n- й корень

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

В математике извлечение корня n- й степени — это операция, включающая два числа: подкоренное выражение и индекс или степень . Извлечение корня n-й степени записывается как , где x — подкоренное выражение, а n — индекс (также иногда называемый степенью). Это произносится как «корень n-й степени из x». Тогда определением n-й корня степени из числа x является число r (корень), которое, будучи возведено в степень положительного целого числа n , дает x :

Корень степени 2 называется квадратным корнем (обычно пишется без буквы n , как просто ) и корень степени 3 — кубический корень (записывается ). Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров, например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .

Например, 3 — это квадратный корень из 9, так как 3 2 = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) 2 = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая вещественные (не более двух). Корень n-й степени из 0 равен нулю для всех натуральных чисел n , поскольку 0 н = 0 . В частности, если n четно и x — положительное действительное число, один из его корней n- й степени вещественный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) являются недействительными комплексными числами ; если n четно и x — отрицательное действительное число, ни один из корней n- й степени не является вещественным. Если n нечетно и x вещественен, один корень n-й степени действительный и имеет тот же знак, что и x , а остальные ( n – 1 ) корни недействительны. Наконец, если x недействителен, то ни один из его корней n- й степени не веществен.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления. , с обозначающий положительный квадратный корень из x , если x положителен; для более высоких корней, обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетное, и положительный корень n-й степени, если n четное и x положительное. В остальных случаях этот символ обычно не используется как неоднозначный.

При рассмотрении комплексных корней n-й степени часто бывает полезно выбрать один из корней, называемый главным корнем в качестве главного значения . Обычно выбирают главный корень n-й степени из x как корень n- й степени с наибольшей действительной частью, а если их два (для x вещественный и отрицательный), то корень с положительной мнимой частью . Это делает n- корень й функции действительной и положительной для x, вещественной и положительной, и непрерывной во всей комплексной плоскости , за исключением значений x , которые являются действительными и отрицательными.

Трудность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеет три кубических корня, , и Настоящий кубический корень равен а главный кубический корень равен

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется радикальный символ, иногда называют сурдом . [1] или радикал . [2] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Положительный корень числа — это обратная операция возведения в степень с положительными целыми показателями. [3] Корни также можно определить как особые случаи возведения в степень, когда показатель степени является дробью :

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n -й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История [ править ]

Архаичный термин для обозначения операции извлечения n- корней го типа — радикация . [4] [5]

Определение и обозначения [ править ]

Четыре корня четвертой степени из −1,
ничего из этого не реально
Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным действительным

Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r которого , n-я степень равна x :

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным n- корнем й степени , который записывается . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n- й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x 1/н .

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n -й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, но −2 не имеет настоящих корней шестой степени.

Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных корней из комплексных чисел n- й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n- й степени) иррациональны . Например,

Все корни n- й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все корни n-й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число, было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы , в котором и являются целыми числами, и все выражение обозначает иррациональное число. [6] Иррациональные числа вида где рациональна, называются чистыми квадратичными иррационалами ; иррациональные числа вида , где и рациональны, называются смешанными квадратичными иррационалами . [7]

Квадратные корни [ править ]

График .

Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни [ править ]

График .

Кубический корень числа x — это число r которого , куб равен x :

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например,

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства [ править ]

Выражая степень корня n- й степени в его показательной форме, как в , облегчает манипулирование силами и корнями. Если является неотрицательным действительным числом ,

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа, и являются прямыми в пределах действительных чисел:

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

скорее,

Поскольку правило строго справедливо только для неотрицательных вещественных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения [ править ]

Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет. [8]

Например, чтобы написать радикальное выражение в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:

Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. [9] [10] Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, разделение не всегда возможно, а когда это возможно, оно может включать в себя продвинутую теорию Галуа . Более того, когда полное выравнивание невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто взглянув на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

Вышеупомянутое можно получить посредством:

Позволять , где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Затем рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p , и q являются n -ми степенями некоторого целого числа.

Бесконечная серия [ править ]

Радикал или корень могут быть представлены бесконечным рядом :

с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда .

главных корней Вычисление

Использование метода Ньютона [ править ]

Корень n- й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x 0 , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:

х 0 = 2 1
х 1 = 2,025
х 2 = 2,02439 7...
х 3 = 2,02439 7458...
х 4 = 2,02439 74584 99885 04251 08172...
х 5 = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x 4 соответствует 25 десятичным знакам, а x 5 — 51.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n -й степени. Например,

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию чисел ) 10

Треугольник Паскаля, показывающий .

Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула: , или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n-й степени из числа определяется как значение элемента в ряд треугольника Паскаля такой, что , мы можем переписать выражение как . Для удобства назовем результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

  1. Начиная слева, опустите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» столько раз, сколько потребуется для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
  2. Найдите p и x следующим образом:
    • Позволять быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага и ).
    • Определить самую большую цифру такой, что .
    • Поместите цифру в качестве следующей цифры корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что нанесли. Таким образом, следующим p будет старое p, умноженное на 10 плюс x .
  3. Вычесть от чтобы образовался новый остаток.
  4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Примеры [ править ]

Найдите квадратный корень из 152,2756.

        1 2. 3 4 
      / 
       \/01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения) 
    
           01 х = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2  + 10 1 ·2·0 1 · 1 1  ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 ·2 2    + 10 1 ·2·0 1 ·2 1 
         01  г = 1 г = 10 0 ·1·0 0 ·1 2    + 10 1 ·2·0 1 ·1 1 = 1 + 0 =  1 
           00 52 х = 2 10 0 ·1·1 0 · 2 2  + 10 1 ·2·1 1 · 2 1  ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2    + 10 1 ·2·1 1 ·3 1 
         00 44  г = 44 г = 10 0 ·1·1 0 ·2 2    + 10 1 ·2·1 1 ·2 1 = 4 + 40 =  44 
              08 27 х = 3 10 0 ·1·12 0 · 3 2  + 10 1 ·2·12 1 · 3 1  ≤ 827 < 10 0 ·1·12 0 ·4 2   + 10 1 ·2·12 1 ·4 1 
            07 29  г = 729 г = 10 0 ·1·12 0 ·3 2   + 10 1 ·2·12 1 ·3 1 = 9 + 720 =  729 
                 98 56 х = 4 10 0 ·1·123 0 · 4 2  + 10 1 ·2·123 1 · 4 1  ≤ 9856 < 10 0 ·1·123 0 ·5 2  + 10 1 ·2·123 1 ·5 1 
               98 56  г = 9856 г = 10 0 ·1·123 0 ·4 2  + 10 1 ·2·123 1 ·4 1  = 16 + 9840   =   9856 
               00 00
 

Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.

Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.

     1 6. 1 2 4 
  3  / 
    \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения) 
    
        004 х = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3     +  10 1 ·3·0 1 · 1 2    + 10 2 ·3·0 2 · 1 1  ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 ·2 3      + 10 1 ·3·0 1 ·2 2     + 10 2 ·3·0 2 ·2 1 
      001  г = 1 г = 10 0 ·1·0 0 ·1 3    + 10 1 ·3·0 1 ·1 2    + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 =  1 
        003 192 х = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3     +  10 1 ·3·1 1 · 6 2    + 10 2 ·3·1 2 · 6 1  ≤ 3192 < 10 0 ·1·1 0 ·7 3      + 10 1 ·3·1 1 ·7 2     + 10 2 ·3·1 2 ·7 1 
      003 096  г = 3096 г = 10 0 ·1·1 0 ·6 3    + 10 1 ·3·1 1 ·6 2    + 10 2 ·3·1 2 ·6 1 = 216 + 1080 + 1800 =  3096 
            096 000 х = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3    + 10 1 ·3·16 1 · 1 2    + 10 2 ·3·16 2 · 1 1  ≤ 96000 < 10 0 ·1·16 0 ·2 3    + 10 1 ·3·16 1 ·2 2    + 10 2 ·3·16 2 ·2 1 
          077 281  г = 77281 г = 10 0 ·1·16 0 ·1 3   + 10 1 ·3·16 1 ·1 2   + 10 2 ·3·16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76 800 =  77 281 
            018 719 000 х = 2 10 0 ·1·161 0 · 2 3   + 10 1 ·3·161 1 · 2 2   + 10 2 ·3·161 2 · 2 1  ≤ 18719000 < 10 0 ·1·161 0 ·3 3   + 10 1 ·3·161 1 ·3 2   + 10 2 ·3·161 2 ·3 1 
              015 571 928  г = 15571928 г = 10 0 ·1·161 0 ·2 3  + 10 1 ·3·161 1 ·2 2  + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 =  15 571 928 
                003 147 072 000 х = 4 10 0 ·1·1612 0 · 4 3  + 10 1 ·3·1612 1 · 4 2  + 10 2 ·3·1612 2 · 4 1  ≤ 3147072000 < 10 0 ·1·1612 0 ·5 3  + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2  + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1 

Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет [ править ]

Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно если x положителен и, следовательно, его главный корень r также положителен, нужно логарифмировать обе части ( любое основание логарифма подойдет ), чтобы получить

Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :

(Примечание: эта формула показывает b , возведенное в степень результата деления, а не b , умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить затем продолжаем, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = −| р | .

Геометрическая конструктивность [ править ]

Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины невозможно построить, если n не является степенью 2. [11]

Сложные корни [ править ]

Каждое комплексное число, кроме 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни [ править ]

Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с π < θ π .

Используя первую (последнюю) ветвь, вырежьте главный квадратный корень. карты полуплоскости с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .

Корни единства [ править ]

Три третьего корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

где

Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, , −1 и .

n -ные корни [ править ]

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω 2 , ... ой п -1 являются корнями n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле

Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi , то . Также, - угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые и

Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех n- корней й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n- й степени, равен , где — угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n й степени корней n- расположены под одинаковыми углами друг от друга.

Если n четное, то корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из корней n- й степени, то r 2 = – r 1 является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n -ю степень для четного n дает 1: то есть (– r 1 ) н = (–1) н × р 1 н = р 1 н .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.

Решение полиномов [ править ]

Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартик ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что в целом это неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n -й степени x [ править ]

Предположим, что является рациональным. То есть его можно уменьшить до дроби , где a и b — целые числа без общего делителя.

Это значит, что .

Поскольку х — целое число, и должен иметь общий делитель, если . Это означает, что если , не в самой простой форме. Таким образом, b должно равняться 1.

С и , .

Это значит, что и поэтому, . Это означает, что является целым числом. Поскольку x не является идеальной n- й степенью, это невозможно. Таким образом иррационально.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бансал, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX . Публикации Лакшми. п. 25. ISBN  978-81-318-0013-3 .
  2. ^ Сильвер, Ховард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-021270-2 .
  3. ^ «Объяснение урока: n-ные корни: целые числа» . Проверено 22 июля 2023 г.
  4. ^ «Определение РАДИКАЦИИ» . www.merriam-webster.com .
  5. ^ «радикация – определение радиации на английском языке в Оксфордских словарях» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 3 апреля 2018 года.
  6. ^ Миллер, Джефф. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Страницы математики . Проверено 30 ноября 2008 г.
  7. ^ Харди, GH (1921). Курс чистой математики (3-е изд.). Кембридж. §1.13 «Квадратичные числа» - §1.14, стр. 19–23.
  8. ^ МакКег, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. п. 470. ИСБН  978-0-8400-6421-9 .
  9. ^ Кавинесс, Б.Ф.; Фейтман, Р.Дж. «Упрощение радикальных выражений» (PDF) . Материалы симпозиума ACM 1976 года по символьным и алгебраическим вычислениям . п. 329.
  10. ^ Ричард, Зиппель (1985). «Упрощение выражений с участием радикалов». Журнал символических вычислений . 1 (189–210). дои : 10.1016/S0747-7171(85)80014-6 .
  11. ^ Ванцель, ML (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу по геометрии с помощью линейки и циркуля» . Журнал чистой и прикладной математики . 1 (2): 366–372.

Внешние ссылки [ править ]