Теорема Блоха (комплексные переменные)

В комплексном анализе , разделе математики , теорема Блоха описывает поведение голоморфных функций, определенных на единичном круге . Он дает нижнюю оценку размера диска, в котором существует обратная к голоморфной функции. Он назван в честь Андре Блоха .

Заявление

Пусть f — голоморфная функция в единичном круге | г | ≤ 1, для которого

|f'(0)|=1

Теорема Блоха утверждает, что существует диск S ⊂ D, на котором f биголоморфна и f(S) содержит диск радиуса 1/72.

Теорема Ландау

Если f — голоморфная функция в единичном круге со свойством | е′ (0)| = 1, то пусть L _f — радиус наибольшего диска, содержащегося в образе f .

Теорема Ландау утверждает, что существует константа L, определенная как нижняя грань L _f по всем таким функциям f , и что L больше константы Блоха L ≥ B .

Эта теорема названа в честь Эдмунда Ландау .

Теорема Валирона

Теорема Блоха была вдохновлена следующей теоремой Жоржа Валирона :

Теорема. Если f — непостоянная целая функция, то существуют диски сколь угодно большого радиуса и аналитические функции φ в D такие, что f (φ( z )) = z для z в D. D

Теорема Блоха соответствует теореме Валирона посредством так называемого принципа Блоха .

Доказательство

Теорема Ландау

Сначала докажем случай, когда f (0) = 0, f′ (0) = 1 и | ж' ( z )| ≤ 2 в единичном круге.

По интегральной формуле Коши имеем оценку

|f''(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(w)}{(w-z)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma (t)}{\frac {|f'(w)|}{|w-z|^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},

где γ — окружность радиуса r вокруг z , вращающаяся против часовой стрелки , и 0 < r < 1 − | г |.

По теореме Тейлора для каждого z в единичном круге существует 0 ⩽ t ⩽ 1 такое, что f ( z ) = z + z ²f″ ( tz ) / 2.

Таким образом, если | г | = 1/3 и | ш | < 1/6, у нас есть

|(f(z)-w)-(z-w)|={\frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|\leq {\frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}\leq {\frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={\frac {1}{6}}<|z|-|w|\leq |z-w|.

По теореме Руше диапазон f содержит круг радиуса 1/6 вокруг 0.

Пусть D ( z0 ₎ , r открытый диск радиуса r вокруг z0 _{обозначает} . Для аналитической функции g : D ( z ₀ , r ) → C такой, что g ( z ₀ ) ≠ 0, описанный выше случай применяется к ( g ( z ₀ + rz ) − g ( z ₀ )) / ( rg′ ( 0)) подразумевает, что диапазон g содержит D ( g ( z ₀ ), | g′ (0)| r /6).

В общем случае пусть f — аналитическая функция в единичном круге такая, что | е′ (0)| = 1 и z ₀ = 0.

Если | ж' ( z )| ≤ 2| ж ′ ( z ₀ )| для | z - z ₀ | < 1/4, то в первом случае область значений f содержит диск радиуса | е' (z ₀ )| / 24 = 1/24.
В противном случае существует z ₁ такой, что | z ₁ - z ₀ | < 1/4 и | ж' ( z ₁ )| > 2| ж ' ( z ₀ )|.
Если | ж' ( z )| ≤ 2| ж' ( z ₁ )| для | z - z ₁ | < 1/8, то в первом случае область значений f содержит диск радиуса | ж' ( z ₁ )| / 48 > | е' (z ₀ )| / 24 = 1/24.
В противном случае существует z ₂ такой, что | z ₂ - z ₁ | < 1/8 и | ж' ( z ₂ )| > 2| ж' ( z ₁ )|.

Повторяя этот аргумент, мы либо находим диск радиуса не менее 1/24 в диапазоне f , доказывая теорему, либо находим бесконечную последовательность ( z _n ) такую, что | z _п - z _{п -1} | < 1/2 ^{п +1} и | ж ' ( z _п )| > 2| ж ' ( z _{п -1} )|.

В последнем случае последовательность находится в D (0, 1/2), поэтому f' неограничена в D (0, 1/2), противоречие.

Теорема Блоха

В приведенном выше доказательстве теоремы Ландау теорема Руше подразумевает, что мы не только можем найти диск D радиуса не менее 1/24 в диапазоне f , но также существует небольшой диск D ₀ внутри единичного диска такой, что для каждого w ∈ D существует единственный z ∈ D0 _такой , что f ( z ) = w . Таким образом, f — биективная аналитическая функция из D ₀ ∩ f ⁻¹( D ) в D , поэтому его обратная φ также является аналитической по теореме об обратной функции .

Константы Блоха и Ландау.

Число B называется постоянной Блоха . Нижняя оценка 1/72 в теореме Блоха не является наилучшей. Теорема Блоха говорит нам, что B ≥ 1/72, но точное значение B пока неизвестно.

Наиболее известные оценки для B в настоящее время таковы:

0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-14}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.47186,

где Γ – гамма-функция . Нижняя оценка была доказана Ченом и Готье, а верхняя принадлежит Альфорсу и Грунски.

Аналогично определенная оптимальная константа L в теореме Ландау называется константой Ландау . Его точная стоимость также неизвестна, но известно, что

0.5<L\leq {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {5}{6}})}{\Gamma ({\frac {1}{6}})}}=0.543258965342...\,\!

(последовательность A081760 в OEIS )

что их верхние границы на самом деле являются истинными значениями B и L. В своей статье Альфорс и Грунски предположили ,

Для инъективных голоморфных функций на единичном круге константа A может быть определена аналогичным образом. Известно, что

0.5<A\leq 0.7853

См. также

Таблица избранных математических констант

Ссылки

Альфорс, Ларс Валериан ; Грунский, Гельмут (1937). «О постоянной Блоха». Математический журнал . 42 (1): 671–673. дои : 10.1007/BF01160101 . S2CID 122925005 .
Баернштейн, Альберт II; Винсон, Джейд П. (1998). «Результаты локальной минимальности, связанные с константами Блоха и Ландау». Квазиконформные отображения и анализ . Анн-Арбор: Спрингер, Нью-Йорк. стр. 55–89.
Блох, Андре (1925). «Теоремы М.Валирона о целочисленных функциях и теории униформизации» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . 17 (3): 1–22. дои : 10.5802/afst.335 . ISSN 0240-2963 .
Чен, Хуайхуэй; Готье, Поль М. (1996). «О постоянной Блоха». Журнал математического анализа . 69 (1): 275–291. дои : 10.1007/BF02787110 . S2CID 123739239 .
Ландау, Эдмунд (1929), «О постоянной Блоха и двух связанных с ней мировых константах», Mathematical Journal , 30 (1): 608–634, doi : 10.1007/BF01187791 , S2CID 120877278

Внешние ссылки