Квадратный корень

«Квадратные корни» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Квадратные корни (значения) .

Обозначение (главного) квадратного корня из x .

Например, √ 25 = 5 , поскольку 25 = 5 ⋅ 5 или 5 ² (5 в квадрате).

В математике квадратный корень из числа x — это число y такое, что $y^{2}=x$; другими словами, число y которого , квадрат (результат умножения числа на себя или $y\cdot y$) — это х . Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что $4^{2}=(-4)^{2}=16$.

Каждое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем или просто квадратным корнем (с определенным артиклем, см. ниже), который обозначается через ${\sqrt {x}},$ где символ " ${\sqrt {~^{~}}}$" называется радикальным знаком или основание . Например, чтобы выразить тот факт, что главный квадратный корень из 9 равен 3, мы пишем ${\sqrt {9}}=3$. Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как подкоренное число . Подкоренное выражение — это число или выражение под радикальным знаком, в данном случае 9. Для неотрицательного x главный квадратный корень также может быть записан в экспоненциальной записи, как $x^{1/2}$.

Каждое положительное число x имеет два квадратных корня: ${\sqrt {x}}$ (что положительно) и $-{\sqrt {x}}$ (что отрицательно). Два корня можно записать более кратко, используя знак ± , как $\pm {\sqrt {x}}$. Хотя главный квадратный корень положительного числа является лишь одним из двух его квадратных корней, обозначение « квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня.

Квадратные корни отрицательных чисел можно обсуждать в рамках комплексных чисел . В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие «квадрата » математического объекта. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы , а также другие математические структуры .

История

YBC 7289 глиняная табличка

из Йельской вавилонской коллекции Глиняная табличка YBC 7289 была создана между 1800 и 1600 годами до нашей эры. ${\sqrt {2}}$ и ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ соответственно как 1;24,51,10 и 0;42,25,35 чисел по основанию 60 на квадрате, пересекаемом двумя диагоналями. (1;24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что соответствует 5 десятичным знакам (1,41421356...).

— Математический папирус Ринда это копия более раннего берлинского папируса и других текстов (возможно, папируса Кахуна ), датируемая 1650 г. до н.э., которая показывает, как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции.

В Древней Индии знания теоретических и прикладных аспектов квадрата и квадратного корня были по крайней мере столь же древними, как Сульба-сутры , датированные примерно 800–500 годами до нашей эры (возможно, намного раньше). Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 дан в Баудхаяна Сульба Сутре . Апастамба , датированный примерно 600 г. до н. э., дал поразительно точную оценку ${\sqrt {2}}$ что верно до пяти десятичных знаков, как ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$. Арьябхата в « Арьябхатии» (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из многозначных чисел.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительных целых чисел , которые не являются точными квадратами , всегда являются иррациональными числами : числами, которые нельзя выразить как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать в точности как ${\frac {m}{n}}$, где m и n — целые числа). Это теорема Евклида X,9 , почти наверняка принадлежащая Теэтету и относящаяся к ок. 380 г. до н.э. Открытие иррациональных чисел, в том числе частного случая квадратного корня из 2 , широко связано со школой Пифагора. Хотя некоторые источники приписывают это открытие Гиппасу , конкретный автор остается неопределенным из-за нехватки первоисточников и скрытного характера братства. Это в точности длина диагонали квадрата со стороной 1 .

В китайской математической работе «Сочинения о расчете» , написанной между 202 г. до н.э. и 186 г. до н.э. во времена ранней династии Хань , квадратный корень аппроксимируется с использованием метода «избытка и недостатка», который гласит: «...объединить избыток и недостаток как делитель; (взяв) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и числитель излишка, умноженный на знаменатель дефицита, объединить их в делимое».

Символ квадратных корней, написанный сложной буквой R, был изобретен Региомонтаном (1436–1476). Буква R также использовалась в качестве системы счисления для обозначения квадратных корней в книге Джероламо Кардано Ars Magna .

По словам историка математики Д.Э. Смита , метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые предложен в Европе Катанео — в 1546 году.

По словам Джеффри А. Оукса, арабы использовали букву jīm/ĝīm ( ج ), первую букву слова « جذر » (по-разному транслитерируемую как jaḏr , jiḏr , Ƨaḏr или Ƨiḏr , «корень»), помещенную в его первоначальную форму ( ﺟ ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Буква Джим напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование восходит к концу двенадцатого века в работах марокканского математика Ибн аль-Ясамина .

Символ «√», обозначающий квадратный корень, впервые был использован в печати в 1525 году в книге Кристофа Рудольфа « Косс » .

Свойства и использование

График функции f ( x ) = √ x , составленный из половины параболы с вертикальной направляющей

Основная функция квадратного корня $f(x)={\sqrt {x}}$ (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция , которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. С геометрической точки зрения функция квадратного корня отображает площадь квадрата в длину его стороны.

Квадратный корень из x является рациональным тогда и только тогда, когда x — рациональное число , которое можно представить как отношение двух полных квадратов. ( числа Доказательства того, что это иррациональное число, см. в квадратном корне из 2, а алгебраические в доказательстве для всех неквадратных натуральных чисел см. квадратичный корень из 2.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в , причем последние являются надмножеством рациональных чисел. ).

Для всех действительных чисел x ,

$${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

(см. абсолютное значение ).

Для всех неотрицательных действительных x и y чисел

$${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$$

и

$${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$$

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x . Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

$$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$$

Серия Тейлор ​ ${\sqrt {1+x}}$ относительно x = 0 сходится при | х | ≤ 1 и определяется выражением

$${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,$$

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в таких обобщениях, как гильбертово пространство . Он определяет важную концепцию стандартного отклонения , используемую в теории вероятностей и статистике . Он широко используется в формуле корней квадратного уравнения ; квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и находят применение в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в математических формулах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни из положительных целых чисел

Положительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный, противоположные друг другу. Когда говорят о квадратном корне из положительного целого числа, обычно имеется в виду положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа — это целые алгебраические числа , точнее, целые квадратичные числа .

Квадратный корень из положительного целого числа — это произведение корней его простых множителей, поскольку квадратный корень из произведения — это произведение квадратных корней из множителей. С ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень при факторизации необходимы . Точнее, квадратный корень из простой факторизации равен

$${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$$

В виде десятичных разложений

Квадратные корни полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в своих десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

н	${\sqrt {n}},$ усечено до 50 десятичных знаков
0	0
1	1
2	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и прежде, квадратные корни идеальных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни целых положительных чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе записи .

Квадратные корни малых целых чисел используются как в конструкциях хеш-функций SHA-1 , так и в SHA-2, чтобы ничего не дать в секрете .

Как периодические непрерывные дроби

Один из наиболее интригующих результатов изучения иррациональных чисел как непрерывных дробей был получен Жозефом Луи Лагранжем ок. 1780 . Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня любого неквадратного положительного целого числа в виде цепной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в цепной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, поскольку их можно представить в виде простого повторяющегося шаблона целых чисел.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Используемая выше квадратная скобка представляет собой краткую форму непрерывной дроби. Написанная в более наводящей на размышления алгебраической форме, простая цепная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит так:

$${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}$$

где двузначный шаблон {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку 11 = 3 ² + 2 , вышеизложенное также идентично следующим обобщенным цепным дробям :

$${\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.$$

Вычисление

Основная статья: Методы вычисления квадратных корней

Квадратные корни положительных чисел не являются вообще рациональными числами и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому, как правило, любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют ключ для извлечения квадратного корня. Компьютерные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или логарифмических правил можно использовать тождества

$${\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},$$

где ln и log ₁₀ — натуральные логарифмы и логарифмы по основанию 10 .

Методом проб и ошибок, можно возвести оценку для ${\sqrt {a}}$ и повышайте или понижайте оценку до тех пор, пока она не достигнет достаточной точности. Для этого метода разумно использовать тождество

$$(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},$$

поскольку это позволяет скорректировать оценку x на некоторую величину c и измерить квадрат поправки через исходную оценку и ее квадрат.

Самый распространенный итеративный метод вычисления квадратного корня вручную известен как « вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа первого века Герона Александрийского , который первым его описал. В методе используется та же итерационная схема, что и метод Ньютона–Рафсона при применении к функции y = f ( x ) = x. ² − a , используя тот факт, что его наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , но он появился на много столетий раньше. Алгоритм заключается в повторении простого расчета, который приводит к числу, близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда он повторяется с его результатом в качестве новых входных данных. Мотивация заключается в том, что если x является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа a , то a / x будет заниженной оценкой, и поэтому среднее значение этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее значение всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ниже ), и поэтому оно может служить новым завышением, с которым можно повторить процесс, который сходится в результате последовательных переоценивает и недооценивает приближение друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти х :

1. Начните с произвольного положительного начального значения x . Чем ближе к квадратному корню из a , тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
2. Замените x средним ( x + a / x )/2 между x и a / x .
3. Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x .

То есть, если произвольное предположение для ${\sqrt {a}}$ x x ₀ и x _{n + 1} ( n _n + a / x _n ) / 2 , то каждый x ₌ является приближением ${\sqrt {a}}$ что лучше для большого n, для маленького . чем Если a положительно, сходимость является квадратичной , что означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если a = 0 , сходимость только линейная; однако, ${\sqrt {0}}=0$ поэтому в этом случае итерация не требуется.

Использование личности

$${\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},$$

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению квадратного корня из числа в диапазоне [1, 4) . Это упрощает поиск начального значения для итерационного метода, близкого к квадратному корню, для которого полиномиальную или кусочно-линейную аппроксимацию можно использовать .

Временная сложность вычисления квадратного корня с точностью до n цифр эквивалентна сложности умножения двух n -значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига корня n-й степени , применяемый для n = 2 .

Название функции квадратного корня варьируется от языка программирования к языку программирования, причем sqrt (часто произносится как «сквирт» ) широко распространен, используется в C и производных языках, таких как C++ , JavaScript , PHP и Python .

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Первый лист комплексного квадратного корня

Второй лист комплексного квадратного корня

Используя риманову поверхность квадратного корня, показано, как два листа соединяются друг с другом.

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, ни одно отрицательное число не может иметь действительный квадратный корень. Однако можно работать с более обширным набором чисел, называемым комплексными числами , который содержит решения для извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого i (иногда j , особенно в контексте электричества , где i традиционно представляет электрический ток) и называемого мнимой единицей , которая определяется так, что i ² = −1 . Используя эти обозначения, мы можем думать об i как о квадратном корне из −1, но у нас также есть (− i ) ² = я ² = −1 , поэтому −i также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен i или, в более общем смысле, если x — любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из − x равен

$${\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.$$

Правая часть (как и ее отрицательная сторона) действительно является квадратным корнем из − x , поскольку

$$(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.$$

Для каждого ненулевого комплексного числа z существуют ровно два числа w такие, что w ² = z : главный квадратный корень из z (определенный ниже) и его отрицательный результат.

Главный квадратный корень комплексного числа

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ   где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволит нам последовательно выбирать одно значение, называемое главным значением , мы начнем с наблюдения, что любое комплексное число $x+iy$ можно рассматривать как точку на плоскости, $(x,y),$ выражается в декартовых координатах . Одну и ту же точку можно интерпретировать с использованием полярных координат как пару $(r,\varphi ),$ где $r\geq 0$ - расстояние точки от начала координат, а $\varphi$ - это угол, который линия от начала координат до точки образует с положительным действительным ( $x$) ось. В комплексном анализе расположение этой точки условно записывают $re^{i\varphi }.$ Если

$$z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,$$

тогда главный квадратный корень из $z$ определяется следующим образом:

$${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.$$

Таким образом, главная функция квадратного корня определяется с использованием неположительной вещественной оси в качестве разреза ветви . Если $z$ является неотрицательным действительным числом (что происходит тогда и только тогда, когда $\varphi =0$) то главный квадратный корень из $z$ является ${\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};$ другими словами, главный квадратный корень неотрицательного действительного числа — это обычный неотрицательный квадратный корень. Важно, чтобы $-\pi <\varphi \leq \pi$ потому что если, например, $z=-2i$ (так $\varphi =-\pi /2$) то главный квадратный корень равен

$${\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i$$

но используя ${\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2$ вместо этого выдаст другой квадратный корень ${\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.$

Функция главного квадратного корня голоморфна всюду, кроме множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных действительных числах она даже не непрерывна ). Вышеупомянутый ряд Тейлора для ${\sqrt {1+x}}$ остается действительным для комплексных чисел $x$ с $|x|<1.$

Вышеупомянутое также можно выразить через тригонометрические функции :

$${\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).$$

Алгебраическая формула

Квадратные корни из i

Когда число выражается с использованием его действительной и мнимой частей, для определения главного квадратного корня можно использовать следующую формулу:

$${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},$$

где sn( y ) = 1, если y ≥ 0 , и sn( y ) = −1 в противном случае. В частности, мнимые части исходного числа и главное значение его квадратного корня имеют одинаковый знак. Действительная часть главного значения квадратного корня всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни ± i определяются как:

$${\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.$$

Примечания

Далее комплексы z и w могут быть выражены как:

• $z=|z|e^{i\theta _{z}}$
• $w=|w|e^{i\theta _{w}}$

где $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ и $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$.

Из-за разрывного характера функции квадратного корня в комплексной плоскости следующие законы в целом не верны .

• ${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и w = −1.
  Это равенство справедливо только тогда, когда $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
• ${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: w = 1 и z = −1.
  Это равенство справедливо только тогда, когда $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
• ${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 )
  Это равенство справедливо только тогда, когда $\theta _{z}\neq \pi$

Аналогичная проблема возникает и с другими сложными функциями с разрезами ветвей, например, с комплексным логарифмом и отношениями log z + log w = log( zw ) или log( z ^* ) = журнал ( z ) ^* что не соответствует действительности в целом.

Ошибочное предположение одного из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что −1 = 1 :

$${\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}$$

Третье равенство не может быть оправдано (см. недействительное доказательство ). Его можно сохранить, изменив значение √ так, чтобы он больше не представлял главный квадратный корень (см. Выше), а выбирал ветвь для квадратного корня, содержащую ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.$ Левая часть становится либо

$${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1$$

если ветка включает + i или

$${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1$$

если ветвь включает − i , а правая часть становится

$${\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,$$

где последнее равенство, ${\sqrt {1}}=-1,$ является следствием выбора ветви при переопределении √ .

n -ные корни и полиномиальные корни

Определение квадратного корня из $x$ как число $y$ такой, что $y^{2}=x$ было обобщено следующим образом.

Кубический корень из $x$ это число $y$ такой, что $y^{3}=x$; это обозначается ${\sqrt[{3}]{x}}.$

Если n — целое число, большее двух, то n корень -й степени из $x$ это число $y$ такой, что $y^{n}=x$; это обозначается ${\sqrt[{n}]{x}}.$

Для любого многочлена p корнем p y ( число является такое, что p y ) = 0 . Например, корни n-й степени из x являются корнями многочлена (от y ) $y^{n}-x.$

Теорема Абеля-Руффини утверждает, что, как правило, корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через корни n- й степени.

Квадратные корни матриц и операторов

Основная статья: Квадратный корень из матрицы

См. Также: Квадратный корень из матрицы 2 на 2.

Если A — положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с B ² = А ; затем мы определяем A ^1/2 = Б. ​В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, 2 × 2 единичная матрица имеет бесконечное число квадратных корней: хотя только один из них положительно определен.

В целых областях, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более двух квадратных корней. Разность двух квадратов тождества u ² − v ² = ( u − v )( u + v ) доказывается с использованием коммутативности умножения . Если u и v — квадратные корни одного и того же элемента, то u ² − v ² = 0 . нет, Поскольку делителей нуля это означает, что u = v или u + v = 0 , где последнее означает, что два корня являются аддитивными обратными друг другу. Другими словами, если элемент является квадратным корнем u из элемента a , то единственными квадратными корнями из a являются u и −u . Единственный квадратный корень из 0 в целочисленной области — это сам 0.

В поле характеристики 2 элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, поскольку каждый элемент является своим аддитивным обратным, так что − u = u . Если поле конечно с характеристикой 2, то каждый элемент имеет уникальный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснялось выше, либо не имеет их.

Учитывая нечетное простое число p , пусть q = p ^и для некоторого положительного целого числа e . Ненулевой элемент поля F _q с q элементами является квадратичным вычетом, если он имеет квадратный корень из F _q . В противном случае это квадратичный невычет. Имеется ( q − 1)/2 квадратичных вычетов и ( q − 1)/2 квадратичных невычетов; ноль не учитывается ни в одном классе. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В кольцах вообще

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (единичном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, на ринге $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю 8 (который является коммутативным, но имеет делители нуля), элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ±1 и ±3.

Другой пример — кольцо кватернионов. $\mathbb {H} ,$ которое не имеет делителей нуля, но не является коммутативным. Здесь элемент −1 имеет бесконечное количество квадратных корней , включая ± i , ± j и ± k . Фактически, набор квадратных корней из −1 в точности равен

$$\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.$$

Квадратный корень из 0 — это либо 0, либо делитель нуля. Таким образом, в кольцах, где делителей нуля не существует, он однозначно равен 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в $\mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,$ любое кратное n является квадратным корнем из 0.

Геометрическое построение квадратного корня

Построение длины $x={\sqrt {a}}$, Учитывая $a$ и длина единицы

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой √ 4

Квадратный корень из положительного числа обычно определяют как длину стороны квадрата, площадь равна которого данному числу. Но квадратная форма для него не обязательна: если одно из двух подобных плоских евклидовых объектов имеет площадь в раз большую, чем другое, то отношение их линейных размеров равно ${\sqrt {a}}$.

Квадратный корень можно получить с помощью циркуля и линейки. В своих «Началах » Евклид ( ок. 300 г. до н.э.) дал построение среднего геометрического двух величин в двух разных местах: в предложении II.14 и в предложении VI.13 . Поскольку среднее геометрическое a и b равно ${\sqrt {ab}}$, можно построить ${\sqrt {a}}$ просто взяв b = 1 .

Построение также дано Декартом в его «Геометрии» , см. рисунок 2 на стр. 2 . Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была вполне знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в книге VI основано на теории подобных треугольников . Пусть AHB — отрезок длины a + b с AH = a и HB = b . Постройте круг с диаметром AB, и пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, а длину CH обозначим как h . Тогда, используя теорему Фалеса и, как при доказательстве теоремы Пифагора подобными треугольниками , треугольник AHC подобен треугольнику CHB (как и оба треугольника ACB, хотя нам это и не нужно, но в этом суть доказательство теоремы Пифагора), так что AH:CH аналогичен HC:HB, т.е. a / h = h / b , из чего путем перекрестного умножения мы заключаем, что h ² = ab и, наконец, $h={\sqrt {ab}}$. Если отметить середину О отрезка AB и нарисовать радиус OC длины ( a + b )/2 , то ясно, что OC > CH, т.е. ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ (с равенством тогда и только тогда, когда a = b ), которое представляет собой среднее арифметико-геометрическое неравенство для двух переменных и, как отмечалось выше , является основой древнегреческого понимания «метода Герона».

Другой метод геометрического построения использует прямоугольные треугольники и индукцию : ${\sqrt {1}}$ можно построить, и однажды ${\sqrt {x}}$ построен прямоугольный треугольник с катетами 1 и ${\sqrt {x}}$ имеет гипотенузу ​ ${\sqrt {x+1}}$. Построение последовательных квадратных корней таким способом дает спираль Теодора, изображенную выше.

См. также

• Апотом (математика)
• Корень куба
• Функциональный квадратный корень
• Целочисленный квадратный корень
• Вложенный радикал
• N-й корень
• Корень единства
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Задача о сумме квадратного корня
• Принцип квадратного корня
• Квантовые ворота § Квадратный корень из вентиля НЕ (√НЕ)

Ссылки

• Добен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика I». В Каце, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11485-9 .
• Гельфанд, Израиль М. ; Шен, Александр (1993). Алгебра (3-е изд.). Биркхойзер. п. 120. ИСБН  0-8176-3677-3 .
• Джозеф, Джордж (2000). Герб павлина . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00659-8 .
• Смит, Дэвид (1958). История математики . Том. 2. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-20430-7 .
• Селин, Хелейн (2008), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer, Bibcode : 2008ehst.book.....S , ISBN  978-1-4020-4559-2 .

Внешние ссылки

• Алгоритмы, реализации и многое другое - веб-страница Пола Се, посвященная квадратным корням
• Как найти квадратный корень вручную
• Рекомендуемая колонка AMS «Арифметика Галилея» Тони Филипса - включает раздел о том, как Галилей нашел квадратные корни.