem) differentiable at almost every point $x\in M$. If $f_{i}$ is differentiable at an interior point $x\in M^{\circ }$, then there is a unique shortest curve from $p_{i}$ to x (parametrized with unit speed), that arrives at x with a speed $v_{i}$. The differential $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ has norm 1 and is the unique covector $\varphi \in B_{x}^{*}$ such that $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$. In each point $x\in M^{\circ }$ where all the functions $f_{i}$ are differentiable, the covectors $\mathrm {d} f_{i}$ are distinct and placed in counterclockwise order on the dual unit sphere $\partial B_{x}^{*}$. Indeed, they must be distinct because different geodesics cannot arrive at $x$ with the same speed. Also, if three of these covectors $\mathrm {d} _{x}f_{i},\mathrm {d} _{x}f_{j},\mathrm {d} _{x}f_{k}$ (for some $0\leq i<j<k<n$) appeared in inverted order, then two of the three shortest curves from the points $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ to $x$ would cross each other, which is not possible. In summary, for almost every interior point $x\in M^{\circ }$, the covectors $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ are vertices, listed in counterclockwise order, of a convex polygon inscribed in the dual unit ball $B_{x}^{*}$. The area of this polygon is $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ (where the index i + 1 is computed modulo n). Therefore we have a lower bound $c_{P}:=\int _{M}\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi \,\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F),$ for the area of the filling. If we define the 1-form $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$, then we can rewrite this lower bound using the Stokes formula as $c_{P}=\int _{M}\mathrm {d} \theta _{P}=\int _{\partial M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\sum _{i}\delta _{i}^{2}\ {\xrightarrow {P\ {\text{dense}}}}\ 2L^{2}$. The boundary integral that appears here is defined in terms of the distance functions $f_{i}$ restricted to the boundary, which do not depend on the isometric filling. The result of the integral therefore depends only on the placement of the points $p_{i}$ on the circle of length 2L. We omitted the computation, and expressed the result in terms of the lengths $\delta _{i}$ of each counterclockwise boundary arc from a point $p_{i}$ to the following point $p_{i+1}$. The computation is valid only if $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$. In summary, our lower bound for the area of the Finsler isometric filling converges to ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ as the collection $P\subseteq \partial M$ is densified. This implies that $\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)\geq {\frac {1}{\pi }}\,2L^{2}=\operatorname {Area} ({\text{hemisphere}})$, as we had to prove.

В отличие от риманова случая, существует большое разнообразие дисков Финслера, которые изометрически заполняют замкнутую кривую и имеют ту же площадь Холмса – Томпсона, что и полусфера. Если вместо этого используется площадь Хаусдорфа , то минимальность полушария сохраняется, но полушарие становится уникальным минимизатором. Это следует из теоремы Иванова, поскольку площадь Хаусдорфа финслерового многообразия никогда не меньше площади Холмса – Томпсона , и эти две площади равны тогда и только тогда, когда метрика риманова.

полушария среди рациональных заполнений

Евклидов диск, заполняющий окружность, можно заменить, не уменьшая расстояний между граничными точками, на диск Финслера, заполняющий ту же окружность N раз обтекает окружность =10 раз (в том смысле, что его граница N ), но у которого Холмс – Площадь Томпсона меньше чем в N раз. площади диска более Для полусферы можно найти аналогичную замену. Другими словами, гипотеза о площади заполнения неверна, если финслеровые 2- цепи с рациональными коэффициентами в качестве заполнения допускаются вместо ориентируемых поверхностей (которые можно рассматривать как 2-цепи с целыми коэффициентами ).

заполнения первого рода

Ориентируемая риманова поверхность рода один, изометрически заполняющая круг, не может иметь площадь меньше, чем полусфера. Доказательство в этом случае снова начинается со склейки противоположных точек границы. Полученная таким образом неориентируемая замкнутая поверхность имеет ориентируемое двойное накрытие второго рода и, следовательно, является гиперэллиптической . Затем в доказательстве используется формула Дж. Херша из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе. Формула Херша выражает площадь метрики конформного класса футбольного мяча как среднее значение энергий петель восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает гипотезу о площади заполнения в этом случае.

это минимальное заполнение своих граничных

Если риманово многообразие M (любой размерности) почти плоское (точнее, M — область $\mathbb {R} ^{n}$ с римановой метрикой, которая $C^{2}$-около стандартной евклидовой метрики), то M является минимизатором объема : его нельзя заменить ориентируемым римановым многообразием, заполняющим ту же границу и имеющим меньший объем, без уменьшения расстояния между некоторыми граничными точками. Это означает, что если часть сферы достаточно мала (и, следовательно, почти плоская), то она является минимизатором объема. Если эту теорему можно распространить на большие области (а именно, на все полушарие), то гипотеза о площади заполнения верна. Было высказано предположение, что все простые римановы многообразия (те, которые выпуклы на границе и в которых каждые две точки соединены единственной геодезической) являются минимизаторами объема.

Доказательство того, что каждое почти плоское многообразие M является минимизатором объема, включает в себя вложение M в $L^{\infty }(\partial M)$, а затем показав, что любая изометрическая замена M также может быть отображена в то же пространство $L^{\infty }(\partial M)$, и проецируется на M , не увеличивая его объём. Это означает, что замена имеет объем не меньший, чем исходное M. многообразие

См. также

• Радиус заполнения
• Неравенство Пу
• Систолическая геометрия

Ссылки

• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, том. 137, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4177-8