Суммирование

В математике суммирование это сложение последовательности чисел , ; называемой слагаемыми или слагаемыми – результатом является их сумма или сумма . Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции , векторы , матрицы , полиномы и, вообще, элементы любого типа математических объектов , над которыми операция определена , обозначаемая «+».

Суммы бесконечных последовательностей называются сериями . Они включают в себя концепцию предела и не рассматриваются в данной статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование $[1, 2, 4, 2]$ обозначается $1 + 2 + 4 + 2$ и приводит к 9, то есть $1 + 2 + 4 + 2 = 9$ . Поскольку сложение ассоциативно и коммутативно , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к самому этому элементу. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению дает 0.

Очень часто элементы последовательности определяются посредством регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел можно записать как $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 99 + 100$ . В противном случае суммирование обозначается с помощью обозначения Σ , где ${\textstyle \sum }$ — увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых $n$ натуральных чисел можно обозначить как ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) часто возникает проблема поиска выражений в замкнутой форме для результата. Например, ^[а]

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, некоторые из наиболее распространенных и элементарных из которых перечислены в оставшейся части этой статьи.

Обозначения [ править ]

Обозначение заглавной сигмы [ править ]

В математической записи используется символ, который компактно представляет сумму многих подобных терминов: символ суммирования , ${\textstyle \sum }$ , увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}

где $i$ — индекс суммирования ; $a i$ — индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; $m$ — нижняя граница суммирования , а $n$ — верхняя граница суммирования . « $i = m$ » под символом суммирования означает, что индекс $i$ изначально равен $m$ . Индекс $i$ увеличивается на единицу для каждого последующего термина и останавливается, когда $i = n$ . ^[б]

Это читается как «сумма $a i$ от $i = m$ до $n$ ».

Вот пример, показывающий суммирование квадратов:

\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.

В общем, хотя в качестве индекса суммирования можно использовать любую переменную (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных из них включают такие буквы, как $i$ , ^[с] $j$ , $k$ , и $n$ ; последний также часто используется для верхней границы суммирования.

Альтернативно, индекс и границы суммирования иногда опускаются из определения суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно применимо, когда индекс изменяется от 1 до n . ^[1] Например, можно написать так:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.

Часто используются обобщения этого обозначения, в которых указывается произвольное логическое условие, а сумма предназначена для всех значений, удовлетворяющих этому условию. Например:

\sum _{0\leq k<100}f(k)

является альтернативным обозначением для ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ сумма $f(k)$ по всем ( целые числа ) $k$ в указанном диапазоне. Сходным образом,

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)

это сумма $f(x)$ над всеми элементами $x$ в наборе $S$ , и

\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)

это сумма $\mu (d)$ по всем положительным целым числам $d$ разделяющий $n$ . ^[д]

Есть также способы обобщить использование многих знаков сигмы. Например,

\sum _{i,j}

такой же как

\sum _{i}\sum _{j}.

Аналогичное обозначение используется для произведения последовательности , где ${\textstyle \prod }$ , увеличенная форма греческой заглавной буквы «пи» , используется вместо ${\textstyle \sum .}$

Особые случаи [ править ]

Можно суммировать менее двух чисел:

Если суммирование имеет одно слагаемое $x$ , то оцененная сумма равна $x$ .
Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нулю , поскольку ноль является единицей сложения. Это известно как пустая сумма .

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в особом случае. Например, если $n=m$ в приведенном выше определении сумма содержит только одно слагаемое; если $n=m-1$ , то его нет.

Формальное определение [ править ]

Суммирование можно определить рекурсивно следующим образом:

\sum _{i=a}^{b}g(i)=0

, для

b<a

;

\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)

, для

b\geqslant a

.

теории Обозначение меры

В обозначениях теории меры и интегрирования сумму можно выразить в виде определенного интеграла ,

\sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu

где $[a,b]$ является подмножеством целых чисел из $a$ к $b$ , и где $\mu$ является счетной мерой целых чисел.

Исчисление разностей конечных

Учитывая функцию $f$ , которая определена над целыми числами в интервале $[m, n]$ , выполняется следующее уравнение:

f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).

Это известно как телескопический ряд и является аналогом фундаментальной теоремы исчисления конечных разностей , которая гласит, что:

f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,

где

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

является производной от $f$ .

Примером применения приведенного выше уравнения является следующее:

n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).

Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:

n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.

Приведенная выше формула чаще используется для обращения разностного оператора. $\Delta$ , определяется:

\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),

где $f$ — функция, определенная для целых неотрицательных чисел. Таким образом, для такой функции $f$ проблема состоит в том, чтобы вычислить f , $антиразность$ функции $F=\Delta ^{-1}f$ такой, что $\Delta F=f$ . То есть, $F(n+1)-F(n)=f(n).$ Эта функция определена с точностью до добавления константы и может быть выбрана как ^[2]

F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).

не всегда существует выражение в замкнутой форме Для такого суммирования , но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда $f(n)=n^{k}$ и, по линейности , для любой полиномиальной функции от $n$ .

Приближение определенными интегралами [ править ]

Многие такие приближения можно получить с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая справедлива для любой возрастающей функции f :

\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.

и для любой убывающей функции f :

\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.

Для более общих приближений см. формулу Эйлера-Маклорена .

Для суммирования, в которых слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, что, например,

{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,

поскольку правая часть по определению является пределом для $n\to \infty$ левой стороны. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далекой от интеграла Римана.

Личности [ править ]

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .

Общие личности [ править ]

\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad

( дистрибутивность ) ^[3]

\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad

( коммутативность и ассоциативность ) ^[3]

\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad

(индексный сдвиг)

\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad

для биекции

σ

из конечного множества

A

на множество

B

(замена индекса); это обобщает предыдущую формулу.

\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad

(разделение суммы с использованием ассоциативности )

\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad

(вариант предыдущей формулы)

\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad

(сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)

\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad

(частный случай формулы выше)

\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad

(опять же коммутативность и ассоциативность)

\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad

(еще одно применение коммутативности и ассоциативности)

\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad

(разбиение суммы на нечетную и четную части, для четных индексов)

\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad

(разделение суммы на нечетную и четную части для нечетных индексов)

{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad

( дистрибутивность )

\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad

(дистрибутивность допускает факторизацию)

\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad

( логарифм произведения – это сумма логарифмов множителей)

C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad

( экспонента суммы равна произведению экспоненты слагаемых)

\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad

для любой функции

{\textstyle f}

от

{\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }

.

Степени и логарифмы арифметических прогрессий [ править ]

\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad

для любого

c

, не зависящего от

i

\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad

(Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел.) ^[2]^: 52

\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad

(Сумма первых нечетных натуральных чисел)

\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad

(Сумма первых четных натуральных чисел)

\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad

(Сумма логарифмов есть логарифм произведения)

\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad

(Сумму первых квадратов см. квадратное пирамидальное число .) ^[2]^: 52

\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad

( теорема Никомахея ) ^[2]^: 52

В более общем плане имеется формула Фаульхабера для $p>1$

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},

где $B_{k}$ обозначает число Бернулли и ${\binom {p}{k}}$ является биномиальным коэффициентом .

Индекс суммирования в показателях [ править ]

В следующих суммированиях предполагается, $что a$ отличается от 1.

\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}

(сумма геометрической прогрессии )

\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}

(частный случай для

a = 1/2

)

\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}

(

a

, умноженная на производную по

a

геометрической прогрессии)

{\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}

(сумма арифметико -геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы [ править ]

Существует очень много тождеств суммирования с биномиальными коэффициентами (целая глава «Конкретной математики» посвящена только основным приемам). Некоторые из наиболее основных из них следующие.

биномиальной теоремы Использование

\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},

биномиальная теорема

\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},

частный случай, когда

a = b = 1

\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1

, частный случай, когда

p = a = 1 - b

, который для

0\leq p\leq 1,

выражает сумму биномиального распределения

\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),

значение при

a = b = 1

производной теоремы по

a

биномиальной

\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},

значение при

a = b 1

первообразной = по

a

биномиальной теоремы

Использование чисел перестановок [ править ]

В следующих обобщениях ${}_{n}P_{k}$ — количество $k$ -перестановок $n$ .

\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})

\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}

\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}

, где и

\lfloor x\rfloor

обозначает функцию пола .

Другие [ править ]

\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}

\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}

\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1

\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}

\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}

\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}

Гармонические числа [ править ]

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad

(

номер n

-й гармоники )

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad

( обобщенный номер гармоники )

Темпы роста

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-нотации ):

\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})

для реального c больше -1

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)

(См. номер гармоники )

\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})

на самом деле c больше 1

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})

для неотрицательного действительного c

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})

для неотрицательных действительных c , d

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})

для неотрицательного действительного b > 1, c , d

История [ править ]

В 1675 году Готфрид Вильгельм Лейбниц в письме Генриху Ольденбургу предлагает использовать символ ∫ для обозначения суммы дифференциалов ( лат . Calculus summatorius ), отсюда и S-образная форма. ^[4]^[5]^[6] Переименование этого символа в интеграл возникло позднее в беседах с Иоганном Бернулли . ^[6]
В 1755 году символ суммирования Σ засвидетельствован в книге Леонарда Эйлера « Институты дифференциального исчисления» . ^[7]^[8] Эйлер использует этот символ в таких выражениях, как:

\Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}

В 1772 году использование Σ и Σ ^н подтверждает Лагранж . ^[7]^[9]
В 1823 году заглавная буква S была признана символом суммирования серий. Это использование, по-видимому, было широко распространено. ^[7]
В 1829 году символ суммирования Σ засвидетельствован Фурье и К.Г. Якоби . ^[7] Использование Фурье включает в себя нижнюю и верхнюю границы, например: ^[10]^[11]

\sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots

См. также [ править ]

Обозначение заглавной буквы «пи»
Обозначение Эйнштейна
Кронштейн Айверсона
Итерированная бинарная операция
Алгоритм суммирования Кахана
Продукт (математика)
Суммирование по частям
∑ одиночный символ суммирования (U+2211 N-ARY SUMMATION )
⎲ начало парного глифа (U+23B2 SUMMATION TOP )
⎳ конец парного глифа (U+23B3 СУММАЦИЯ НИЖНЯЯ )

Примечания [ править ]

^ Подробности см. в разделе Треугольное число .
^ Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Суммы» Конкретная математика: фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 978-0201558029 .
^ в контекстах, где нет возможности путаницы с воображаемой единицей $i$
^ Хотя имя фиктивной переменной не имеет значения (по определению), обычно используются буквы из середины алфавита ( $i$ через $q$ ) для обозначения целых чисел, если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться несколько запутанным вид $x$ вместо $k$ в приведенных выше формулах, включающих $k$ .

Ссылки [ править ]

^ «Суммирующая запись» . www.columbia.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Справочник по дискретной и комбинаторной математике , Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Исчисление I — обозначение суммирования» . учебник.math.lamar.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Бертон, Дэвид М. (2011). История математики: Введение (7-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 414. ИСБН 978-0-07-338315-6 .
^ Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1899). Герхардт, Карл Иммануэль (ред.). Переписка Готфрида Вильгельма Лейбница с математиками. Первый том . Берлин: Майер и Мюллер. п. 154 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Каджори (1929) , стр. 181-182 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каджори (1929) , с. 61 .
^ Эйлер, Леонард (1755). Учреждения дифференциального исчисления (на латыни). Петрополис п. 27 .
^ Лагранж, Жозеф-Луи (1867–1892). Работы Лагранжа. Том 3 (на французском языке). Париж. п. 451 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Мемуары Королевской академии наук Института Франции за 1825 год, том VIII (на французском языке). Пэрис: Дидо. 1829.стр. 581-622 .
^ Фурье, Жан-Батист Жозеф (1888–1890). Работы Фурье. Том 2 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 149 .

Библиография [ править ]

Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II . Издательство «Открытый суд». ISBN 978-0-486-67766-8 .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с суммированием, на Викискладе?

[1] Подробности см. в разделе Треугольное число .

[2] Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Суммы» Конкретная математика: фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 978-0201558029 .

[3] в контекстах, где нет возможности путаницы с воображаемой единицей $i$

[5] Хотя имя фиктивной переменной не имеет значения (по определению), обычно используются буквы из середины алфавита ( $i$ через $q$ ) для обозначения целых чисел, если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться несколько запутанным вид $x$ вместо $k$ в приведенных выше формулах, включающих $k$ .

[4] «Суммирующая запись» . www.columbia.edu . Проверено 16 августа 2020 г.

[CRC-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Справочник по дискретной и комбинаторной математике , Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 .

[:0-7] Перейти обратно: ^а ^б «Исчисление I — обозначение суммирования» . учебник.math.lamar.edu . Проверено 16 августа 2020 г.

[8] Бертон, Дэвид М. (2011). История математики: Введение (7-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 414. ИСБН 978-0-07-338315-6 .

[9] Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1899). Герхардт, Карл Иммануэль (ред.). Переписка Готфрида Вильгельма Лейбница с математиками. Первый том . Берлин: Майер и Мюллер. п. 154 .

[FOOTNOTECajori1929[httpsarchiveorgdetailsinernetdli201588254pagen203_181-182]-10] Перейти обратно: ^а ^б Каджори (1929) , стр. 181-182 .

[FOOTNOTECajori1929[httpsarchiveorgdetailsinernetdli201588254pagen83_61]-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каджори (1929) , с. 61 .

[12] Эйлер, Леонард (1755). Учреждения дифференциального исчисления (на латыни). Петрополис п. 27 .

[13] Лагранж, Жозеф-Луи (1867–1892). Работы Лагранжа. Том 3 (на французском языке). Париж. п. 451 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[14] Мемуары Королевской академии наук Института Франции за 1825 год, том VIII (на французском языке). Пэрис: Дидо. 1829.стр. 581-622 .

[15] Фурье, Жан-Батист Жозеф (1888–1890). Работы Фурье. Том 2 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 149 .

[а]

[б]

[с]

[1]

[д]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]