Трансцендентное число

«U-номер» перенаправляется сюда. Информацию о теплопроводности см. в разделе изоляция) § Значение U. Значение R (

В математике трансцендентное число — это действительное или комплексное число , не являющееся алгебраическим , то есть не являющееся корнем ненулевого многочлена конечной степени с рациональными коэффициентами . Самые известные трансцендентные числа — это π и e . Трансцендентность числа называется трансцендентностью .

Хотя известно лишь несколько классов трансцендентных чисел (отчасти потому, что может быть чрезвычайно трудно доказать, что данное число является трансцендентным), трансцендентные числа не являются редкостью: действительно, почти все действительные и комплексные числа трансцендентны, поскольку алгебраические числа образуют счетное множество , в то время как множество действительных чисел и множество комплексных чисел являются неисчисляемыми множествами и, следовательно, больше, чем любое счетное множество.

Все трансцендентные действительные числа (также известные как действительные трансцендентные числа или трансцендентные иррациональные числа ) являются иррациональными числами , поскольку все рациональные числа алгебраические. Обратное неверно : не все иррациональные числа трансцендентны. Следовательно, множество действительных чисел состоит из непересекающихся наборов рациональных, алгебраических нерациональных и трансцендентных действительных чисел. Например, квадратный корень из 2 — иррациональное число, но не трансцендентное число, поскольку оно является корнем полиномиального уравнения x. ² - 2 знак равно 0 . Золотое сечение (обозначается $\varphi$ или $\phi$) — еще одно иррациональное число, не являющееся трансцендентным, поскольку оно является корнем полиномиального уравнения x ² - Икс - 1 знак равно 0 .

История

Название «трансцендентальный» происходит от латинского trānscendere «перелезать или преодолевать, преодолевать». и впервые был использован для математической концепции в статье Лейбница 1682 года, в которой он доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . Эйлер в XVIII веке, вероятно, был первым, кто дал определение трансцендентным числам в современном смысле.

Иоганн Генрих Ламберт предположил, что e и π в своей статье 1768 года, доказывающей, что число π иррационально , были трансцендентными числами , и предложил предварительное эскизное доказательство того, что π трансцендентно.

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 году. а в 1851 году дал первые десятичные примеры, такие как константа Лиувилля.

$${\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}$$

в котором n- я цифра после запятой равна 1, если n равно k ! ( k факториал ) для некоторого k и 0 в противном случае. Другими словами, n- я цифра этого числа равна 1, только если n — одно из чисел 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т. д. Лиувилль показал, что это число принадлежит к классу трансцендентных чисел, которые могут быть более точно аппроксимированы рациональными числами, чем любое иррациональное алгебраическое число, и этот класс чисел называется числами Лиувилля , названными в его честь. Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны.

Первым числом, трансцендентность которого была доказана без того, чтобы оно было специально построено с целью доказательства существования трансцендентных чисел, было е , предложенное Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа неисчислимы. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, доказывающую, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько и действительных чисел. Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн опубликовал первое полное доказательство числа π трансцендентности . Он впервые доказал, что е ^а трансцендентно, если a — ненулевое алгебраическое число. Тогда, поскольку е ^яπ = −1 алгебраична (см. тождество Эйлера ), iπ должен быть трансцендентным. Но поскольку i алгебраична, следовательно, π должно быть трансцендентным. Этот подход был обобщен Карлом Вейерштрассом до того, что сейчас известно как теорема Линдемана-Вейерштрасса . числа π Трансцендентность означает, что геометрические конструкции, включающие циркуль и линейку, не могут дать определенных результатов, например, возведение квадрата круга в квадрат .

В 1900 году Дэвид Гильберт поставил вопрос о трансцендентных числах, седьмую проблему Гильберта : если a — алгебраическое число , отличное от нуля или единицы, а b — иррациональное алгебраическое число, то ^б обязательно трансцендентный? Положительный ответ был дан в 1934 году теоремой Гельфонда-Шнайдера . Эта работа была расширена Аланом Бейкером в 1960-х годах в его работе по нижним оценкам линейных форм от любого числа логарифмов (алгебраических чисел).

Свойства

Трансцендентное число — это (возможно, комплексное) число, которое не является корнем какого-либо целого многочлена. Каждое действительное трансцендентное число должно быть также иррациональным , поскольку рациональное число является корнем целого многочлена первой степени . Множество трансцендентных чисел несчетно бесконечно . Поскольку многочлены с рациональными коэффициентами счетны и поскольку каждый такой многочлен имеет конечное число нулей , алгебраические числа также должны быть счетными. Однако диагональный аргумент Кантора доказывает, что действительные числа (а, следовательно, и комплексные числа ) неисчислимы. Поскольку действительные числа представляют собой объединение алгебраических и трансцендентных чисел, оба подмножества не могут быть счетными. Это делает трансцендентные числа неисчислимыми.

Ни одно рациональное число не является трансцендентным, и все реальные трансцендентные числа иррациональны. Иррациональные числа содержат все действительные трансцендентные числа и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональные числа и другие формы алгебраических иррациональных чисел.

Применение любой непостоянной алгебраической функции с одной переменной к трансцендентному аргументу дает трансцендентное значение. Например, зная, что число π трансцендентно, можно сразу сделать вывод, что такие числа, как $5\pi$, ${\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}$, $({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}$, и ${\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}$ также трансцендентальны.

Однако алгебраическая функция нескольких переменных может дать алгебраическое число при применении к трансцендентным числам, если эти числа не являются алгебраически независимыми . Например, π и (1 − π ) оба трансцендентны, но π + (1 − π ) = 1, очевидно, нет. Неизвестно ли e + π , например, является трансцендентным, хотя по крайней мере одно из e + π и eπ должно быть трансцендентным. В более общем смысле, для любых двух трансцендентных чисел a и b хотя бы одно из a + b и ab должно быть трансцендентным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим полином ( x − a )( x − b ) = x ² - ( а + б ) Икс + АБ . Если бы ( a + b ) и ab были алгебраическими, то это был бы многочлен с алгебраическими коэффициентами. Поскольку алгебраические числа образуют алгебраически замкнутое поле , это будет означать, что корни многочлена a и b должны быть алгебраическими. Но это противоречие, и, следовательно, должно быть так, что хотя бы один из коэффициентов является трансцендентным.

представляют Невычислимые числа собой строгое подмножество трансцендентных чисел.

Все числа Лиувилля трансцендентны, но не наоборот. Любое число Лиувилля должно иметь неограниченные частичные частные в разложении в непрерывную дробь . Используя счетный аргумент, можно показать, что существуют трансцендентные числа, которые имеют ограниченные частичные частные и, следовательно, не являются числами Лиувилля.

Используя явное разложение e в цепную дробь , можно показать, что e не является числом Лиувилля (хотя частичные отношения в его разложении в цепную дробь не ограничены). Курт Малер показал в 1953 году, что π также не является числом Лиувилля. Предполагается, что все бесконечные цепные дроби с ограниченными членами, имеющие «простую» структуру и не являющиеся в конечном итоге периодическими, трансцендентны. (другими словами, алгебраические иррациональные корни по крайней мере полиномов третьей степени не имеют очевидной закономерности в разложении их цепных дробей, поскольку в конечном итоге периодические цепные дроби соответствуют квадратичным иррациональным числам, см. проблему Эрмита ).

оказались

Числа оказались трансцендентными:

• и ^а если a и не равна алгебраична нулю (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса ).
• π (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса ).
• и ^п , постоянная Гельфонда , а также e ^{− π /2} = я ^я (по теореме Гельфонда–Шнайдера ).
• а ^б где a алгебраическое, но не 0 или 1, а b иррациональное алгебраическое (по теореме Гельфонда – Шнайдера), в частности:

$2^{\sqrt {2}}$, константа Гельфонда–Шнайдера (или число Гильберта)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a и cot a и их гиперболические аналоги для любого ненулевого алгебраического числа a , выраженного в радианах (по теореме Линдеманна-Вейерштрасса).
• Неподвижная точка косинуса (также называемая числом Дотти d ) – единственное вещественное решение уравнения cos x = x , где x измеряется в радианах (по теореме Линдеманна–Вейерштрасса).
• ln a, если a алгебраична и не равна 0 или 1, для любой ветви функции логарифма (по теореме Линдеманна-Вейерштрасса), в частности: универсальная параболическая константа .
• log _b a, если a и b - целые положительные числа, не обе степени одного и того же целого числа, и a не равно 1 (по теореме Гельфонда – Шнайдера).
• Ненулевые результаты arcsin a , arccos a , arctan a , arccsc a , arcsec a , arccot ​​a и их гиперболических аналогов для любого алгебраического числа a (по теореме Линдеманна-Вейерштрасса).
• Функция Бесселя первого рода J _ν ( x ) , ее первая производная и частное ${\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}$ трансцендентны, когда ν рационально, а x алгебраичен и ненулевой, и все ненулевые корни J _ν (x) и J ' _ν (x) трансцендентны, когда ν рационально.
• W ( a ), если a алгебраическое и ненулевое значение, для любой ветви W-функции Ламберта (по теореме Линдеманна – Вейерштрасса), в частности: Ω омега -константа
• W ( r , a ), если и a , и порядок r алгебраические такие, что $a\neq 0$, для любой ветви обобщенной функции Ламберта W.
• √ x _s квадратный суперкорень любого натурального числа является либо целым, либо трансцендентным (по теореме Гельфонда – Шнайдера)
• $\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)\$, $\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)\$, и $\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{6}}\right)\$. Числа $\ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {2}{3}}\right)\ ,$ $\ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {3}{4}}\right)\ ,$ и $\ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {5}{6}}\right)\$ также известны как трансцендентальные. Числа $\ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}\$ и $\ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\$ также трансцендентальны.
• Значения бета-функции Эйлера $\mathrm {B} (a,b)$ (в котором a , b и $a+b$ являются нецелыми рациональными числами).
• 0,64341054629 ... , константа Каэна .
• $\pi +\ln(2)+{\sqrt {2}}\ln(3)$. В общем случае все числа вида $\pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})$ трансцендентны, где $\beta _{j}$ являются алгебраическими для всех $1\leq j\leq n$ и $a_{j}$ ненулевые алгебраические для всех $1\leq j\leq n$ (по теореме Бейкера ).
• Константы Чамперноуна — иррациональные числа, образованные путем объединения представлений всех положительных целых чисел.
• Ω , константа Чайтина (поскольку это невычислимое число).
• Верхний предел последовательностей Спеккера (поскольку они являются невычислимыми числами).
• Так называемые константы Фредгольма, такие как

  $\sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots$

что также справедливо при замене 10 на любое алгебраическое число b > 1 .

• ${\frac {\arctan(x)}{\pi }}$ , для рационального числа x такого, что $x\notin \{0,\pm {1}\}$.
• Значения цепной дроби Роджерса-Рамануджана $R(q)$ где ${q}\in \mathbb {C}$ является алгебраическим и $0<|q|<1$. Лемнискатические значения тета-функции $\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$ (при тех же условиях для ${q}$) также трансцендентны.
• j ( q ) где ${q}\in \mathbb {C}$ является алгебраическим, но не мнимым квадратичным (т. е. исключительным множеством этой функции является числовое поле, степень расширения которого по $\mathbb {Q}$ это 2).
• Значения бесконечного ряда с быстрой скоростью сходимости , определенные Ю. Гао и Дж. Гао, такие как $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}$.
• Действительная константа в определении постоянной Ван дер Корпута, включающей интегралы Френеля .
• Действительная константа в определении константы Золотарева-Шура, включающая полные эллиптические целые функции .
• Константа Гаусса и связанная с ней константа лемнискаты .
• Любое число формы $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}$ (где $E_{n}(z)$, $F_{n}(z)$ являются полиномами от переменных $n$ и $z$, $\beta$ является алгебраическим и $\beta \neq 0$, $r$ любое целое число больше 1).
• Искусственно построенные непериодические числа .
• Константа Роббинса в трехмерной задаче выбора линии .
• Вышеупомянутая константа Лиувилля для любого алгебраического b ∈ (0, 1) .
• Сумма обратных экспоненциальных факториалов .
• Константа Пруэ –Туэ–Морса. и соответствующая константа кролика.
• Константа Коморника –Лорети .
• Любое число, цифры которого относительно некоторого фиксированного основания образуют слово Штурма .
• Константа складывания бумаги (также называемая «гауссовским числом Лиувилля»).
• Построены иррациональные числа, которые не являются нормальными ни в одной системе счисления.
• Для β > 1

$\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };$

где $\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor$ это функция пола .

• 3.300330000000000330033... и обратное ему число 0,30300000303..., два числа только с двумя разными десятичными цифрами, чьи ненулевые позиции цифр задаются последовательностью Мозера-де Брейна и ее двойником.
• Число ${\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma$, где Y _α ( x ) и J _α ( x ) — функции Бесселя, а γ — константа Эйлера–Машерони .
• Нестеренко доказал в 1996 году, что $\pi ,e^{\pi }$ и $\Gamma (1/4)$ алгебраически независимы. Это приводит к трансцендентности постоянной Вейерштрасса и число $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}-1}}$.

числа

Числа, трансцендентность или алгебраичность которых еще предстоит доказать:

• Большинство сумм, произведений, степеней и т. д. числа π и числа e , например eπ , e + π , π − e , π / e , π. ^п , и ^и , п ^и , п ^{√ 2} , и ^{п 2} неизвестно, являются ли они рациональными, алгебраически иррациональными или трансцендентными. Заметным исключением является e ^{π √ n} (для любого положительного целого числа n ), трансцендентность которого доказана. Хотя бы одно из чисел e ^и и е ^{и 2} является трансцендентальным, согласно У. Д. Браунуэллу (1974). Было показано, что как e + π, так и π / e не удовлетворяют никакому полиномиальному уравнению степени $\leq 8$ и целые коэффициенты средней величины 10 ⁹ .
• Константа Эйлера -Машерони γ : в 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарада нашли бесконечный список чисел, содержащий γ / 4 такие, что все, кроме не более чем одного, трансцендентны. В 2012 году было показано, что по крайней мере одно из γ и постоянной Эйлера–Гомпертца δ является трансцендентным.
• Константа Апери ζ (3) (иррациональность которой доказал Апери ).
• Обратная константа Фибоначчи и обратная константа Люка. (оба из которых оказались иррациональными).
• Константа Каталана и значения бета-функции Дирихле в других четных целых числах, β (4) , β (6) , ... (даже не доказано, что они иррациональны).
• Постоянная Хинчина также не доказала свою иррациональность.
• Дзета -функция Римана для других нечетных положительных целых чисел, ζ (5) , ζ (7) , ... (иррациональность не доказана).
• δ Константы Фейгенбаума и α также не оказались иррациональными.
• Константа Миллса и константа простых чисел-близнецов (также не доказано, что они иррациональны).
• Второе и последующие собственные значения оператора Гаусса-Кузьмина-Вирсинга также не доказали свою иррациональность.
• Константа Коупленда -Эрдёша , образованная путем объединения десятичных представлений простых чисел.
• Относительная плотность правильных простых чисел : в 1964 году Сигел предположил, что ее значение равно $e^{-1/2}$.
• $\Gamma (1/5)$ не было доказано, что оно иррационально.
• Различные константы, значение которых не известно с высокой точностью, такие как константа Ландау и константа Гротендика .

Связанные предположения:

• Гипотеза Шануэля .
• Гипотеза о четырех экспонентах .

Доказательства для конкретных чисел

Доказательство e трансцендентно

Первое доказательство того, что основание натуральных логарифмов e является трансцендентным, датируется 1873 годом. Теперь мы будем следовать стратегии Дэвида Гильберта (1862–1943), который дал упрощение оригинального доказательства Чарльза Эрмита . Идея заключается в следующем:

Предположим, с целью найти противоречие , что e алгебраично. Тогда существует конечный набор целых коэффициентов c ₀ , c ₁ , ..., c _n, удовлетворяющий уравнению:

$$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.$$

Трудно использовать целочисленный статус этих коэффициентов при умножении на степень иррационального e , но мы можем объединить эти степени в интеграл, который «в основном» будет принимать целые значения. Для положительного целого числа k определите полином

$$f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$$

и умножим обе части приведенного выше уравнения на

$$\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,$$

чтобы прийти к уравнению:

$$c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.$$

Разделив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде

$$P+Q=0$$

где

$${\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}$$

Здесь P окажется целым числом, но, что более важно, оно быстро растет с ростом k .

Лемма 1

Существуют сколь угодно большие k такие, что $\ {\tfrac {P}{k!}}\$ является ненулевым целым числом.

Доказательство. Напомним стандартный интеграл (случай Гамма-функции )

$$\int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!$$

действительно для любого натурального числа $j$. В более общем смысле,

если $g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}$ затем $\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!$.

Это позволило бы нам вычислить $P$ именно, потому что любой член $P$ можно переписать как

$$c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t$$

путем замены переменных . Следовательно

$$P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t$$

Эта последняя сумма является полиномом от $t$ с целыми коэффициентами, т. е. представляет собой линейную комбинацию степеней $t^{j}$ с целыми коэффициентами. Отсюда число $P$ представляет собой линейную комбинацию (с теми же целыми коэффициентами) факториалов $j!$; в частности $P$ является целым числом.

Меньшие факториалы делят большие факториалы, поэтому наименьший $j!$ происходящие в этой линейной комбинации, также разделят все $P$. Мы понимаем это $j!$ с самой низкой мощности $t^{j}$ термин, появляющийся с ненулевым коэффициентом в $\textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)$, но этот наименьший показатель $j$ также кратность является $t=0$ как корень этого многочлена. $f_{k}(x)$ выбран так, чтобы иметь кратность $k$ корня $x=0$ и множественность $k+1$ корней $x=a$ для $a=1,\dots ,n$, так что наименьший показатель степени равен $t^{k}$ для $f_{k}(t)$ и $t^{k+1}$ для $f_{k}(t+a)$ с $a>0$. Поэтому $k!$ делит $P$.

Чтобы установить последнее утверждение леммы, следует, что $P$ не равно нулю, достаточно доказать, что $k+1$ не делит $P$. Для этого позвольте $k+1$ быть любым простым числом, большим, чем $n$ и $|c_{0}|$. Мы знаем из вышесказанного, что $(k+1)!$ делит каждый из $\textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t$ для $1\leqslant a\leqslant n$, поэтому, в частности, все они делятся на $k+1$. Это сводится к первому сроку $\textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t$. У нас есть (см. падающие и растущие факториалы )

$$f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}$$

и все эти члены более высокой степени приводят к факториалам $(k+1)!$ или больше. Следовательно

$$P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}$$

Эта правая часть представляет собой произведение ненулевых целых множителей, меньших простого числа. $k+1$, следовательно, это произведение не делится на $k+1$, и то же самое справедливо для $P$; в частности $P$ не может быть нулевым.

Лемма 2

При достаточно k большом $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$.

Доказательство. Обратите внимание, что

$${\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}$$

где u ( x ), v ( x ) являются непрерывными функциями x для всех x , поэтому ограничены на интервале [0, n ] . То есть существуют константы G , H > 0 такие, что

$$\ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.$$

Таким образом, каждый из этих интегралов, составляющих Q , ограничен, причем худшим случаем является

$$\left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.$$

Теперь можно оценить сумму Q также :

$$|Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,$$

где M — константа, не зависящая от k . Отсюда следует, что

$$\ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,$$

завершая доказательство этой леммы.

Заключение

Выбор значения k, удовлетворяющего обеим леммам, приводит к ненулевому целому числу $\left({\tfrac {P}{k!}}\right)$ добавлено в исчезающе малое количество $\left({\tfrac {Q}{k!}}\right)$ быть равным нулю невозможно. Отсюда следует, что исходное предположение о том, что e может удовлетворять полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, также невозможно; то есть е трансцендентно.

Трансцендентность π

Похожая стратегия, отличная от число оригинального подхода Линдеманна, может быть использована, чтобы показать, что π трансцендентно . Помимо гамма-функции и некоторых оценок, как в доказательстве для e , факты о симметричных полиномах важную роль в доказательстве играют .

Подробную информацию о доказательствах трансцендентности π и e см. в ссылках и внешних ссылках.

См. также

• Трансцендентная теория чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами.
• Трансцендентный элемент , обобщение трансцендентных чисел в абстрактной алгебре
• Теорема Гельфонда – Шнайдера
• Диофантово приближение
• Периоды — набор чисел (включая трансцендентные и алгебраические числа), которые могут быть определены интегральными уравнениями.

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 Простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Фракция Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Источники

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2005). «О сложности алгебраических чисел II. Цепные дроби». Акта Математика . 195 (1): 1–20. arXiv : math/0511677 . Бибкод : 2005math.....11677A . дои : 10.1007/BF02588048 . S2CID   15521751 .
• Аллуш, Ж.-П. [на французском языке] ; Шалит, Дж. (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-82332-6 . Збл   1086.11015 .
• Бейкер, А. (1990). Трансцендентная теория чисел (изд. в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-20461-3 . Збл   0297.10013 .
• Бланшар, Андре; Мендес Франс, Мишель (1982). «Симметрия и трансцендентность». Вестник математических наук . 106 (3): 325–335. МР   0680277 .
• Бурбаки, Н. (1994). Элементы истории математики . Спрингер. ISBN  9783540647676 – через Интернет-архив.
• Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-11169-0 . Збл   1260.11001 .
• Бургер, Эдвард Б.; Таббс, Роберт (2004). Сделать трансцендентность прозрачной. Интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел . Спрингер . ISBN  978-0-387-21444-3 . Збл   1092.11031 .
• Калуде, Кристиан С. (2002). Информация и случайность: алгоритмический взгляд . Тексты по теоретической информатике (2-е изд. и доп. изд.). Спрингер . ISBN  978-3-540-43466-5 . Збл   1055.68058 .
• Кантор, Г. (1874). «О свойстве воплощения всех действительных алгебраических чисел» . Дж. Рейн Анжью. Математика 77 : 258–262.
• Кантор, Г. (1878). «Вклад в теорию разнообразия» . Дж. Рейн Анжью. Математика 84 : 242–258.
• Чудновский, Г.В. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-1500-7 .
• Дэвисон, Дж. Лес; Шалит, Дж. О. (1991). «Цепные дроби некоторых чередующихся рядов». Ежемесячные журналы по математике . 111 (2): 119–126. дои : 10.1007/BF01332350 . S2CID   120003890 .
• Эрдеш, П .; Дадли, У. (1983). «Некоторые замечания и проблемы теории чисел, связанные с работами Эйлера» (PDF) . Журнал «Математика» . 56 (5): 292–298. CiteSeerX   10.1.1.210.6272 . дои : 10.2307/2690369 . JSTOR   2690369 .
• Гельфонд, А. (1960) [1956]. Трансцендентные и алгебраические числа (переиздание). Дувр.
• Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» . амер. Математика. Ежемесячно . 101 (9): 819–832. дои : 10.2307/2975129 . JSTOR   2975129 . Zbl   0827.01004 – через maa.org.
• Харди, GH (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 159. ИСБН  0-19-853171-0 .
• Хиггинс, Питер М. (2008). Числовая история . Книги Коперника. ISBN  978-1-84800-001-8 .
• Гильберт, Д. (1893). «О трансцендентности чисел е и $\pi$" . Mathematical Annals . 43 (2–3): 216–219. doi : 10.1007/BF01443645 . S2CID   179177945 .
• Кемпнер, Обри Дж. (1916). «О трансцендентных числах» . Труды Американского математического общества . 17 (4): 476–482. дои : 10.2307/1988833 . JSTOR   1988833 .
• Ламберт, Дж. Х. (1768). «Память о некоторых замечательных свойствах трансцендентных, круговых и логарифмических величин». Мемуары Королевской академии наук Берлина : 265–322.
• Лейбниц, Г.В .; Герхардт, Карл Иммануэль; Перц, Георг Генрих (1858). Математические сочинения Лейбница . Том 5. A. Asher & Co., стр. 97–98 - через Интернет-архив.
• ле Лионне, Ф. (1979). Замечательные цифры . Герман. ISBN  2-7056-1407-9 .
• ле Век, WJ (2002) [1956]. Темы теории чисел . Том. Я и II. Дувр. ISBN  978-0-486-42539-9 – через Интернет-архив.
• Лиувилл, Дж. (1851 г.). «Об очень обширных классах величин, значение которых не является ни алгебраическим, ни даже сводимым к алгебраическим иррациональным числам» (PDF) . Дж. Математика. Чистое приложение . 16 :133–142.
• Локстон, Дж. Х. (1988). «13. Автоматы и трансцендентность». В Бейкер, А. (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности . Издательство Кембриджского университета . стр. 215–228. ISBN  978-0-521-33545-4 . Збл   0656.10032 .
• Малер, К. (1929). «Арифметические свойства решений одного класса функциональных уравнений». Математика . 101 :342-366. дои : 10.1007/bf01454845 . ЖФМ   55.0115.01 . S2CID   120549929 .
• Малер, К. (1937). «Арифметические свойства класса десятичных дробей». Учеб. Конин. Недер. Академическая влажная. Сер. А (40): 421-428.
• Малер, К. (1976). Лекции по трансцендентным числам . Конспект лекций по математике. Том. 546. Спрингер . ISBN  978-3-540-07986-6 . Збл   0332.10019 .
• Натараджан, Сарадха [на французском языке] ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентной теории чисел . Издательство Спрингер . ISBN  978-981-15-4154-4 .
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, В .; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, А. (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Спрингер . ISBN  978-3-540-44141-0 . Збл   1014.11015 .
• Шалит, Дж. (15–26 июля 1996 г.). «Теория чисел и формальные языки». Хейхал , DA ; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, MC ; Одлыжко А.М. (ред.). Новые приложения теории чисел . Летняя программа IMA. Тома IMA по математике и ее приложениям. Том. 109. Миннеаполис, Миннесота: Springer (опубликовано в 1999 г.). стр. 547–570. ISBN  978-0-387-98824-5 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лиувилля» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля» . Математический мир .
• «Доказательство того, что е трансцендентно» . Planetmath.org .
• «Доказательство трансцендентности постоянной Лиувилля» . deanlmoore.com . Проверено 12 ноября 2018 г.
• Фрич, Р. (29 марта 1988 г.). Трансцендентность е в продвинутом курсе? [ Трансцендентность e на курсах повышения квалификации? ] (PDF) . В рамках 79-го ежегодного общего собрания Немецкой ассоциации содействия математическому и естественнонаучному образованию. Уроки математики и естественных наук (на немецком языке). Том 42. Киль, DE (опубликовано в 1989 г.). стр. 75–80 (презентация), 375–376 (ответы). Архивировано из оригинала (PDF) 16 июля 2011 г. - через Мюнхенский университет (mathematik.uni-muenchen.de). — Доказательство того, что е трансцендентно, на немецком языке.
• Fritsch, R. (2003). "Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π " (PDF) . Дифференциальная геометрия многообразий фигур (in German). 34 : 144–148. Archived from the original (PDF) on 2011-07-16 – via University of Munich (mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch).