Математическая ошибка

«Недействительное доказательство» перенаправляется сюда. Информацию о любых типах недействительных доказательств, кроме математических, см. в разделе «Заблуждение» .

«0 = 1» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об алгебраической структуре, в которой выполняется это равенство, см. Null Ring .

В математике некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в ​​доказательстве, заключающееся в том, что ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательства. доказательство.

Например, причина недействительности может быть связана с делением на ноль , которое скрыто алгебраическими обозначениями. Существует определенное качество математической ошибки: в обычном виде она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. Поэтому эти заблуждения по педагогическим соображениям обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий . Хотя доказательства ошибочны, ошибки, обычно преднамеренные, сравнительно незаметны или предназначены для того, чтобы показать, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы смешать неверный шаг дедукции с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логической ошибки . Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действительным правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно представляет собой правильное правило, примененное с молчаливым неверным предположением. Помимо педагогики, разрешение ошибки может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы Паша евклидовой геометрии , теорема о пяти цветах теории графов ). Псевдарию приписывают Евклиду , древнюю утерянную книгу ложных доказательств .

Математические заблуждения существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать этап, на котором деление на ноль выполняется корень , неправильно извлекается различные значения многозначной функции или, в более общем смысле, приравниваются . Хорошо известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчислении .

Ревуны

${\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}$

Аномальное сокращение в исчислении

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным ни казался вывод, математически неверен и широко известен как «ревун» . Ниже приведен пример ревуна, включающего аномальную отмену :

$${\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.$$

Здесь, хотя вывод 16 / 64 = 1/4 . верно , на среднем шаге происходит ошибочное, недействительное удаление Другой классический пример ревуна - доказательство теоремы Кэли-Гамильтона путем простой замены скалярных переменных характеристического многочлена матрицей.

Фальшивые доказательства, расчеты или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, были названы Эдвином Максвеллом «ревунами» . За пределами математики термин «ревун» имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль

Заблуждение деления на ноль имеет множество вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

1. Пусть a и b равны, ненулевые величины

   $a=b$

2. Умножить на

   $a^{2}=ab$

3. Вычесть б ²

   $a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$

4. Учитывайте обе стороны: левая факторизуется как разность квадратов , правая факторизуется путем извлечения b из обоих членов.

   $(a-b)(a+b)=b(a-b)$

5. Разделить ( a − b )

   $a+b=b$

6. Используйте тот факт, что a = b

   $b+b=b$

7. Объедините подобные члены слева

   $2b=b$

8. Разделить на ненулевое b

   $2=1$

КЭД

Ошибка находится в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a − b , которое равно нулю, поскольку a = b . Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недействителен.

Анализ

Математический анализ как математическое исследование изменений и пределов свойства интегралов и дифференциалов может привести к математическим ошибкам, если игнорируются . Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для получения ложного доказательства того, что 0 = 1. Полагая u = 1 / log x и dv = dx / x , мы можем написать:

$\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx$

после чего первообразные можно отменить, получив 0 = 1. Проблема в том, что первообразные определяются только до константы . , и допускается их сдвиг на 1 или вообще на любое число Ошибка действительно проявляется, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b .

$\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx$

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции исчезает, в обеих частях уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.

Многозначные функции

Основная статья: Многозначная функция

Многие функции не имеют единственного обратного . Например, хотя возведение числа в квадрат дает уникальное значение, существует два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень многозначен . Одно значение может быть выбрано по соглашению в качестве основного значения ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет никакой гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным и для корней n-й степени .

Положительные и отрицательные корни

Необходимо соблюдать осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства . Невыполнение этого требования приводит к «доказательству» 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

$-20=-20$

Напишите это как

$25-45=16-36$

Перепишите как

$5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9$

Добавлять 81/4 обеих сторон с :

$5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}$

Это идеальные квадраты:

$\left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}$

Возьмите квадратный корень из обеих частей:

$5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}$

Добавлять 9/2 сторон : с обеих

$5=4$

КЭД

заключается в предпоследней строке, где извлекается квадратный корень из обеих частей: Ошибка ² = б ² подразумевает a = b только в том случае, если a и b имеют одинаковый знак, что в данном случае не так. В данном случае это означает, что a = – b , поэтому уравнение должно выглядеть так:

$5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)$

который, добавив 9/2 с обеих . сторон правильно сокращается до 5=5

Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество.

$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$

что справедливо как следствие теоремы Пифагора . Затем, извлекая квадратный корень,

$\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$

Оценивая это при x = π , мы получаем, что

$-1={\sqrt {1-0}}$

или

$-1=1$

что неверно.

Ошибка каждого из этих примеров принципиально заключается в том, что любое уравнение вида

$x^{2}=a^{2}$

где $a\neq 0$, имеет два решения:

$x=\pm a$

и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. В приведенном выше заблуждении квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos x положителен. В частности, когда x установлено в π , второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни отрицательных чисел

Неверные доказательства с использованием степеней и корней часто бывают следующего вида:

$1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.$

Заблуждение состоит в том, что правило ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ обычно действителен только в том случае, если хотя бы один из $x$ и $y$ неотрицательно (при работе с действительными числами), что в данном случае не так.

Альтернативно, мнимые корни запутываются следующим образом:

$i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1$

Ошибка здесь заключается в неправильном использовании многозначных функций. $(-1)^{\frac {1}{2}}$ имеет два значения $i$ и $-i$ без предварительного выбора филиала, при этом ${\sqrt {-1}}$ обозначает только основную стоимость $i$. Сходным образом, $1^{\frac {1}{4}}$ имеет четыре разных значения $1$, $i$, $-1$, и $-i$, из них только $i$ равно левой части первого равенства.

Комплексные показатели

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Возведение в степень § Неисправность степени и логарифмического тождества ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

${\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}$

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется в неизмененном виде с комплексными показателями, даже если при возведении обеих частей в степень i выбирается только главное значение. Когда их рассматривают как многозначные функции , обе стороны создают один и тот же набор значений. $\{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.$

Геометрия

Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов в плоскости) к действительному тождеству, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин. . Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, что приводит к абсурдному выводу. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается неявно, предоставляя неточную диаграмму ситуации, где относительные положения точек или линий выбираются способом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но это неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от представленных на схеме. Чтобы избежать таких ошибок, правильный геометрический аргумент, использующий сложение или вычитание расстояний или углов, всегда должен доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Заблуждение о равнобедренном треугольнике

Ошибка равнобедренного треугольника из ( Максвелл 1959 , глава II, § 1) претендует на то, чтобы показать, что каждый треугольник является равнобедренным , а это означает, что две стороны треугольника конгруэнтны . Это заблуждение было известно Льюису Кэрроллу и, возможно, было им обнаружено. Оно было опубликовано в 1899 году.

Дан треугольник △ABC. Докажите, что AB = AC:

1. Проведите линию , разделяющую ∠A пополам.
2. Проведите серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
3. Пусть эти две прямые пересекаются в точке О.
4. Проведите линию OR перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
5. Нарисуйте линии OB и OC.
6. По AAS △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
7. По РХС , △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (катет)).
8. Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

КЭД

Как следствие, можно показать, что все треугольники равносторонние, показав таким же образом, что AB = BC и AC = BC.

Ошибка доказательства заключается в предположении на схеме, что точка О находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит на описанной окружности △ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, где AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, построенная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два приведенных выше факта). ). Из-за этого AB по-прежнему представляет собой AR + RB, но AC на самом деле представляет собой AQ − QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции

Существует несколько ошибочных доказательств по индукции , в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, индукционные доказательства основаны на утверждении, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно и в следующем случае, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета .

1. Предположим, что любая группа из N лошадей одного цвета.
2. Если мы удалим лошадь из группы, у нас будет группа из N − 1 лошадей одной масти. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. По нашему предыдущему предположению, в этой новой группе все лошади одного цвета, поскольку это группа из N лошадей.
3. Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета, у которых N - 1 лошадей общего цвета. Поскольку у этих двух групп есть некоторые общие лошади, обе группы должны быть одного цвета друг с другом.
4. Таким образом, объединив всех использованных лошадей, мы получим группу из N + 1 лошадей одной масти.
5. Таким образом, если все N лошадей одного цвета, то все N + 1 лошадей будут одного цвета.
6. Это, очевидно, верно для N = 1 (т. е. одна лошадь — это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции N лошадей имеют один и тот же цвет для любого положительного целого числа N , и поэтому все лошади имеют один и тот же цвет.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. Для N = 1 две группы лошадей имеют N − 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно имеют один и тот же цвет, поэтому группа из N + 1 = Две лошади не обязательно должны быть одной масти. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N > 1, но неверна, когда N = 1. Базисный случай верен, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток.

См. также

• Аномальная отмена — своего рода арифметическая ошибка.
• Деление на ноль - Класс математического выражения
• Список неполных доказательств
• Математическое совпадение - Совпадение в математике
• Парадокс – утверждение, которое явно противоречит само себе.
• Доказательство путем запугивания – Маркировка аргумента как очевидного или тривиального.

Ссылки

• Барбо, Эдвард Дж. (2000), Математические заблуждения, недостатки и обман , Спектр MAA, Математическая ассоциация Америки , ISBN  978-0-88385-529-4 , МР   1725831 .
• Банч, Брайан (1997), Математические заблуждения и парадоксы , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-29664-7 , МР   1461270 .
• Хит, сэр Томас Литтл; Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Тринадцать книг «Элементов Евклида», Том 1 , The University Press .
• Максвелл, Э.А. (1959), Заблуждения в математике , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-05700-0 , МР   0099907 .

Внешние ссылки

• Недействительные доказательства в Cut-the-knot (включая ссылки на литературу)
• Классические заблуждения с некоторым обсуждением
• Еще больше недействительных доказательств от AhaJokes.com
• Математические шутки, включая недействительное доказательство