сумма Римана

Четыре метода аппроксимации площади под кривыми. Левый и правый методы выполняют аппроксимацию, используя правую и левую конечные точки каждого подинтервала соответственно. Верхний и нижний методы выполняют аппроксимацию, используя наибольшее и наименьшее значения конечной точки каждого подинтервала соответственно. Значения сумм сходятся по мере уменьшения подинтервалов пополам от верхнего левого угла к правому нижнему.

В математике сумма Римана — это своего рода приближение интеграла конечной суммой. Он назван в честь немецкого математика девятнадцатого века Бернхарда Римана . Одним из наиболее распространенных применений является численное интегрирование , то есть аппроксимация площади функций или линий на графике, где это также известно как правило прямоугольника . Его также можно применять для аппроксимации длины кривых и других приближений.

Сумма рассчитывается путем разделения области на фигуры ( прямоугольники , трапеции , параболы или кубы — иногда бесконечно малые), которые вместе образуют область, аналогичную измеряемой области, затем вычисляется площадь для каждой из этих фигур и, наконец, сложив все эти небольшие области вместе. Этот подход можно использовать для нахождения численного приближения для определенного интеграла, даже если фундаментальная теорема исчисления не позволяет легко найти решение в замкнутой форме .

Поскольку область с небольшими фигурами обычно не имеет точно такой же формы, как измеряемая область, сумма Римана будет отличаться от измеряемой площади. Эту ошибку можно уменьшить, разделив область более мелко, используя все меньшие и меньшие формы. По мере того как формы становятся все меньше и меньше, сумма приближается к интегралу Римана .

Определение

Позволять $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ быть функцией, определенной на замкнутом интервале $[a,b]$ действительных чисел, $\mathbb {R}$, и $P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ как раздел ​ $[a,b]$, то есть

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.$$

Сумма Римана $S$ из $f$ над $[a,b]$ с перегородкой $P$ определяется как

$$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},$$

где $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ и $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$. Можно получить разные суммы Римана в зависимости от того, какая из них $x_{i}^{*}$выбраны. В конце концов, это не будет иметь значения, если функция интегрируема по Риману , когда разность или ширина слагаемых $\Delta x_{i}$ приближается к нулю.

Виды сумм Римана

Конкретный выбор $x_{i}^{*}$ дайте различные типы сумм Римана:

• Если $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ для всех i метод является левым правилом и дает левую сумму Римана .
• Если $x_{i}^{*}=x_{i}$ для всех я метод является правильным правилом и дает правую сумму Римана .
• Если $x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2$ для всех i метод является правилом средней точки и дает среднюю сумму Римана .
• Если $f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])$ (то есть верхняя граница ${\textstyle f}$ над $[x_{i-1},x_{i}]$), метод является верхним правилом и дает верхнюю сумму Римана или верхнюю сумму Дарбу .
• Если $f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])$ (то есть нижняя грань f над $[x_{i-1},x_{i}]$), метод является нижним правилом и дает нижнюю сумму Римана или нижнюю сумму Дарбу .

Все эти методы суммирования Римана являются одними из самых основных способов численного интегрирования . Грубо говоря, функция является интегрируемой по Риману , если все суммы Римана сходятся по мере того, как разбиение «становится все тоньше и тоньше».

Хотя это и не выводится как сумма Римана, среднее значение левой и правой сумм Римана является правилом трапеций и дает трапециевидную сумму . Это один из самых простых и общих способов аппроксимации интегралов с использованием средневзвешенных значений. За этим по сложности следуют правило Симпсона и формулы Ньютона-Котеса .

Любая сумма Римана на данном разбиении (т. е. при любом выборе $x_{i}^{*}$ между $x_{i-1}$ и $x_{i}$) содержится между нижней и верхней суммами Дарбу. Это составляет основу интеграла Дарбу , который в конечном итоге эквивалентен интегралу Римана.

Методы

К четырем методам суммирования Римана обычно лучше всего подходят подинтервалы одинакового размера. Таким образом, интервал [ a , b ] делится на $n$ подинтервалы, каждый длиной

$$\Delta x={\frac {b-a}{n}}.$$

Тогда точки в разбиении будут

$$a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.$$

Левое правило

Левая сумма Римана x ↦ x ³ над [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для левого правила функция аппроксимируется своими значениями на левых концах подинтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Проделав это для i = 0, 1, ..., n − 1 и суммируя полученные площади, получим

$$S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].$$

Левая сумма Римана представляет собой завышение, если f на монотонно убывает этом интервале, и занижение, если оно монотонно возрастает .Ошибка этой формулы составит

$$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},$$

где $M_{1}$ является максимальным значением значения абсолютного $f^{\prime }(x)$ за интервал.

Правильное правило

Правая сумма Римана x ↦ x ³ над [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правого правила функция аппроксимируется своими значениями на правых концах подинтервалов. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ) . Выполнение этого для i = 1,..., n и суммирование полученных площадей дает

$$S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].$$

Правая сумма Римана приводит к занижению оценки, если f , монотонно убывает и к завышению, если она монотонно возрастает .Ошибка этой формулы составит

$$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},$$

где $M_{1}$ является максимальным значением значения абсолютного $f^{\prime }(x)$ за интервал.

Правило средней точки

Средняя сумма Римана x ↦ x ³ над [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правила средней точки функция аппроксимируется своими значениями в серединах подинтервалов. Это дает f ( a + Δ x /2) для первого подинтервала, f ( a + 3Δ x /2) для следующего и так далее до f ( b - Δ x /2) . Суммирование полученных площадей дает

$$S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].$$

Ошибка этой формулы составит

$$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},$$

где $M_{2}$ является максимальным значением значения абсолютного $f^{\prime \prime }(x)$ за интервал. Эта ошибка составляет половину ошибки трапецеидальной суммы; как таковая средняя сумма Римана является наиболее точным приближением к сумме Римана.

правило

Обобщенная формула правила средней точки, также известная как расширенная интеграция средней точки, имеет вид

$$\int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2M\right)^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.f^{(2n)}(x)\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,,$$

где $f^{(2n)}$ обозначает четную производную.

Для функции $g(t)$ определяется на интервале $(a,b)$, его интеграл

$$\int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.$$

Следовательно, мы можем применить эту обобщенную формулу интегрирования средней точки, предположив, что $f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)$. Эта формула особенно эффективна для численного интегрирования, когда подынтегральная функция $f(x)$ является сильно осциллирующей функцией.

Правило трапеции

Основная статья: Правило трапеции

Трапециевидная сумма x ↦ x ³ над [0, 2] с использованием 4 подинтервалов

Для правила трапеций функция аппроксимируется средним значением ее значений на левом и правом концах подинтервалов. Используя формулу площади ${\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})$ для трапеции с параллельными сторонами b ₁ и b ₂ и высотой h и суммирование полученных площадей дает

$$S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].$$

Ошибка этой формулы составит

$$\left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},$$

где $M_{2}$ является максимальным значением абсолютного значения $f''(x)$.

Аппроксимация, полученная с помощью трапециевидной суммы для функции, аналогична среднему значению левой и правой сумм этой функции.

Связь с интеграцией

Для одномерной суммы Римана по области $[a,b]$, поскольку максимальный размер подинтервала уменьшается до нуля (то есть предел нормы подинтервалов стремится к нулю), у некоторых функций все суммы Римана будут сходиться к одному и тому же значению. Это предельное значение, если оно существует, определяется как определенный интеграл Римана от функции по области определения:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.$$

Для области конечного размера, если максимальный размер подинтервала уменьшается до нуля, это означает, что количество подинтервалов стремится к бесконечности. Для конечных разбиений суммы Римана всегда являются приближениями к предельному значению, и это приближение становится лучше по мере того, как разбиение становится тоньше. Следующие анимации помогают продемонстрировать, как увеличение количества подинтервалов (при уменьшении максимального размера подинтервала) лучше аппроксимирует «площадь» под кривой:

• 
  Левая сумма Римана
• 
  Правильная сумма Римана
• 
  Средняя сумма Римана

Поскольку здесь предполагается, что красная функция является гладкой функцией , все три суммы Римана будут сходиться к одному и тому же значению, когда количество подинтервалов стремится к бесконечности.

Пример

Сравнение правой суммы Римана с интегралом от x ↦ x ² над ${\textstyle [0,2]}$.

Визуальное представление площади под кривой y = x ² над [0, 2]. Используя первообразные, эта область точно ${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

Аппроксимация площади под кривой y = x ² над [0, 2] с помощью правой суммы Римана. Обратите внимание: поскольку функция монотонно возрастает, правая сумма Римана всегда будет переоценивать площадь, вносимую каждым членом суммы (и делать это максимально).

Значение правой суммы Римана x ↦ x ² над ${\textstyle [0,2]}$. По мере увеличения количества прямоугольников оно приближается к точной площади ${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

Возьмем, к примеру, площадь под кривой y = x ² над [0, 2] можно вычислить процедурно с использованием метода Римана.

Интервал [0, 2] сначала делится на n подинтервалов, каждому из которых присваивается ширина ${\tfrac {2}{n}}$; это ширины прямоугольников Римана (далее «коробки»). Поскольку необходимо использовать правильную сумму Римана, последовательность координат x для ящиков будет следующей: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Следовательно, последовательность высот ящиков будет равна $x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}$. Важным фактом является то, что $x_{i}={\tfrac {2i}{n}}$, и $x_{n}=2$.

Площадь каждого ящика будет ${\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}$ и поэтому n -я правая сумма Римана будет равна:

$${\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}$$

Если рассматривать предел как n → ∞, можно сделать вывод, что аппроксимация приближается к фактическому значению площади под кривой по мере увеличения количества ящиков. Следовательно:

$$\lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.$$

Этот метод согласуется с определенным интегралом, рассчитанным более механическими способами:

$$\int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.$$

Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает на интервале, правая сумма Римана завышает интеграл на наибольшую величину (в то время как левая сумма Римана занижает интеграл на наибольшую величину). Этот факт, интуитивно понятный из диаграмм, показывает, как характер функции определяет точность оценки интеграла. Хотя простые суммы Римана справа и слева часто менее точны, чем более сложные методы оценки интеграла, такие как правило трапеций или правило Симпсона .

Пример функции имеет легко находимую первообразную, поэтому оценка интеграла по суммам Римана является в основном академическим упражнением; однако следует помнить, что не все функции имеют первообразные, поэтому оценка их интегралов путем суммирования практически важна.

Высшие измерения

Основная идея суммы Римана состоит в том, чтобы «разбить» область определения посредством разделения на части, умножить «размер» каждой части на некоторое значение, которое функция принимает для этой части, и суммировать все эти произведения. Это можно обобщить, чтобы разрешить суммы Римана для функций в областях более чем одного измерения.

Хотя интуитивно процесс разделения домена легко понять, технические детали того, как можно разделить домен, становятся намного сложнее, чем в одномерном случае, и включают аспекты геометрической формы домена.

Два измерения

В двух измерениях область $A$ можно разделить на несколько двумерных ячеек $A_{i}$ такой, что ${\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}}$. Тогда каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «область», обозначаемую $\Delta A_{i}$. Двумерная сумма Римана равна

$$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},$$

где $(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}$.

Три измерения

В трех измерениях область $V$ разделен на ряд трехмерных ячеек $V_{i}$ такой, что ${\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$. Тогда каждую ячейку можно интерпретировать как имеющую «объем», обозначаемый $\Delta V_{i}$. Трехмерная сумма Римана равна

$$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},$$

где $(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}$.

Произвольное количество измерений

Суммы Римана более высокой размерности следуют аналогичной схеме. -мерная сумма n Римана — это

$$S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},$$

где $P_{i}^{*}\in V_{i}$, то есть это точка в n -мерной ячейке $V_{i}$ с n -мерным объемом $\Delta V_{i}$.

Обобщение

В высокой общности суммы Римана можно записать

$$S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),$$

где $P_{i}^{*}$ обозначает любую произвольную точку, содержащуюся в множестве $V_{i}$ и $\mu$ является мерой базового множества. Грубо говоря, мера — это функция, которая определяет «размер» набора, в данном случае размер набора. $V_{i}$; в одном измерении это часто можно интерпретировать как длину, в двух измерениях - как площадь, в трех измерениях - как объем и так далее.

См. также

• Первообразная
• Метод Эйлера и метод средней точки , родственные методы решения дифференциальных уравнений
• Интеграция Лебега
• Интеграл Римана , предел сумм Римана, когда разбиение становится бесконечно точным
• Правило Симпсона — мощный численный метод, более мощный, чем основные суммы Римана или даже правило трапеций.
• Правило трапеций , численный метод, основанный на среднем значении левой и правой суммы Римана.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Римана» . Математический мир .
• Моделирование, показывающее сходимость сумм Римана