Квадратный корень из 7

Квадратный корень из 7
Рациональность	иррациональный
Представительства
десятичный	2.64575 13110 64590 590..._10
Алгебраическая форма
Непрерывная дробь

Квадратный корень из 7 — это положительное действительное число , которое при умножении само на себя дает простое число 7 . Точнее, его называют главным квадратным корнем из 7 , чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в различных геометрических и теоретико-числовых контекстах. форме это можно обозначить В иронической как: ^[1]

{\sqrt {7}}\,,

и в показательной форме как:

7^{\frac {1}{2}}.

Это иррациональное алгебраическое число . Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного расширения :

2.64575 13110 64590 59050 16157 53639 26042 57102 59183 08245 01803 6833... . ^[2]

которое можно округлить до 2,646 с точностью около 99,99% (около 1 части из 10 000); то есть оно отличается от правильного значения примерно на 1/4000 . Приближение 127/48 равен знаменатель (≈ 2,645833...) лучше: несмотря на то, что всего 48, он отличается от правильного значения менее чем 1/12 000 . или менее одной части из 33 000

Опубликовано более миллиона десятичных цифр квадратного корня из семи. ^[3]

приближения Рациональные

Для извлечения приближений десятичных дробей к квадратным корням различными методами квадратный корень из 7 использовался в качестве примера или упражнения в учебниках на протяжении сотен лет. Показано разное количество цифр после запятой: 5 в 1773 году. ^[4] и 1852 г., ^[5] 3 в 1835 г., ^[6] 6 в 1808 году, ^[7] и 7 в 1797 г. ^[8]Извлечение методом Ньютона (приблизительно) было проиллюстрировано в 1922 году, в результате чего был сделан вывод, что оно составляет 2,646 «с точностью до тысячной». ^[9]

Для семейства хороших рациональных приближений квадратный корень из 7 можно выразить как непрерывную дробь

[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}.

(последовательность A010121 в OEIS )

Последовательные частичные оценки цепной дроби, называемые ее подходящими числами , приближаются ${\sqrt {7}}$ :

{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots

Их числители — 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257… (последовательность A041008 в OEIS ), а знаменатели — 1, 1. , 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,… (последовательность A041009 в OEIS ).

Каждая конвергенция представляет собой рациональное приближение наилучшее ${\sqrt {7}}$ ; другими словами, это ближе к ${\sqrt {7}}$ чем любое рациональное с меньшим знаменателем. Приблизительные десятичные эквиваленты улучшаются линейно (количество цифр пропорционально сходящемуся числу) со скоростью менее одной цифры за шаг:

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {8}{3}}=2.66\dots ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705...,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots

Каждая четвертая сходящаяся, начиная с $8/3 как,$ выраженное $x / y$ , удовлетворяет уравнению Пелла ^[10]

x^{2}-7y^{2}=1.

Когда ${\sqrt {7}}$ аппроксимируется вавилонским методом , начиная с $x 1 = 3$ и используя $x n +1 = 1/2 (х п + 7 / x n)$ , $n-я$ аппроксимация $x n$ равна $2 н$ -я подходящая дробь цепной дроби:

x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645751311064591...,\quad \dots

Все, кроме первого, удовлетворяют приведенному выше уравнению Пелла.

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для поиска корня, примененному к многочлену. $x^{2}-7$ . Обновление метода Ньютона, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),$ равно $(x_{n}+7/x_{n})/2$ когда $f(x)=x^{2}-7$ . Таким образом, метод сходится квадратично (количество точных десятичных цифр пропорционально квадрату количества ньютоновских или вавилонских шагов).

Геометрия [ править ]

В плоской геометрии квадратный корень из 7 можно построить с помощью последовательности динамических прямоугольников , то есть как наибольшую диагональ из показанных здесь прямоугольников. ^[11]^[12]^[13]

Минимальный охватывающий прямоугольник равностороннего треугольника с длиной ребра 2 имеет диагональ, равную квадратному корню из 7. ^[14]

Согласно теореме Пифагора и теореме Лежандра о трёх квадратах , ${\sqrt {7}}$ - это наименьший квадратный корень из натурального числа , который не может быть расстоянием между любыми двумя точками кубической целочисленной решетки (или, что то же самое, длиной пространственной диагонали прямоугольного кубоида с целыми длинами сторон). ${\sqrt {15}}$ это следующее наименьшее такое число. ^[15]

Вне математики [ править ]

На реверсе нынешней однодолларовой банкноты США «большая внутренняя коробка» имеет отношение длины к ширине, равное квадратному корню из 7, и диагональ 6,0 дюймов, что соответствует точности измерений. ^[16]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Дарби, Джон (1843). Практическая арифметика с примечаниями и демонстрациями основных правил… Лондон: Whittaker & Company. п. 172 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010465 (десятичное разложение квадратного корня из 7)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Роберт Немирофф; Джерри Боннелл (2008). Квадратный корень из 7 . Проверено 25 марта 2022 г. - через Gutenberg.org.
^ Юинг, Александр (1773). Институты арифметики: для использования в школах и академиях . Эдинбург: Т. Кэдделл. п. 104.
^ Рэй, Джозеф (1852). Алгебра Рэя, часть вторая: аналитический трактат, предназначенный для средних школ и академий, часть 2 . Цинциннати: Сарджент, Уилсон и Хинкль. п. 132 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Бейли, Эбенезер (1835). Первые уроки алгебры: простое введение в эту науку... Рассел, Шаттак и компания. стр. 212–213 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Томпсон, Джеймс (1808). Руководство для американского преподавателя: сборник арифметики. В шести частях . Олбани: Э. и Э. Хосфорд. п. 122 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Хоуни, Уильям (1797). Полный измеритель: или все искусство измерения. В двух частях. Часть I. Обучение десятичной арифметике... Часть II. Обучение измерению всех видов поверхностей и твердых тел... Тринадцатое издание. К которому добавлено приложение. 1. Измерения. 2. О землемерии . Лондон. стр. 59–60 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Джордж Вентворт; Дэвид Юджин Смит; Герберт Друри Харпер (1922). Основы практической математики . Джинн и компания. п. 113 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Конрад, Кейт. «Уравнение Пелла II» (PDF) . uconn.edu . Проверено 17 марта 2022 г.
^ Джей Хэмбидж (1920) [1920]. Динамическая симметрия: греческая ваза (перепечатка оригинального издания издательства Йельского университета). Уайтфиш, Монтана: Издательство Кессинджер. стр. 19–29 . ISBN 0-7661-7679-7 . Корневые прямоугольники динамической симметрии.
^ Матила Гика (1977). Геометрия искусства и жизни . Публикации Courier Dover. стр. 126–127 . ISBN 978-0-486-23542-4 .
^ Флетчер, Рэйчел (2013). Бесконечная мера: учимся проектировать в геометрической гармонии с искусством, архитектурой и природой . Издательство Джорджа Ф. Томпсона. ISBN 978-1-938086-02-1 .
^ Блэквелл, Уильям (1984). Геометрия в архитектуре . Пресса по ключевым учебным программам. п. 25. ISBN 978-1-55953-018-7 . Проверено 26 марта 2022 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005875» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ МакГрат, Кен (2002). Тайная геометрия доллара . АвторДом. стр. 47–49. ISBN 978-0-7596-1170-2 . Проверено 26 марта 2022 г.

[darby-1] Дарби, Джон (1843). Практическая арифметика с примечаниями и демонстрациями основных правил… Лондон: Whittaker & Company. п. 172 . Проверено 27 марта 2022 г.

[oeis-2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010465 (десятичное разложение квадратного корня из 7)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[million-3] Роберт Немирофф; Джерри Боннелл (2008). Квадратный корень из 7 . Проверено 25 марта 2022 г. - через Gutenberg.org.

[4] Юинг, Александр (1773). Институты арифметики: для использования в школах и академиях . Эдинбург: Т. Кэдделл. п. 104.

[5] Рэй, Джозеф (1852). Алгебра Рэя, часть вторая: аналитический трактат, предназначенный для средних школ и академий, часть 2 . Цинциннати: Сарджент, Уилсон и Хинкль. п. 132 . Проверено 27 марта 2022 г.

[bailey-6] Бейли, Эбенезер (1835). Первые уроки алгебры: простое введение в эту науку... Рассел, Шаттак и компания. стр. 212–213 . Проверено 27 марта 2022 г.

[thompson-7] Томпсон, Джеймс (1808). Руководство для американского преподавателя: сборник арифметики. В шести частях . Олбани: Э. и Э. Хосфорд. п. 122 . Проверено 27 марта 2022 г.

[hawney-8] Хоуни, Уильям (1797). Полный измеритель: или все искусство измерения. В двух частях. Часть I. Обучение десятичной арифметике... Часть II. Обучение измерению всех видов поверхностей и твердых тел... Тринадцатое издание. К которому добавлено приложение. 1. Измерения. 2. О землемерии . Лондон. стр. 59–60 . Проверено 27 марта 2022 г.

[wentworth-9] Джордж Вентворт; Дэвид Юджин Смит; Герберт Друри Харпер (1922). Основы практической математики . Джинн и компания. п. 113 . Проверено 27 марта 2022 г.

[conrad-10] Конрад, Кейт. «Уравнение Пелла II» (PDF) . uconn.edu . Проверено 17 марта 2022 г.

[hambidge-11] Джей Хэмбидж (1920) [1920]. Динамическая симметрия: греческая ваза (перепечатка оригинального издания издательства Йельского университета). Уайтфиш, Монтана: Издательство Кессинджер. стр. 19–29 . ISBN 0-7661-7679-7 . Корневые прямоугольники динамической симметрии.

[ghyka-12] Матила Гика (1977). Геометрия искусства и жизни . Публикации Courier Dover. стр. 126–127 . ISBN 978-0-486-23542-4 .

[fletcher-13] Флетчер, Рэйчел (2013). Бесконечная мера: учимся проектировать в геометрической гармонии с искусством, архитектурой и природой . Издательство Джорджа Ф. Томпсона. ISBN 978-1-938086-02-1 .

[blackwell-14] Блэквелл, Уильям (1984). Геометрия в архитектуре . Пресса по ключевым учебным программам. п. 25. ISBN 978-1-55953-018-7 . Проверено 26 марта 2022 г.

[15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005875» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[16] МакГрат, Кен (2002). Тайная геометрия доллара . АвторДом. стр. 47–49. ISBN 978-0-7596-1170-2 . Проверено 26 марта 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

приближения Рациональные ​ ​

Геометрия [ править ]

Вне математики [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

приближения Рациональные