постоянный отшельник

В математике константа Эрмита , названная в честь Чарльза Эрмита , определяет, какой длины может быть кратчайший элемент решетки в евклидовом пространстве .

Константа γ _n для целых чисел n > 0 определяется следующим образом. Для решетки L в евклидовом пространстве R ^н с единичным кообъемом, т.е. vol( R ^н / L ) = 1, пусть λ ₁ ( L ) обозначает наименьшую длину ненулевого элемента L . Тогда √ γ _n — это максимум λ ₁ ( L ) по всем таким решеткам L .

Квадратный корень в определении постоянной Эрмита является вопросом исторической традиции.

Альтернативно, константа Эрмита γ _n может быть определена как квадрат максимальной систолы плоского n -мерного тора единичного объема.

Пример

Постоянная Эрмита известна в размерностях 1–8 и 24.

н	1	2	3	4	5	6	7	8	24
$\gamma _{n}^{n}$	$1$	${\frac {4}{3}}$	$2$	$4$	$8$	${\frac {64}{3}}$	$64$	$2^{8}$	$4^{24}$

Для n = 2 имеем γ ₂ = 2 / √ 3 . Это значение достигается с помощью гексагональной решетки целых чисел Эйзенштейна .

Оценки

Известно, что

$\gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.$

Более сильная оценка Ганса Фредерика Блихфельдта. является

$\gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},$

где $\Gamma (x)$ это гамма-функция .

См. также

• Неравенство тора Лёвнера

Ссылки

• Кассельс, JWS (1997). Введение в геометрию чисел . Классика математики (переиздание изд. 1971 г.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-61788-4 .
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40475-4 . Збл   0785.11021 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 9. ISBN  3-540-54058-Х . Збл   0754.11020 .