Теория Вимана-Валирона

Теория Вимана-Валирона — математическая теория, изобретенная Андерсом Виманом как инструмент для изучения поведенияпроизвольные целые функции . После работ Вимана теорию развивали другие математики.и распространен наболее общие классы аналитических функций. Основным результатом теории является асимптотическая формула для функциии ее производные вблизи точки достижения максимального модуля этой функции.

Максимальный срок и центральный индекс

По определению, всю функцию можно представить степенным рядом , сходящимся для всех комплексных чисел. $z$:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

Члены этого ряда стремятся к 0, так как $n\to \infty$, поэтому для каждого $z$ есть термин максимального модуля.Этот срок зависит от $r:=|z|$.Его модуль называется максимальным членом ряда:

$\mu (r,f)=\max _{k}|a_{k}|r^{k}=:|a_{n}|r^{n},\quad r\geq 0.$

Здесь $n$ – показатель степени, при котором достигается максимум; если имеется несколько максимальных членов, определим $n$ какнаибольший показатель из них. Этот номер $n$ зависит от $r$, оно обозначается $n(r,f)$и называется центральным индексом .

Позволять

$M(r,f)=\max\{|f(z)|:|z|\leq r\}$

быть максимальным модулем функции $f$. Из неравенства Коши следует, что $\mu (r,f)\leq M(r,f)$ для всех $r\geq 0$.Обратная оценка $M(r,f)\leq (\mu (r,f))^{1+\epsilon }$ впервые было доказано Борелем иболее точная оценка благодаря Виману читает

$M(r,f)\leq \mu (r,f)\left(\log \mu (r,f)\right)^{1/2+\epsilon },$

в том смысле, что для каждого $\epsilon >0$ существуют сколь угодно большие значения $r$ для чего этонеравенство имеет место. Фактически, Валирон показал, что приведенное выше соотношение справедливо для «большинства» значений $r$: исключительный набор $E$для которого оно не выполняется, имеет конечную логарифмическую меру:

$\int _{E}{\frac {dr}{r}}<\infty .$

Улучшение этого неравенства было предметом многочисленных исследований в 20 веке.

Основная асимптотическая формула

Следующий результат Вимана является фундаментальным для различных приложений: пусть $z_{r}$ быть точкой, для которой максимум вопределение $M(r,f)$ достигается; по принципу максимума мы имеем $|z_{r}|=r$. Оказываетсяэто $f(z)$ ведет себя вблизи точки $z_{r}$ как одночлен: существуют сколь угодно большие значения $r$ такая, что формула

$f(z)=(1+o(1))\left({\frac {z}{z_{r}}}\right)^{n(r,f)}f(z_{r}),$

держится на диске

$|z-z_{r}|<{\frac {r}{\left(n(r)\right)^{1/2+\epsilon }}}.$

Здесь $\epsilon >0$ — произвольное положительное число, а o(1) относится к $r\to \infty ,\;r\not \in E$,где $E$ представляет собой исключительный набор, описанный выше. Этот диск обычно называют диском Вимана-Валирона .

Приложения

Формула для $f(z)$ для $z$ около $z_{r}$ можно дифференцировать, поэтому мы имеем асимптотическое соотношение

$f^{(m)}(z)=(1+o(1))\left({\frac {n(r)}{z}}\right)^{m}\left({\frac {r}{z_{r}}}\right)^{n(r)}f(z_{r}).$

Это полезно для исследования целых решений дифференциальных уравнений.

Еще одно важное применение связано с Valiron. который заметил, что изображение диска Вимана-Валирона содержит «большое» кольцо ( $\{z:r_{1}<|z|<r_{2}\}$ где оба $r_{1}$ и $r_{2}/r_{1}$сколь угодно велики). Отсюда следует важная теорема Валирона о том, что вплоскость, в которой могут быть определены обратные ветви целой функции. Количественная версия этого утвержденияизвестна как теорема Блоха .

Эта теорема Валирона имеет дальнейшие применения вголоморфная динамика: используется при доказательстве того, что выходящее множество целой функции не пусто.

Дальнейшее развитие

В 1938 году Макинтайр обнаружил, что в этой теории можно избавиться от центрального индекса и самого степенного ряда.Макинтайр заменил центральный индекс количеством

$a(r,f):=r{\frac {M'(r,f)}{M(r,f)}}$

и доказал основное соотношение в виде

$f^{(m)}(z)=(1+o(1))\left({\frac {a(r,f)}{z}}\right)^{m}\left({\frac {z}{z_{r}}}\right)^{a(r,f)}f(z_{r})\quad {\mbox{for}}\quad |z-z_{r}|\leq {\frac {r}{(a(r,f))^{1/2+\epsilon }}}.$

В этом утверждении упоминается не степенной ряд, а предположение, что $f$ весь использовался Макинтайром.

Окончательное обобщение было достигнутоБергвайлер, Риппон и Сталлард который показал, что это соотношение сохраняется для любой неограниченной аналитической функции $f$ определенный в произвольной неограниченной области $D$ в комплексной плоскости, при единственном предположении, что $|f(z)|$ ограничен для $z\in \partial D$.Ключевое утверждение, которое делает это обобщение возможным, состоит в том, что диск Вимана-Валирона фактически содержится в $D$для всех не исключительных $r$.