n- й корень

Эта статья о корнях n-й степени из действительных и комплексных чисел. Чтобы узнать о других значениях, см. Корень (значения) § Математика .

В математике извлечение корня n-й степени — это операция, включающая два числа: подкоренное выражение и индекс или степень . Извлечение корня n-й степени записывается как ${\sqrt[{n}]{x}}$, где x — подкоренное выражение, а n — индекс (также иногда называемый степенью). Это произносится как «корень n-й степени из x». Тогда определением n-й корня степени из числа x является число r (корень), которое, будучи возведено в степень положительного целого числа n , дает x :

$$r^{n}=x.$$

Корень степени 2 называется квадратным корнем (обычно пишется без буквы n, как просто ${\sqrt {x}}$) и корень степени 3 — кубический корень (записывается ${\sqrt[{3}]{x}}$). Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров, например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .

Например, 3 — это квадратный корень из 9, так как 3 ² = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) ² = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая вещественные (не более двух). Корень n-й степени из 0 равен нулю для всех натуральных чисел n , поскольку 0 ^н = 0 . В частности, если n четно и x — положительное действительное число, один из его корней n-й степени вещественный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) являются недействительными комплексными числами ; если n четно и x — отрицательное действительное число, ни один из корней n- й степени не является вещественным. Если n нечетно и x вещественен, один корень n-й степени действительный и имеет тот же знак, что и x , а остальные ( n – 1 ) корни недействительны. Наконец, если x недействителен, то ни один из его корней n- й степени не веществен.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления. ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$, с ${\sqrt {x}}$ обозначающий положительный квадратный корень из x, если x положителен; для более высоких корней, ${\sqrt[{n}]{x}}$ обозначает действительный n-й корень степени, если n нечетное, и положительный n-й корень степени, если n четное и x положительное. В остальных случаях этот символ обычно не используется как неоднозначный.

Когда рассматриваются комплексные корни n-й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней, называемый главным корнем , в качестве главного значения . Обычно выбирают главный корень n-й степени из x в качестве корня n-й степени с наибольшей действительной частью, а если их два (для x вещественный и отрицательный), то корень с положительной мнимой частью . Это делает n корень -й функции действительной и положительной для x, вещественной и положительной, и непрерывной во всей комплексной плоскости , за исключением значений x , которые являются действительными и отрицательными.

Трудность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, $-8$ имеет три кубических корня, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ и $1-i{\sqrt {3}}.$ Настоящий кубический корень равен $-2$ а главный кубический корень равен $1+i{\sqrt {3}}.$

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется радикальный символ, иногда называют сурдом. или радикал . Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Положительный корень числа — это обратная операция возведения в степень с положительными целыми показателями. Корни также можно определить как особые случаи возведения в степень, когда показатель степени является дробью :

$${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$$

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n- й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Основные статьи: Квадратный корень § История и Кубический корень § История.

Архаичный термин для обозначения операции извлечения n- корней го типа — радикация .

Определение и обозначения

Четыре корня четвертой степени из −1,
ничего из этого не реально

Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным действительным

Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r, которого n- я степень равна x :

$$r^{n}=x.$$

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным n- корнем й степени , который записывается ${\sqrt[{n}]{x}}$. Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n-й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x ^1/н .

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ но −2 не имеет настоящих корней шестой степени.

Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных комплексного числа n- корней й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n -й степени) иррациональны . Например,

$${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$$

Все корни n-й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все n- корни й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число , было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы ${\sqrt[{n}]{r}}$, в котором $n$ и $r$ являются целыми числами, и все выражение обозначает иррациональное число. Иррациональные числа вида $\pm {\sqrt {a}},$ где $a$ рациональна, называются чистыми квадратичными иррационалами ; иррациональные числа вида $a\pm {\sqrt {b}}$, где $a$ и $b$ рациональны, называются смешанными квадратичными иррационалами .

Квадратные корни

Основная статья: Квадратный корень

График $y=\pm {\sqrt {x}}$.

Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :

$$r^{2}=x.$$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:

$${\sqrt {25}}=5.$$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

Основная статья: Корень куба

График $y={\sqrt[{3}]{x}}$.

Кубический корень числа x — это число r которого , куб равен x :

$$r^{3}=x.$$

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный ${\sqrt[{3}]{x}}$. Например,

$${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}$$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

Выражая степень корня n-й степени в его показательной форме, как в $x^{1/n}$, облегчает манипулирование силами и корнями. Если $a$ является неотрицательным действительным числом ,

$${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$$

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа, $a$ и $b$ являются прямыми в пределах действительных чисел:

$${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

$${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$$

но, скорее,

$$\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$$

Поскольку правило ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ строго справедливо только для неотрицательных действительных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения

упрощенную форму Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет , если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет.

Например, чтобы написать радикальное выражение $\textstyle {\sqrt {32/5}}$ в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

$${\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}$$

Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:

$$4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$$

Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

$${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$$

Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

$${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.$$

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, разделение не всегда возможно, а когда это возможно, оно может включать в себя продвинутую теорию Галуа . Более того, когда полное выравнивание невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто глядя на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

$${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.$$

Вышеупомянутое можно получить посредством:

$${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$$

Позволять $r=p/q$, где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Затем ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ рационально тогда и только тогда, когда оба ${\sqrt[{n}]{p}}$ и ${\sqrt[{n}]{q}}$ являются целыми числами, что означает, что и p, и q являются n -ми степенями некоторого целого числа.

Бесконечная серия

Радикал или корень может быть представлен бесконечным рядом :

$$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$$

с $|x|<1$. Это выражение можно вывести из биномиального ряда .

корней

Использование метода Ньютона

Корень n-й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x ₀ , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

$$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$$

пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают

$$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.$$

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x ₀ = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:

х ₀ = 2 1

х ₁ = 2,025

х ₂ = 2,02439 7...

х ₃ = 2,02439 7458...

х ₄ = 2,02439 74584 99885 04251 08172...

х ₅ = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x ₄ соответствует 25 десятичным знакам, а x ₅ — 51.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n- й степени. Например,

$${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$$

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию

Треугольник Паскаля, показывающий $P(4,1)=4$.

Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула: $x(20p+x)\leq c$, или $x^{2}+20xp\leq c$, следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n-й степени из числа $P(n,i)$ определяется как значение элемента $i$ в ряд $n$ треугольника Паскаля такой, что $P(4,1)=4$, мы можем переписать выражение как $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$. Для удобства назовем результат этого выражения $y$. Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, снесите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для образования группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на $10^{n}$ и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Позволять $p$ быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага $p=0$ и $0^{0}=1$).
   • Определить самую большую цифру $x$ такой, что $y\leq c$.
   • Поместите цифру $x$ в качестве следующей цифры корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что нанесли. Таким образом, следующим p будет старое p, умноженное на 10 плюс x .
3. Вычесть $y$ от $c$ чтобы образовался новый остаток.
4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56          (Results)    (Explanations)
    
         01                   x = 1        100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21
         01                   y = 1        y = 100·1·00·12   + 101·2·01·11   =  1 +    0   =     1
         00 52                x = 2        100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31
         00 44                y = 44       y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             x = 3        100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41
            07 29             y = 729      y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          x = 4        100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51
               98 56          y = 9856     y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00

Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.

Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000          (Results)    (Explanations)
    
      004                          x = 1        100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21
      001                          y = 1        y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                      x = 6        100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71
      003 096                      y = 3096     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000                  x = 1        100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21
          077 281                  y = 77281    y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000              x = 2        100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31
              015 571 928          y = 15571928 y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000      x = 4        100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51

Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет

Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно $r^{n}=x,$ если x положителен и, следовательно, его главный корень r также положителен, нужно логарифмировать обе части ( любое основание логарифма подойдет ), чтобы получить

$$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$$

Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :

$$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$$

(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один вещественный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить $|r|^{n}=|x|,$ затем продолжаем, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = −| р | .

Геометрическая конструктивность

Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины невозможно построить, если n не является степенью 2.

Сложные корни

Каждое комплексное число , кроме 0, имеет n различных n-й корней степени.

Квадратные корни

Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

$${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$$

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:

$${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$$

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

$${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}$$

который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с − π < θ ≤ π .

Используя первую (последнюю) ветвь, вырежьте главный квадратный корень. $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ карты $\scriptstyle z$ полуплоскости с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .

Корни единства

Основная статья: Корень единства

Три третьего корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

$$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$$

где

$$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$$

Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными $2\pi /n$. Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, $i$, −1 и $-i$.

n -ные корни

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ   где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

$$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$$

где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω ² , ... ой ^{п -1} являются корнями n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

$${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$$

В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле

$${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.$$

Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi, то $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Также, $\theta$ - угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ и $\tan \theta =b/a.$

Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n- й степени, равен $\theta /n$, где $\theta$ — угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n степени корней n-й расположены под одинаковыми углами друг от друга.

Если n четно, корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из n-й корней степени, то r ₂ = – r ₁ является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n -ю степень для четного n дает 1: то есть (– r ₁ ) ^н = (–1) ^н × р ₁ ^н = р ₁ ^н .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.

Решение полиномов

См. также: Алгоритмы поиска корня.

Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что это в целом неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

$$x^{5}=x+1$$

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n-й степени x

Предположим, что ${\sqrt[{n}]{x}}$ является рациональным. То есть его можно уменьшить до дроби ${\frac {a}{b}}$, где a и b — целые числа без общего делителя.

Это означает, что $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$.

Поскольку х — целое число, $a^{n}$и $b^{n}$должен иметь общий делитель, если $b\neq 1$. Это означает, что если $b\neq 1$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ не в самой простой форме. Таким образом, b должно равняться 1.

С $1^{n}=1$ и ${\frac {n}{1}}=n$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$.

Это означает, что $x=a^{n}$ и таким образом, ${\sqrt[{n}]{x}}=a$. Это означает, что ${\sqrt[{n}]{x}}$ является целым числом. Поскольку x не является идеальной n -й степенью, это невозможно. Таким образом ${\sqrt[{n}]{x}}$ иррационально.

См. также

• Среднее геометрическое
• Алгоритм сдвига n-го корня
• Двенадцатый корень из двух