Функция Римана Си

Функция Римана xi $\xi (s)$ в комплексной плоскости . Цвет точки $s$ кодирует значение функции. значения Более темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент .

В математике является Xi-функция Римана вариантом дзета-функции Римана и определяется таким образом, чтобы иметь особенно простое функциональное уравнение . Функция названа в честь Бернхарда Римана .

Определение

Оригинальная строчная функция Римана «xi», $\xi$ был переименован с заглавной буквы $~\Xi ~$ ( Греческая буква «Си» ) Эдмунда Ландау . строчная буква Ландау $~\xi ~$ («xi») определяется как

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

для $s\in \mathbb {C}$. Здесь $\zeta (s)$ обозначает дзета-функцию Римана и $\Gamma (s)$ это гамма-функция .

Функциональное уравнение (или формула отражения ) для Ландау $~\xi ~$ является

$\xi (1-s)=\xi (s)~.$

Исходная функция Римана, переименованная в верхний регистр $~\Xi ~$ Ландау, удовлетворяет

$\Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)$,

и подчиняется функциональному уравнению

$\Xi (-z)=\Xi (z)~.$

Обе функции являются целыми и чисто вещественными для вещественных аргументов.

Ценности

Общая форма для положительных четных целых чисел:

$\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$

где B _n обозначает n- е число Бернулли . Например:

$\xi (2)={\frac {\pi }{6}}$

Представления серий

The $\xi$ функция имеет разложение в ряд

${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},$

где

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$

где сумма распространяется на ρ, нетривиальные нули дзета-функции, в порядке $|\Im (\rho )|$.

Это расширение играет особенно важную роль в критерии Ли , который утверждает, что гипотеза Римана эквивалентна наличию λ _n > 0 для всех положительных n .

Произведение Адамара

Простое продукта бесконечное расширение

$\xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!$

где ρ пробегает корни ξ.

Для обеспечения сходимости в разложении произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т. е. множители пары нулей вида ρ и 1−ρ должны быть сгруппированы вместе.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Xi-функция» . Математический мир .
• Кейпер, Дж. Б. (1992). «Разложение xi-функции Римана в степенной ряд» . Математика вычислений . 58 (198): 765–773. Бибкод : 1992MaCom..58..765K . дои : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

Эта статья включает в себя материал из функции Римана Ξ на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .