Квадратный корень

В математике квадратный корень из числа $x$ — это число $y$ такое, что $y^{2}=x$ ; другими словами, число $y,$ которого квадрат (результат умножения числа на себя или $y\cdot y$ ) — это $х$ . ^[1] Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что $4^{2}=(-4)^{2}=16$ .

Каждое неотрицательное действительное число $x$ имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем или просто квадратным корнем (с определенным артиклем, см. ниже), который обозначается через ${\sqrt {x}},$ где символ " ${\sqrt {~^{~}}}$ " называется радикальным знаком ^[2]или основание . Например, чтобы выразить тот факт, что главный квадратный корень из 9 равен 3, мы пишем ${\sqrt {9}}=3$ . Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как подкоренное число . Подкоренное выражение — это число или выражение под радикальным знаком, в данном случае 9. Для неотрицательного $x$ главный квадратный корень также можно записать в экспоненциальной записи, как $x^{1/2}$ .

Каждое положительное число $x$ имеет два квадратных корня: ${\sqrt {x}}$ (что положительно) и $-{\sqrt {x}}$ (что отрицательно). Два корня можно записать более кратко, используя знак ± , как $\pm {\sqrt {x}}$ . Хотя главный квадратный корень положительного числа является лишь одним из двух его квадратных корней, обозначение « квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня. ^[3]^[4]

Квадратные корни отрицательных чисел можно обсуждать в рамках комплексных чисел . В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие « квадрата » математического объекта. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы , а также другие математические структуры .

История

YBC из Йельской вавилонской коллекции Глиняная табличка 7289 была создана между 1800 и 1600 годами до нашей эры. ${\sqrt {2}}$ и ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ соответственно как 1;24,51,10 и 0;42,25,35 чисел по основанию 60 на квадрате, пересекаемом двумя диагоналями. ^[5] (1;24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что соответствует 5 десятичным знакам (1,41421356...).

— Математический папирус Ринда это копия более раннего берлинского папируса и других текстов (возможно, папируса Кахуна ), датируемая 1650 г. до н. э. , которая показывает, как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции. ^[6]

В Древней Индии знания теоретических и прикладных аспектов квадрата и квадратного корня были по крайней мере столь же древними, как Сульба-сутры , датированные примерно 800–500 годами до нашей эры (возможно, намного раньше). ^[7] Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 дан в Баудхаяна Сульба Сутре . ^[8] Апастамба , датированный примерно 600 г. до н. э., дал поразительно точную оценку ${\sqrt {2}}$ что верно до пяти десятичных знаков, как ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$ . ^[9]^[10] ^[11] Арьябхата в «Арьябхатье» (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из многозначных чисел.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительных целых чисел , которые не являются точными квадратами , всегда являются иррациональными числами : числами, которые нельзя выразить как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать в точности как ${\frac {m}{n}}$ , где $m$ и $n$ — целые числа). Это теорема Евклида X,9 , почти наверняка принадлежащая Теэтету и относящаяся к ок. 380 г. до н.э. ^[12] Открытие иррациональных чисел, в том числе частного случая квадратного корня из 2 , широко связано со школой Пифагора. ^[13]^[14] Хотя некоторые источники приписывают это открытие Гиппасу , конкретный автор остается неопределенным из-за нехватки первоисточников и скрытного характера братства. ^[15]^[16] Это в точности длина диагонали квадрата со стороной 1 .

В китайской математической работе «Сочинения о расчете» , написанной между 202 г. до н.э. и 186 г. до н.э. во времена ранней династии Хань , квадратный корень аппроксимируется с использованием метода «избытка и недостатка», который гласит: «...объединить избыток и недостаток как делитель; (взяв) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель дефицита, объединить их в делимое». ^[17]

Символ квадратных корней, написанный сложной буквой R, был изобретен Региомонтаном ( 1436–1476). Буква R также использовалась в качестве системы счисления для обозначения квадратных корней в книге Джероламо Кардано Ars Magna . ^[18]

По словам историка математики Д.Э. Смита , метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые предложен в Европе Катанео — в 1546 году.

По словам Джеффри А. Оукса, арабы использовали букву jīm/ĝīm ( ج ), первую букву слова « جذر » (по-разному транслитерируемого как jaḏr , jiḏr , Ƨaḏr или Ƨiḏr , «корень»), помещенную в его первоначальную форму ( ﺟ ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Буква Джим напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование восходит к концу двенадцатого века в работах марокканского математика Ибн аль-Ясамина . ^[19]

Символ «√», обозначающий квадратный корень, впервые был использован в печати в 1525 году в книге Кристофа Рудольфа « Косс» . ^[20]

Свойства и использование

Основная функция квадратного корня $f(x)={\sqrt {x}}$ (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция , которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. С геометрической точки зрения функция квадратного корня отображает площадь квадрата в длину его стороны.

Квадратный корень из $x$ является рациональным тогда и только тогда, когда $x$ — рациональное число , которое можно представить как отношение двух полных квадратов. ( см. в квадратном корне из 2 Доказательство того, что это иррациональное число, квадратичном иррациональном , а в доказательстве для всех неквадратных натуральных чисел — в .) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа , причем последние являются надмножеством рациональных чисел. ).

Для всех действительных чисел $x$ ,

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}

(см. абсолютное значение ).

Для всех неотрицательных действительных $x$ и $y$ чисел

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

и

{\sqrt {x}}=x^{1/2}.

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных $x$ и дифференцируема для всех положительных $x$ . Если $f$ обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

Тейлор Серия ${\sqrt {1+x}}$ относительно $x = 0$ сходится при $| х | \leq 1$ и определяется выражением

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в таких обобщениях, как гильбертово пространство . Он определяет важную концепцию стандартного отклонения , используемую в теории вероятностей и статистике . Он широко используется в формуле корней квадратного уравнения ; квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и находят применение в геометрии. Квадратные корни часто появляются в математических формулах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни из положительных целых чисел

Положительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный, противоположные друг другу. Когда говорят о квадратном корне из положительного целого числа, обычно имеется в виду положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа — это целые алгебраические числа , точнее, целые квадратичные числа .

Квадратный корень из положительного целого числа — это произведение корней его простых множителей, поскольку квадратный корень из произведения — это произведение квадратных корней из множителей. С ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень при факторизации необходимы . Точнее, квадратный корень из простой факторизации равен

{\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.

В виде десятичных разложений

Квадратные корни полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни из положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в своих десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

$н$	${\sqrt {n}},$ усечено до 50 десятичных знаков
0	0
1	1
2	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

Как расширения в других системах счисления

Как и прежде, квадратные корни идеальных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни целых положительных чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе записи.

Квадратные корни малых целых чисел используются как в SHA-1, так и в SHA-2, конструкциях хеш-функций чтобы ничего не дать в секрете .

Как периодические непрерывные дроби

Один из наиболее интригующих результатов изучения иррациональных чисел как непрерывных дробей был получен Жозефом Луи Лагранжем ок. 1780 . Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня любого неквадратного положительного целого числа в виде цепной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в цепной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, поскольку их можно представить в виде простого повторяющегося шаблона целых чисел.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Используемая выше квадратная скобка представляет собой краткую форму непрерывной дроби. Написанная в более наводящей на размышления алгебраической форме, простая цепная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит так:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}

где двузначный шаблон {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку $11 = 3 2 + 2$ , приведенное выше также идентично следующим обобщенным цепным дробям :

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.

Вычисление

Квадратные корни положительных чисел не являются вообще рациональными числами и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому, как правило, любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют ключ для извлечения квадратного корня. Компьютерные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. ^[21]^[22] При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или логарифмических правил можно использовать тождества

{\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},

где

ln

и

log 10

— натуральные логарифмы и логарифмы по основанию 10 .

Методом проб и ошибок, ^[23] можно возвести оценку для ${\sqrt {a}}$ и повышайте или понижайте оценку до тех пор, пока она не достигнет достаточной точности. Для этого метода разумно использовать тождество

(x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},

поскольку это позволяет скорректировать оценку

x

на некоторую величину

c

и измерить квадрат поправки через исходную оценку и ее квадрат.

Самый распространенный итеративный метод вычисления квадратного корня вручную известен как « вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа первого века Герона Александрийского , который первым его описал. ^[24] В методе используется та же итерационная схема, что и метод Ньютона–Рафсона при применении к функции $y = f (x) = x. 2 - a$ , используя тот факт, что его наклон в любой точке равен $dy / dx = f' (x) = 2 x$ , но он появился на много столетий раньше. ^[25]Алгоритм заключается в повторении простого вычисления, в результате которого получается число, близкое к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве новых входных данных. Мотивация заключается в том, что если $x$ является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа $a,$ то $a / x$ будет заниженной оценкой, и поэтому среднее значение этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее значение всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ниже ), и поэтому оно может служить новым завышением, с которым можно повторить процесс, который сходится в результате последовательных переоценивает и недооценивает приближение друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти $х$ :

Начните с произвольного положительного начального значения $x$ . Чем ближе к квадратному корню из $a$ , тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
Замените $x$ средним $(x + a / x)/2$ между $x$ и $a / x$ .
Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения $x$ .

То есть, если произвольное предположение для ${\sqrt {a}}$ x $x 0$ и $n n 1 = (x + + a / x n) / 2$ , то каждый $x n$ является приближением ${\sqrt {a}}$ что лучше для большого $n$ , чем для $маленького$ . Если $a$ положительно, сходимость является квадратичной , а это означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если $a = 0$ , сходимость только линейная; однако, ${\sqrt {0}}=0$ поэтому в этом случае итерация не требуется.

Использование личности

{\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению квадратного корня из числа в диапазоне

[1, 4)

. Это упрощает поиск начального значения для итерационного метода, близкого к квадратному корню, для которого полиномиальную или кусочно-линейную аппроксимацию можно использовать .

Временная сложность вычисления квадратного корня с $точностью до n$ цифр эквивалентна сложности умножения двух $n$ -значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига корня n-й степени , применяемый для $n = 2$ .

Название функции квадратного корня варьируется от языка программирования к языку программирования, причем sqrt^[26] (часто произносится как «сквирт» ^[27]) широко распространен, используется в C и производных языках, таких как C++ , JavaScript , PHP и Python .

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Первый лист комплексного квадратного корня

Второй лист комплексного квадратного корня

Используя риманову поверхность квадратного корня, показано, как два листа соединяются друг с другом.

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, ни одно отрицательное число не может иметь действительный квадратный корень. Однако можно работать с более обширным набором чисел, называемым комплексными числами , который содержит решения для извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого $i$ (иногда $j$ , особенно в контексте электричества , где i традиционно представляет электрический ток) и называемого мнимой единицей , которая определяется так, что $i 2 = -1$ . Используя эти обозначения, мы можем думать об $i$ как о квадратном корне из −1, но у нас также есть $(- i) 2 = я 2 = -1$ поэтому $-i,$ также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен $i$ или, в более общем смысле, если $x$ — любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из $- x$ равен

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.

Правая часть (как и ее отрицательная сторона) действительно является квадратным корнем из $- x$ , поскольку

(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.

Для каждого ненулевого комплексного числа $z$ существуют ровно два числа $w$ такие, что $w 2 = z$ : главный квадратный корень из $z$ (определенный ниже) и его отрицательный результат.

Главный квадратный корень комплексного числа

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволит нам последовательно выбирать одно значение, называемое главным значением , мы начнем с наблюдения, что любое комплексное число $x+iy$ можно рассматривать как точку на плоскости, $(x,y),$ выражается в декартовых координатах . Одну и ту же точку можно интерпретировать с использованием полярных координат как пару $(r,\varphi ),$ где $r\geq 0$ расстояние точки от начала координат, а $\varphi$ - это угол, который линия от начала координат до точки образует с положительным действительным ( $x$ ) ось. В комплексном анализе расположение этой точки условно записывают $re^{i\varphi }.$ Если

z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,

тогда главный квадратный корень из

z

определяется следующим образом:

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.

Таким образом, главная функция квадратного корня определяется с использованием неположительной действительной оси в качестве разреза ветви . Если

z

является неотрицательным действительным числом (что происходит тогда и только тогда, когда

\varphi =0

) то главный квадратный корень из

z

является

{\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};

другими словами, главный квадратный корень неотрицательного действительного числа — это обычный неотрицательный квадратный корень. Важно что

-\pi <\varphi \leq \pi

потому что если, например,

z=-2i

(так

\varphi =-\pi /2

) то главный квадратный корень равен

{\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i

но используя

{\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2

вместо этого выдаст другой квадратный корень

{\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.

Функция главного квадратного корня голоморфна всюду, кроме множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных действительных числах она даже не непрерывна ). Приведенный выше ряд Тейлора для ${\sqrt {1+x}}$ остается действительным для комплексных чисел $x$ с $|x|<1.$

Вышеупомянутое также можно выразить через тригонометрические функции :

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).

Алгебраическая формула

Когда число выражается с использованием его действительной и мнимой частей, для определения главного квадратного корня можно использовать следующую формулу: ^[28]^[29]

{\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},

где $sn(y) = 1,$ если $y \geq 0$ , и $sn(y) = -1$ в противном случае. ^[30]В частности, мнимые части исходного числа и главное значение его квадратного корня имеют одинаковый знак. Действительная часть главного значения квадратного корня всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни $\pm i$ определяются как:

{\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.

Примечания

Далее комплексы $z$ и $w$ могут быть выражены как:

$z=|z|e^{i\theta _{z}}$
$w=|w|e^{i\theta _{w}}$

где $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ и $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$ .

Из-за разрывного характера функции квадратного корня в комплексной плоскости следующие законы не верны в целом .

${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$
Контрпример для главного квадратного корня: $z = -1$ и $w = -1.$
Это равенство справедливо только тогда, когда $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$
Контрпример для главного квадратного корня: $w = 1$ и $z = -1.$
Это равенство справедливо только тогда, когда $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$
Контрпример для главного квадратного корня: $z = -1$ )
Это равенство справедливо только тогда, когда $\theta _{z}\neq \pi$

Аналогичная проблема возникает и с другими сложными функциями с разрезами ветвей, например, с комплексным логарифмом и отношениями $log z + log w = log(zw)$ или $log(z *) = журнал (z) *$ что не соответствует действительности в целом.

Ошибочное предположение одного из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что $-1 = 1$ :

{\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}

Третье равенство не может быть оправдано (см. недействительное доказательство ). ^[31]^{: Глава VI, Раздел I, Подраздел 2. Заблуждение о том, что +1 = -1.} Его можно сохранить, изменив значение √ так, чтобы он больше не представлял главный квадратный корень (см. Выше), а выбирал ветвь для квадратного корня, содержащую ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.$ Левая часть становится либо

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1

если ветка включает

+ i

или

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1

если ветвь включает

- i

, а правая часть становится

{\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,

где последнее равенство,

{\sqrt {1}}=-1,

является следствием выбора ветви при переопределении

\sqrt

.

$n-$ ные корни и полиномиальные корни

Определение квадратного корня из $x$ как число $y$ такой, что $y^{2}=x$ было обобщено следующим образом.

Кубический корень из $x$ это число $y$ такой, что $y^{3}=x$ ; это обозначается ${\sqrt[{3}]{x}}.$

Если $n$ — целое число, большее двух, то $n$ корень -й степени из $x$ это число $y$ такой, что $y^{n}=x$ ; это обозначается ${\sqrt[{n}]{x}}.$

Для любого многочлена $p$ корнем p p $является$ число $y$ такое, что $(y) = 0$ . Например, $корни n-й$ степени из $x$ являются корнями многочлена (от $y$ ) $y^{n}-x.$

Теорема Абеля-Руффини утверждает, что, как правило, корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через $n-й$ корни степени.

Квадратные корни матриц и операторов

Если A — положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с $B 2 = А$ ; затем мы определяем $A 1/2 = Б.$ В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, 2 × 2 единичная матрица имеет бесконечное число квадратных корней: ^[32] хотя только один из них положительно определен.

В целых областях, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более двух квадратных корней. Разность двух квадратов тождества $u 2 - v 2 = (u - v)(u + v)$ доказывается с использованием коммутативности умножения . Если $u$ и $v$ — квадратные корни одного и того же элемента, то $u 2 - v 2 = 0$ . нет, Поскольку делителей нуля это означает, $что u = v$ или $u + v = 0$ , где последнее означает, что два корня являются аддитивными обратными друг другу. Другими словами, если элемент является квадратным корнем $u$ из элемента $a$ , то единственными квадратными корнями из $a$ являются $u$ и $-u$ . Единственный квадратный корень из 0 в целочисленной области — это сам 0.

В поле характеристики 2 элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, поскольку каждый элемент является своим аддитивным обратным, так что $- u = u$ . Если поле конечно с характеристикой 2, то каждый элемент имеет уникальный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснялось выше, либо не имеет их.

Учитывая нечетное простое число $p$ , пусть $q = p Это$ для некоторого положительного целого числа $e$ . Ненулевой элемент поля $F q$ с $q$ элементами является квадратичным вычетом , если он имеет квадратный корень из $F q$ . В противном случае это квадратичный невычет. Имеется $(q - 1)/2$ квадратичных вычетов и $(q - 1)/2$ квадратичных невычетов; ноль не учитывается ни в одном классе. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В кольцах вообще

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (единичном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, на ринге $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю 8 (который является коммутативным, но имеет делители нуля), элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ±1 и ±3.

Другой пример — кольцо кватернионов . $\mathbb {H} ,$ которое не имеет делителей нуля, но не является коммутативным. Здесь элемент −1 имеет бесконечное количество квадратных корней , включая $\pm i$ , $\pm j$ и $\pm k$ . Фактически, набор квадратных корней из $-1$ в точности равен

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.

Квадратный корень из 0 — это либо 0, либо делитель нуля. Таким образом, в кольцах, где делителей нуля не существует, он однозначно равен 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в $\mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,$ любое кратное $n$ является квадратным корнем из 0.

Геометрическое построение квадратного корня

Построение длины $x={\sqrt {a}}$ , Учитывая $a$ и длина единицы

Квадратный корень из положительного числа обычно определяют как длину стороны квадрата, площадь равна которого данному числу. Но квадратная форма для него не обязательна: если одно из двух подобных плоских евклидовых объектов имеет площадь в раз большую, чем другое, то отношение их линейных размеров равно ${\sqrt {a}}$ .

Квадратный корень можно получить с помощью циркуля и линейки. В своих «Началах» Евклид ( ок . 300 г. до н.э.) дал построение среднего геометрического двух величин в двух разных местах: в предложении II.14 и в предложении VI.13 . Поскольку среднее геометрическое a и b равно ${\sqrt {ab}}$ , можно построить ${\sqrt {a}}$ просто взяв $b = 1$ .

Построение также дано Декартом в его «Геометрии» , см. рисунок 2 на стр. 2 . Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была вполне знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в книге VI основано на теории подобных треугольников . Пусть AHB — отрезок длины $a + b$ с $AH = a$ и $HB = b$ . Постройте окружность с диаметром AB, пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, а длину CH обозначим как h . Тогда, используя теорему Фалеса и, как при доказательстве теоремы Пифагора с помощью подобных треугольников , треугольник AHC подобен треугольнику CHB (как и оба треугольника ACB, хотя нам это и не нужно, но в этом суть доказательство теоремы Пифагора), так что AH:CH подобен HC:HB, т.е. $a / h = h / b$ , из чего путем перекрестного умножения мы заключаем, что $h 2 = ab$ и, наконец, $h={\sqrt {ab}}$ . Если отметить середину О отрезка AB и нарисовать радиус OC длины $(a + b)/2$ , то ясно, что OC > CH, т.е. ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ (с равенством тогда и только тогда, когда $a = b$ ), которое представляет собой среднее арифметико-геометрическое неравенство для двух переменных и, как отмечалось выше , является основой древнегреческого понимания «метода Герона».

Другой метод геометрического построения использует прямоугольные треугольники и индукцию : ${\sqrt {1}}$ можно построить, и однажды ${\sqrt {x}}$ построен прямоугольный треугольник с катетами 1 и ${\sqrt {x}}$ имеет гипотенузу ${\sqrt {x+1}}$ . Построение последовательных квадратных корней таким способом дает спираль Теодора, изображенную выше.

Смотрите также

Примечания

^ Гельфанд, с. 120. Архивировано 2 сентября 2016 г. в Wayback Machine.
^ «Квадраты и квадратные корни» . www.mathsisfun.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик (2008). Первый курс комплексного анализа с приложениями (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 78. ИСБН 978-0-7637-5772-4 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 г. Отрывок со страницы 78. Архивировано 1 сентября 2016 г. на Wayback Machine.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ «Анализ YBC 7289» . ubc.ca. Проверено 19 января 2015 г.
^ Энглин, WS (1994). Математика: краткая история и философия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
^ Зайденберг, А. (1961). «Ритуальное происхождение геометрии» . Архив истории точных наук . 1 (5): 488–527. дои : 10.1007/bf00327767 . ISSN 0003-9519 . S2CID 119992603 . Зайденберг (стр. 501-505) предполагает: «Это различие между использованием и происхождением». [По аналогии] «КЕПЛЕРУ нужен был эллипс, чтобы описать пути планет вокруг Солнца; однако он не изобрел эллипс, а использовал кривую, которая существовала почти 2000 лет». Таким образом, Зайденберг утверждает: «Хотя дата рукописи или текста не может указать нам возраст раскрываемых в ней практик, тем не менее, доказательства содержатся в рукописях». Зайденберг цитирует Тибо из 1875 года: «Что касается времени, в которое могли быть составлены Сульвасутры, невозможно дать более точную информацию, чем мы можем дать о дате Кальпасутр. Но каким бы ни был период, в течение которого Кальпасутры были написаны, и Сульвасутры были составлены в той форме, в которой мы сейчас находимся, мы должны иметь в виду, что они дают лишь систематически организованное описание жертвенных обрядов, которые практиковались в течение долгих предшествующих эпох». Наконец, Зайденберг резюмирует: «В 1899 году ТИБО осмелился назвать четвертое или третье века до нашей эры как самую позднюю возможную дату составления Сульвасутр (подразумевается, что это относится к кодификации гораздо более древнего материала)».
^ Джозеф, глава 8.
^ Дутта, Бибхутибхусан (1931). «О происхождении индуистских терминов, обозначающих «корень» » . Американский математический ежемесячник . 38 (7): 371–376. дои : 10.2307/2300909 . Проверено 30 марта 2024 г.
^ Синтия Дж. Хаффман; Скотт В. Туонг (2015). «Древнеиндийская геометрия веревки в классе – приближение квадратного корня из 2» . www.maa.org . Проверено 30 марта 2024 г. Увеличьте меру на треть, а эту треть на свою четверть, за вычетом тридцать четвертой части этой четверти. Это значение с превышением специального количества.
^ Джей Джей О'Коннор; Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2020 г.). «Апастамба» . www.mathshistory.st-andrews.ac.uk . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 30 марта 2024 г.
^ Хит, сэр Томас Л. (1908). Тринадцать книг Элементов, Том. 3 . Издательство Кембриджского университета. п. 3.
^ Крейг Сморинский (2007). История математики: Приложение (иллюстрированное, аннотированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 49. ИСБН 978-0-387-75480-2 . Выдержка со страницы 49
^ Брайан Э. Бланк; Стивен Джордж Кранц (2006). Исчисление: одна переменная, Том 1 (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН 978-1-931914-59-8 . Выдержка со страницы 71
^ Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Дом К. (2011). История математики (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 100-1 51–53. ISBN 978-0470525487.
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 100-1 14–15. ISBN 978-1441960528.
^ Даубен (2007), с. 210.
^ «Развитие алгебры – 2» . maths.org . Архивировано из оригинала 24 ноября 2014 года . Проверено 19 января 2015 г.
^ Оукс, Джеффри А. (2012). Алгебраический символизм в средневековой арабской алгебре (PDF) (Диссертация). Философика. п. 36. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2016 г.
^ Мангель, Альберто (2006). «Сделано на бумаге: двойственная природа чисел и страницы». Жизнь чисел . Тарик, SA ISBN 84-86882-14-1 .
^ Паркхерст, Дэвид Ф. (2006). Введение в прикладную математику для наук об окружающей среде . Спрингер. стр. 241 . ISBN 9780387342283 .
^ Солоу, Анита Э. (1993). Обучение путем открытия: Лабораторное пособие по математическому анализу . Издательство Кембриджского университета. стр. 48 . ISBN 9780883850831 .
^ Эйткен, Майк; Бродхерст, Билл; Хладки, Стивен (2009). Математика для ученых-биологов . Гирляндная наука. п. 41. ИСБН 978-1-136-84393-8 . Архивировано из оригинала 01 марта 2017 г. Отрывок со страницы 41. Архивировано 1 марта 2017 г. на Wayback Machine.
^ Хит, сэр Томас Л. (1921). История греческой математики, Vol. 2 . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 323–324 .
^ Мюллер, Жан-Мик (2006). Элементарные функции: алгоритмы и реализация . Спрингер. стр. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9 . , Глава 5, стр. 92. Архивировано 1 сентября 2016 г. в Wayback Machine.
^ «Функция sqrt» . CPlusPlus.com . Сеть ресурсов C++. 2016. Архивировано из оригинала 22 ноября 2012 года . Проверено 24 июня 2016 г.
^ Оверленд, Брайан (2013). C++ для нетерпеливых . Аддисон-Уэсли. п. 338. ИСБН 9780133257120 . OCLC 850705706 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 года . Проверено 24 июня 2016 г.
^ Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами . Публикации Courier Dover. п. 17. ISBN 0-486-61272-4 . Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г. , раздел 3.7.27, с. 17. Архивировано 10 сентября 2009 г. в Wayback Machine.
^ Кук, Роджер (2008). Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование . Джон Уайли и сыновья. п. 59. ИСБН 978-0-470-25952-8 . Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г.
^ Эта знаковая функция отличается от обычной знаковой функции своим значением $0$ .
^ Максвелл, Э.А. (1959). Заблуждения в математике . Издательство Кембриджского университета.
^ Митчелл, Дуглас В., «Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I ₂ », Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 499–500.

Внешние ссылки

Алгоритмы, реализации и многое другое - веб-страница Пола Се, посвященная квадратным корням
Как найти квадратный корень вручную
Рекомендуемая колонка AMS «Арифметика Галилея» Тони Филипса - включает раздел о том, как Галилей нашел квадратные корни.

[1] Гельфанд, с. 120. Архивировано 2 сентября 2016 г. в Wayback Machine.

[2] «Квадраты и квадратные корни» . www.mathsisfun.com . Проверено 28 августа 2020 г.

[3] Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик (2008). Первый курс комплексного анализа с приложениями (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 78. ИСБН 978-0-7637-5772-4 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 г. Отрывок со страницы 78. Архивировано 1 сентября 2016 г. на Wayback Machine.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.

[5] «Анализ YBC 7289» . ubc.ca. Проверено 19 января 2015 г.

[6] Энглин, WS (1994). Математика: краткая история и философия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.

[7] Зайденберг, А. (1961). «Ритуальное происхождение геометрии» . Архив истории точных наук . 1 (5): 488–527. дои : 10.1007/bf00327767 . ISSN 0003-9519 . S2CID 119992603 . Зайденберг (стр. 501-505) предполагает: «Это различие между использованием и происхождением». [По аналогии] «КЕПЛЕРУ нужен был эллипс, чтобы описать пути планет вокруг Солнца; однако он не изобрел эллипс, а использовал кривую, которая существовала почти 2000 лет». Таким образом, Зайденберг утверждает: «Хотя дата рукописи или текста не может указать нам возраст раскрываемых в ней практик, тем не менее, доказательства содержатся в рукописях». Зайденберг цитирует Тибо из 1875 года: «Что касается времени, в которое могли быть составлены Сульвасутры, невозможно дать более точную информацию, чем мы можем дать о дате Кальпасутр. Но каким бы ни был период, в течение которого Кальпасутры были написаны, и Сульвасутры были составлены в той форме, в которой мы сейчас находимся, мы должны иметь в виду, что они дают лишь систематически организованное описание жертвенных обрядов, которые практиковались в течение долгих предшествующих эпох». Наконец, Зайденберг резюмирует: «В 1899 году ТИБО осмелился назвать четвертое или третье века до нашей эры как самую позднюю возможную дату составления Сульвасутр (подразумевается, что это относится к кодификации гораздо более древнего материала)».

[8] Джозеф, глава 8.

[9] Дутта, Бибхутибхусан (1931). «О происхождении индуистских терминов, обозначающих «корень» » . Американский математический ежемесячник . 38 (7): 371–376. дои : 10.2307/2300909 . Проверено 30 марта 2024 г.

[10] Синтия Дж. Хаффман; Скотт В. Туонг (2015). «Древнеиндийская геометрия веревки в классе – приближение квадратного корня из 2» . www.maa.org . Проверено 30 марта 2024 г. Увеличьте меру на треть, а эту треть на свою четверть, за вычетом тридцать четвертой части этой четверти. Это значение с превышением специального количества.

[11] Джей Джей О'Коннор; Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2020 г.). «Апастамба» . www.mathshistory.st-andrews.ac.uk . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 30 марта 2024 г.

[12] Хит, сэр Томас Л. (1908). Тринадцать книг Элементов, Том. 3 . Издательство Кембриджского университета. п. 3.

[13] Крейг Сморинский (2007). История математики: Приложение (иллюстрированное, аннотированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 49. ИСБН 978-0-387-75480-2 . Выдержка со страницы 49

[14] Брайан Э. Бланк; Стивен Джордж Кранц (2006). Исчисление: одна переменная, Том 1 (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН 978-1-931914-59-8 . Выдержка со страницы 71

[15] Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Дом К. (2011). История математики (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 100-1 51–53. ISBN 978-0470525487.

[16] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 100-1 14–15. ISBN 978-1441960528.

[17] Даубен (2007), с. 210.

[18] «Развитие алгебры – 2» . maths.org . Архивировано из оригинала 24 ноября 2014 года . Проверено 19 января 2015 г.

[19] Оукс, Джеффри А. (2012). Алгебраический символизм в средневековой арабской алгебре (PDF) (Диссертация). Философика. п. 36. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2016 г.

[20] Мангель, Альберто (2006). «Сделано на бумаге: двойственная природа чисел и страницы». Жизнь чисел . Тарик, SA ISBN 84-86882-14-1 .

[21] Паркхерст, Дэвид Ф. (2006). Введение в прикладную математику для наук об окружающей среде . Спрингер. стр. 241 . ISBN 9780387342283 .

[22] Солоу, Анита Э. (1993). Обучение путем открытия: Лабораторное пособие по математическому анализу . Издательство Кембриджского университета. стр. 48 . ISBN 9780883850831 .

[23] Эйткен, Майк; Бродхерст, Билл; Хладки, Стивен (2009). Математика для ученых-биологов . Гирляндная наука. п. 41. ИСБН 978-1-136-84393-8 . Архивировано из оригинала 01 марта 2017 г. Отрывок со страницы 41. Архивировано 1 марта 2017 г. на Wayback Machine.

[24] Хит, сэр Томас Л. (1921). История греческой математики, Vol. 2 . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 323–324 .

[25] Мюллер, Жан-Мик (2006). Элементарные функции: алгоритмы и реализация . Спрингер. стр. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9 . , Глава 5, стр. 92. Архивировано 1 сентября 2016 г. в Wayback Machine.

[26] «Функция sqrt» . CPlusPlus.com . Сеть ресурсов C++. 2016. Архивировано из оригинала 22 ноября 2012 года . Проверено 24 июня 2016 г.

[27] Оверленд, Брайан (2013). C++ для нетерпеливых . Аддисон-Уэсли. п. 338. ИСБН 9780133257120 . OCLC 850705706 . Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 года . Проверено 24 июня 2016 г.

[28] Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами . Публикации Courier Dover. п. 17. ISBN 0-486-61272-4 . Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г. , раздел 3.7.27, с. 17. Архивировано 10 сентября 2009 г. в Wayback Machine.

[29] Кук, Роджер (2008). Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование . Джон Уайли и сыновья. п. 59. ИСБН 978-0-470-25952-8 . Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г.

[30] Эта знаковая функция отличается от обычной знаковой функции своим значением $0$ .

[31] Максвелл, Э.А. (1959). Заблуждения в математике . Издательство Кембриджского университета.

[32] Митчелл, Дуглас В., «Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I ₂ », Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 499–500.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

История

Свойства и использование

Квадратные корни из положительных целых чисел

В виде десятичных разложений

Как расширения в других системах счисления

Как периодические непрерывные дроби

Вычисление

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Главный квадратный корень комплексного числа

Алгебраическая формула

Примечания

n- ные корни и полиномиальные корни

Квадратные корни матриц и операторов

В целых областях, включая поля

В кольцах вообще

Геометрическое построение квадратного корня

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Внешние ссылки

$n-$ ные корни и полиномиальные корни