постоянная Апери

постоянная Апери

Рациональность	иррациональный
Символ	г (3)
Представительства
Десятичный	1.20205 69031 59594 2854...

В математике представляет константа Апери собой сумму обратных величин положительных кубов . То есть оно определяется как число

${\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{aligned}}$

где ζ – дзета-функция Римана . Имеет приблизительную стоимость

ζ (3) ≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (последовательность A002117 в OEIS ).

Оно названо в честь Роже Апери , который доказал, что это иррациональное число .

второго и третьего порядка электрона Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в терминах гиромагнитного отношения с использованием квантовой электродинамики . Это также возникает при анализе случайных минимальных остовных деревьев. и в сочетании с гамма-функцией при решении некоторых интегралов, включающих показательные функции в частном, которые иногда появляются в физике, например, при оценке двумерного случая модели Дебая и закона Стефана-Больцмана .

Иррациональное число

Основная статья: теорема Апери

Нерешенная задача по математике :

Является ли константа Апери трансцендентной?

(еще нерешенные задачи по математике)

ζ (3) было названо константой Апери в честь французского математика Роже Апери , который в 1978 году доказал, что это иррациональное число . Этот результат известен как теорема Апери . Исходное доказательство сложно и трудно понять. а более простые доказательства были найдены позже.

Упрощенное доказательство иррациональности Бойкерса включает в себя аппроксимацию подынтегральной функции известного тройного интеграла для ζ (3) ,

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,$

полиномами Лежандра . В частности, статья ван дер Портена описывает этот подход, отмечая, что

$I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},$

где $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}$, $P_{n}(z)$ – полиномы Лежандра , а подпоследовательности $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ являются целыми или почти целыми числами .

До сих пор неизвестно, является ли константа Апери трансцендентной .

Представления серий

Классический

Помимо основной серии:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},$

Леонард Эйлер дал представление ряда:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)$

в 1772 году, который впоследствии несколько раз открывался заново.

Быстрая сходимость

Начиная с XIX века ряд математиков обнаружили ряды ускорения сходимости для вычисления десятичных знаков ζ (3) . С 1990-х годов этот поиск был сосредоточен на эффективных в вычислительном отношении рядах с быстрой скоростью сходимости (см. раздел « Известные цифры »).

Следующее представление серии было найдено А. А. Марковым в 1890 г.: вновь открыт Хьортнаесом в 1953 году. и вновь открыт и широко разрекламирован Apéry в 1979 году:

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 1,43 новых правильных десятичных знака на каждый член:

$\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,01 новых правильных десятичных знака на каждый термин:

$\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 5,04 новых правильных десятичных знака на каждый термин:

$\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.$

Он использовался для расчета константы Апери с несколькими миллионами правильных десятичных знаков.

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,92 новых правильных десятичных знака на каждый термин:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.$

Цифра за цифрой

В 1998 году Бродхерст предложил рядное представление, которое позволяет вычислять произвольные двоичные цифры и, таким образом, получать константу почти в линейном времени и логарифмическом пространстве .

Последовательность Туэ-Морса

Следующее изображение было найдено Тотом в 2022 году:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}$

где $(t_{n})_{n\geq 0}$ это $n^{\rm {th}}$ член последовательности Туэ-Морса . Фактически это частный случай следующей формулы (справедливой для всех $s$ с действительной частью больше, чем $1$):

$(2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).$

Другие

Следующее представление ряда было найдено Рамануджаном :

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.$

Следующее изображение серии было найдено Саймоном Плуффом в 1998 году:

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.$

Шривастава (2000) собрал множество рядов, сходящихся к постоянной Апери.

Интегральные представления

Существует множество интегральных представлений постоянной Апери. Некоторые из них простые, другие сложнее.

Простые формулы

Следующая формула следует непосредственно из интегрального определения дзета-функции:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx$

Более сложные формулы

Другие формулы включают

$\zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx$

и

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.$

Также,

${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}$

Связь с производными гамма-функции

$\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)$

также очень полезен для вывода различных интегральных представлений с помощью известных интегральных формул для гамма- и полигамма-функций .

Известные цифры

Число известных разрядов постоянной Апери ζ (3) резко возросло за последние десятилетия и сейчас составляет более 2 × 10. ¹² . Это связано как с ростом производительности компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр константы Апери ζ (3)

Дата	Десятичные цифры	Расчет выполнен
1735	16	Леонард Эйлер
Неизвестный	16	Адриан-Мари Лежандр
1887	32	Томас Джоаннес Стилтьес
1996	520 000	Грег Дж. Фи и Саймон Плауфф
1997	1 000 000	Бруно Хайбле и Томас Папаниколау
май 1997 г.	10 536 006	Патрик Демишель
февраль 1998 г.	14 000 074	Себастьян Веденивски
март 1998 г.	32 000 213	Себастьян Веденивски
июль 1998 г.	64 000 091	Себастьян Веденивски
декабрь 1998 г.	128 000 026	Себастьян Веденивски
сентябрь 2001 г.	200 001 000	Сигэру Кондо и Ксавье Гурдон
февраль 2002 г.	600 001 000	Сигэру Кондо и Ксавье Гурдон
февраль 2003 г.	1 000 000 000	Патрик Демишель и Ксавье Гурдон
апрель 2006 г.	10 000 000 000	Сигэру Кондо и Стив Пальяруло
21 января 2009 г.	15 510 000 000	Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан
15 февраля 2009 г.	31 026 000 000	Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан
17 сентября 2010 г.	100 000 001 000	Александр Дж. Йи
23 сентября 2013 г.	200 000 001 000	Роберт Дж. Сетти
7 августа 2015 г.	250 000 000 000	Рон Уоткинс
21 декабря 2015 г.	400 000 000 000	Расширенный Наг
13 августа 2017 г.	500 000 000 000	Рон Уоткинс
26 мая 2019 г.	1 000 000 000 000	Ян Катресс
26 июля 2020 г.	1 200 000 000 100	Сынмин Ким
22 декабря 2023 г.	2 020 569 031 595	Эндрю Сан

Взаимный

величина Обратная ζ N (3) (0,8319073725807... (последовательность A088453 в OEIS )) — это вероятность того, что любые три положительных целых числа , выбранных наугад, будут относительно простыми в том смысле, что, когда приближается к бесконечности, вероятность того, что три положительных целых числа меньше N, выбранных равномерно случайным образом, не будут иметь общий простой делитель, приближающийся к этому значению. (Вероятность для n положительных целых чисел равна 1/ ζ (n) . ) В том же смысле это вероятность того, что случайно выбранное положительное целое число не будет делиться без остатка на куб целого числа, большего единицы. (Вероятность отсутствия делимости в n-й степени равна 1/ ζ (n) . )

Расширение до ζ (2 n + 1)

Основная статья: Частные значения дзета-функции Римана

Многие люди пытались распространить доказательство Апери об иррациональности ζ (3) на другие значения дзета-функции с нечетными аргументами. Бесконечно многие числа ζ (2 n + 1) должны быть иррациональными, и хотя бы одно из чисел ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) и ζ (11) должно быть иррациональным.

См. также

• Дзета-функция Римана
• Базельская задача — ζ (2)
• Список сумм обратных величин

Ссылки

• Амдеберхан, Теодрос (1996), «Все быстрее и быстрее сходящиеся ряды для $\zeta (3)$« , The. J. Объединенный. , 3 (1) .
• Амдеберхан, Теодрос; Зейлбергер, Дорон (1997), «Гипергеометрическое рядное ускорение с помощью метода WZ» , Эл. Ж. Комбинат. , 4 (2), arXiv : math/9804121 , Bibcode : 1998math......4121A .
• Апери, Роджер (1979), «Иррациональность $\zeta 2$ И $\zeta 3$« , Звездочка , 61 :11–13 .
• Берндт, Брюс К. (1989), Записные книжки Рамануджана, Часть II , Springer .
• Бойкерс Ф. (1979), «Заметка об иррациональности $\zeta (2)$ и $\zeta (3)$», Bull. London Math. Soc. , 11 (3): 268–272, doi : 10.1112/blms/11.3.268 .
• Благоушин, Ярослав В. (2014), «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты», The Ramanujan Journal , 35 (1): 21–110, doi : 10.1007/s11139-013-9528- 5 , S2CID   120943474 .
• Бродхерст, DJ (1998), Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры числа. $\zeta (3)$ и $\zeta (5)$, arXiv : math.CA/9803067 .
• Эйлер, Леонард (1773), «Аналитические упражнения» (PDF) , Новые комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни), 17 : 173–204 , получено 18 мая 2008 г.
• Евграфов М.А.; Бежанов К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин М.И. (1969), Сборник задач теории аналитических функций , Москва: Наука .
• Фриз, AM (1985), «О значении случайной задачи минимального остовного дерева», Discrete Applied Mathematics , 10 (1): 47–56, doi : 10.1016/0166-218X(85)90058-7 , MR   0770868 .
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003), Константа Апери: $\zeta (3)$.
• Хьортнаес, ММ (август 1953 г.), Передача сериала $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)$ til et bestemt Integral, в Proc. 12-й Скандинавский математический конгресс , Лунд, Швеция: Скандинавское математическое общество, стр. 211–213 .
• Йенсен, Йохан Людвиг Уильям Вальдемар (1895), «Записка номер 245. Второй ответ. Замечания по поводу ответов мм. Франеля и Клюйвера», L'Intermédiaire des Mathématiciens , II : 346–347 .
• Марков А. А. (1890), «Память о превращении плохо сходящихся рядов в очень сходящиеся ряды», Mém. От акад. Имп. наук. Из Санкт-Петербурга , т.к. XXXVII, № 9: 18с .
• Мохаммед, Мохамуд (2005), «Бесконечные семейства ускоренных рядов для некоторых классических констант методом Маркова-ВЗ», Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science , 7 : 11–24, doi : 10.46298/dmtcs.342 .
• Моллин, Ричард А. (2009), Расширенная теория чисел с приложениями , Дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 220, ISBN  9781420083293 .
• Плуфф, Саймон (1998), Личности, вдохновленные «Записными книжками Рамануджана II» , заархивировано из оригинала г. 14 декабря 2002
• Ривоал, Танги (2000), «Дзета-функция Римана принимает бесконечное количество иррациональных значений с нечетными целыми числами», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 331 (4): 267–270, arXiv : math/ 0008051 , Бибкод : 2000CRASM.331..267R , doi : 10.1016/S0764-4442(00)01624-4 , S2CID   119678120 .
• Шривастава, Х.М. (декабрь 2000 г.), «Некоторые семейства быстро сходящихся серийных представлений для дзета-функций» (PDF) , Тайваньский журнал математики , 4 (4): 569–599, doi : 10.11650/twjm/1500407293 , OCLC   36978119 , получен 22 августа 2015 г.
• ван дер Портен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер упустил ... доказательство Апери иррациональности $\zeta (3)$ The Mathematical (PDF) , Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , S2CID   121589323 , заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
• Веденивский, Себастьян (2001), Саймон Плуфф (редактор), Значение Зеты (3) в 1 000 000 мест , Проект Гутенберг (Послание Саймону Плуффу, со всеми десятичными знаками, но более короткий текст, отредактированный Саймоном Плуффом).
• Веденивски, Себастьян (13 декабря 1998 г.), Значение Зеты (3) до 1 000 000 знаков (Сообщение Саймону Плуффу, с оригинальным текстом, но только с некоторыми десятичными знаками).
• Йи, Александр Дж. (2009), Большие вычисления .
• Йи, Александр Дж. (2017), Зета (3) - Константа Апери

• Наг, Дипанжан (2015), вычислил константу Апери до 400 000 000 000 цифр, мировой рекорд
• Зудилин, Вадим (2001), "Один из номеров $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, $\zeta (11)$ иррационально», Russ. Math. Surv. , 56 (4): 774–776, Bibcode : 2001RuMaS..56..774Z , doi : 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427 , S2CID   250734661 .
• Зудилин, Вадим (2002), Элементарное доказательство теоремы Апери , arXiv : math/0202159 , Bibcode : 2002math......2159Z .

Дальнейшее чтение

• Рамасвами, В. (1934), «Заметки о Римане». $\zeta$-функция», J. London Math. Soc. , 9 (3): 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 .
• Нахин, Пол Дж. (2021), В поисках дзета-3: самая загадочная нерешенная математическая задача в мире , Принстон: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-22759-7 , OCLC   1260168397

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Константа Апери» , MathWorld
• Константа Plouffe, Simon, Zeta(3) или Apéry на 2000 мест , заархивировано из оригинала 5 февраля 2008 г. , получено 29 июля 2005 г.
• Сетти, Роберт Дж. (2015), Константа Апери - Зета (3) - 200 миллиардов цифр , заархивировано из оригинала 08 октября 2013 г.

Эта статья включает в себя материалы из константы Apéry на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .