Вся функция

В комплексном анализе целая функция , также называемая интегральной функцией, представляет собой комплекснозначную функцию , голоморфную на всей комплексной плоскости . Типичными примерами целых функций являются полиномы и экспоненциальная функция , а также любые их конечные суммы, произведения и композиции, такие как тригонометрические функции синус и косинус и их гиперболические аналоги sinh и cosh , а также производные и интегралы целых функций, такие как функция ошибки . Если целая функция $f(z)$имеет корень в $w$, затем $f(z)/(z-w)$, принимая предельное значение при $w$, представляет собой целую функцию. С другой стороны, натуральный логарифм , обратная функция и квадратный корень не являются целыми функциями и не могут быть аналитически продолжены до целой функции.

Трансцендентная — это целая функция , целая функция не являющаяся полиномом.

Точно так же, как мероморфные функции можно рассматривать как обобщение рациональных дробей, целые функции можно рассматривать как обобщение многочленов. В частности, если для мероморфных функций можно обобщить факторизацию на простые дроби (теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции), то для целых функций существует обобщение факторизации — теорема Вейерштрасса о целых функциях.

Свойства

Каждая целая функция $\ f(z)\$ можно представить в виде одного степенного ряда

$$\ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\$$

сходящееся равномерно всюду на комплексной плоскости, а значит, на компактах . Радиус сходимости бесконечен, из чего следует, что

$$\ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\$$

или, что то же самое,

$$\ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.$$

Любой степенной ряд, удовлетворяющий этому критерию, будет представлять целую функцию.

Если (и только если) все коэффициенты степенного ряда действительны, то функция, очевидно, принимает действительные значения для реальных аргументов, а значение функции в комплексно-сопряженном виде $\ z\$ будет комплексно-сопряженным значением в $\ z~.$ Такие функции иногда называют самосопряженными (сопряженная функция, $\ F^{*}(z)\ ,$ дается $\ {\bar {F}}({\bar {z}})\$).

Если действительная часть целой функции известна в окрестности точки, то и действительная, и мнимая части известны для всей комплексной плоскости с точностью до мнимой константы. Например, если известна действительная часть в окрестности нуля, то мы можем найти коэффициенты для $n>0$ из следующих производных по действительной переменной $\ r\$:

$${\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}$$

(Аналогично, если мнимая часть известна в окрестности , то функция определяется с точностью до действительной константы.) Фактически, если действительная часть известна только на дуге окружности, то функция определяется с точностью до мнимой постоянный. } Однако заметим, что целая функция не на всех кривых определяется своей действительной частью. В частности, если действительная часть задана на любой кривой на комплексной плоскости, где действительная часть какой-либо другой целой функции равна нулю, то к функции, которую мы пытаемся определить, можно добавить любое кратное этой функции. Например, если кривая, действительная часть которой известна, является реальной линией, то мы можем добавить $\ i\$раз любую самосопряженную функцию. Если кривая образует петлю, то она определяется вещественной частью функции на петле, поскольку единственные функции, у которых действительная часть на кривой равна нулю, — это те, которые всюду равны некоторому мнимому числу.

Теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что любую целую функцию можно представить произведением, содержащим ее нули (или «корни»).

Целые функции на комплексной плоскости образуют область целостности (фактически область Прюфера ). Они также образуют коммутативную с единицей ассоциативную алгебру над комплексными числами .

Теорема Лиувилля утверждает, что любая ограниченная целая функция должна быть постоянной.

Как следствие теоремы Лиувилля, любая функция, целая на всей сфере Римана, является постоянным. Таким образом, любая непостоянная целая функция должна иметь особенность в комплексной точке на бесконечности : либо полюс для многочлена, либо существенную особенность для трансцендентной целой функции. В частности, по теореме Казорати – Вейерштрасса для любой трансцендентной целой функции $\ f\$ и любой комплекс $\ w\$ есть последовательность $\ (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }\$ такой, что

$\ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.$

Маленькая теорема Пикара представляет собой гораздо более сильный результат: любая непостоянная целая функция принимает в качестве значения каждое комплексное число, возможно, за одним исключением. Когда исключение существует, оно называется лакунарным значением функции. Возможность лакунарного значения иллюстрируется показательной функцией , которая никогда не принимает значение 0 . Можно взять подходящую ветвь логарифма целой функции, которая никогда не достигает 0 , так что это тоже будет целая функция (согласно факторизационной теореме Вейерштрасса ). Логарифм находит каждое комплексное число, за исключением, возможно, одного числа, а это означает, что первая функция будет достигать любого значения, отличного от 0, бесконечное количество раз. Аналогично, непостоянная целая функция, которая не достигает определенного значения, будет достигать любого другого значения бесконечное количество раз.

Теорема Лиувилля является частным случаем следующего утверждения:

Теорема — Предположим $\ M\ ,$ $\ R\$ являются положительными константами и $\ n\$является неотрицательным целым числом. Целая функция $f$ удовлетворяющее неравенству $\ |f(z)|\leq M|z|^{n}\$ для всех $\ z\$ с $\ |z|\geq R\ ,$ обязательно является многочленом степени не выше $\ n~.$ Аналогично, целая функция $\ f\$ удовлетворяющее неравенству $\ M|z|^{n}\leq |f(z)|\$ для всех $z$ с $\ |z|\geq R\ ,$ обязательно является многочленом степени не ниже $n$.

Рост

Целые функции могут расти так же быстро, как любая возрастающая функция: для любой возрастающей функции $g:[0,\infty )\to [0,\infty )$ существует целая функция $f$ такой, что $f(x)>g(|x|)$ для всех реально $x$. Такая функция $f$ можно легко найти в виде:

$$f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}$$

для постоянного $c$ и строго возрастающая последовательность натуральных чисел $n_{k}$. Любая такая последовательность определяет целую функцию $f(z)$, и если степени выбраны подходящим образом, мы можем удовлетворить неравенству $f(x)>g(|x|)$ для всех реально $x$. (Например, это, безусловно, справедливо, если кто-то выбирает $c:=g(2)$ и для любого целого числа $k\geq 1$ выбирают четную степень $n_{k}$ такой, что $\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)$).

Порядок и тип

Порядок (на бесконечности ) целой функции $f(z)$ определяется с использованием верхнего предела как:

$$\rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},$$

где $B_{r}$ это диск радиуса $r$ и $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ обозначает норму верхнюю $f(z)$ на $B_{r}$. Порядок представляет собой неотрицательное действительное число или бесконечность (кроме случаев, когда $f(z)=0$ для всех $z$. Другими словами, порядок $f(z)$ это нижняя грань всех $m$ такой, что:

$$f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .$$

Пример $f(z)=\exp(2z^{2})$ показывает, что это не означает $f(z)=O(\exp(|z|^{m}))$ если $f(z)$ в порядке $m$.

Если $0<\rho <\infty ,$ также можно определить тип :

$$\sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.$$

Если порядок равен 1 и тип $\sigma$, функция называется « экспоненциального типа ». $\sigma$". Если он имеет порядок меньше 1, то говорят, что он имеет экспоненциальный тип 0.

Если

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$$

тогда порядок и тип можно найти по формулам

$${\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}$$

Позволять $f^{(n)}$ обозначают $n$-я производная от $f$, то мы можем переформулировать эти формулы через производные в любой произвольной точке $z_{0}$:

$${\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}$$

Тип может быть бесконечным, как в случае обратной гамма-функции , или нулевым (см. пример ниже в разделе § Порядок 1 ).

Еще один способ узнать порядок и тип — теорема Мацаева .

Примеры

Вот несколько примеров функций разного порядка:

Заказать п

Для произвольных положительных чисел $\rho$ и $\sigma$ можно построить пример целой функции порядка $\rho$ и введите $\sigma$ с использованием:

$$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}$$

Заказ 0

• Ненулевые полиномы
• $\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}$

Заказ 1/4

$$f({\sqrt[{4}]{z}})$$

где

$$f(u)=\cos(u)+\cosh(u)$$

Заказ 1/3

$$f({\sqrt[{3}]{z}})$$

где

$$f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.$$

Заказ 1/2

$$\cos \left(a{\sqrt {z}}\right)$$

с $a\neq 0$ (для которого тип задается $\sigma =|a|$)

Заказ 1

• $\exp(az)$ с $a\neq 0$ ( $\sigma =|a|$)
• $\sin(z)$
• $\cosh(z)$
• обратная гамма-функция $1/\Gamma (z)$ ( $\sigma$ бесконечно)
• $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)$

Заказ 3/2

• Функция Эйри $Ai(z)$

Заказ 2

• $\exp(az^{2})$ с $a\neq 0$ ( $\sigma =|a|$)
• Барнса G-функция ( $\sigma$ бесконечен).

Порядок бесконечности

• $\exp(\exp(z))$

Пол

Целые функции конечного порядка имеют теорема каноническое представление Адамара ( факторизации Адамара ):

$$f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),$$

где $z_{k}$ это корни ​ $f$ это не ноль( $z_{k}\neq 0$), $m$ это порядок нуля $f$ в $z=0$ (дело $m=0$ воспринимается как означающее $f(0)\neq 0$), $P$ многочлен (степень которого мы будем называть $q$), и $p$ — наименьшее целое неотрицательное число такое, что ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}$$

сходится. Неотрицательное целое число $g=\max\{p,q\}$ называется родом всей функции $f$.

Если заказ $\rho$ не является целым числом, то $g=[\rho ]$ является целой частью $\rho$. Если порядок является положительным целым числом, то есть две возможности: $g=\rho -1$ или $g=\rho$.

Например, $\sin$, $\cos$ и $\exp$ являются целыми функциями рода $g=\rho =1$.

Другие примеры

По мнению Дж. Э. Литтлвуда , сигма-функция Вейерштрасса является «типичной» целой функцией. Это утверждение можно уточнить в теории случайных целых функций: асимптотическое поведение почти всех целых функций аналогично поведению сигма-функции. Другие примеры включают интегралы Френеля , тета-функцию Якоби и обратную гамма-функцию . Показательная функция и функция ошибок являются частными случаями функции Миттаг-Леффлера . Согласно фундаментальной теореме Пэли и Винера , преобразования Фурье функций (или распределений) с ограниченным носителем представляют собой целые функции порядка $1$ и конечного типа.

Другими примерами являются решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Если коэффициент при старшей производной постоянен, то все решения таких уравнений являются целыми функциями. Например, показательная функция, синус, косинус, функции Эйри и функции параболического цилиндра таким образом возникают . Класс целых функций замкнут относительно композиции. Это дает возможность изучать динамику целых функций .

Целая функция квадратного корня комплексного числа является целой, если исходная функция четная , например $\cos({\sqrt {z}})$.

Если последовательность многочленов, все корни которых вещественные, сходится в окрестности начала координат к пределу, не равному тождественно нулю, то этот предел является целой функцией. Такие целые функции образуют класс Лагерра–Пойа , который также можно охарактеризовать в терминах произведения Адамара, а именно: $f$ принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда в представлении Адамара все $z_{n}$ реальны, $\rho \leq 1$, и $P(z)=a+bz+cz^{2}$, где $b$ и $c$ реальны, и $c\leq 0$. Например, последовательность многочленов

$$\left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}$$

сходится, так как $n$ увеличивается, чтобы $\exp(-(z-d)^{2})$. Полиномы

$${\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)$$

имеют все действительные корни и сходятся к $\cos(z)$. Полиномы

$$\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)$$

также сходятся к $\cos(z)$, показывающий нарастание произведения Адамара для косинуса.

См. также

• Формула Дженсена
• Теорема Карлсона
• Экспоненциальный тип
• Теорема Пэли – Винера
• Теория Вимана-Валирона

Источники

• Боас, Ральф П. (1954). Целые функции . Академическая пресса . ISBN  9780080873138 . OCLC   847696 .
• Левин, Б.Я. (1980) [1964]. Распределение нулей целых функций . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4505-9 .
• Левин, Б.Я. (1996). Лекции по целым функциям . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0897-9 .