Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей

«OEIS» перенаправляется сюда. О врожденном дефекте, известном как комплекс OEIS, см. Клоакальная экстрофия .

Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей

Основан	1964 год ( 1964 )
Предшественник(и)	Справочник целочисленных последовательностей, Энциклопедия целочисленных последовательностей
Сделано	Нил Слоан
Председатель	Нил Слоан
Президент	Расс Кокс
URL-адрес	оууу .org
Коммерческий	Нет
Постановка на учет	Необязательный
Запущен	1996 год ( 1996 )
Лицензия на контент	Creative Commons CC BY-SA 4.0

Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей ( OEIS ) — это онлайн-база данных целочисленных последовательностей . Он был создан и поддерживается Нилом Слоаном во время исследований в AT&T Labs . В 2009 году он передал интеллектуальную собственность и хостинг OEIS Фонду OEIS . Слоан является председателем Фонда OEIS.

OEIS записывает информацию о целочисленных последовательностях, представляющую интерес как для профессиональных , так и для любителей математиков , и широко цитируется. По состоянию на февраль 2024 г. , он содержит более 370 000 последовательностей, что делает ее крупнейшей базой данных в своем роде.

Каждая запись содержит основные термины последовательности, ключевые слова , математические мотивы, ссылки на литературу и многое другое, включая возможность создания графика или воспроизведения музыкального представления последовательности. В базе данных возможен поиск по ключевому слову, по подпоследовательности или по любому из 16 полей.

История

Второе издание книги

Нил Слоан начал собирать целочисленные последовательности еще будучи аспирантом в 1964 году, чтобы поддержать свою работу в области комбинаторики . База данных сначала хранилась на перфокартах . Дважды он публиковал выборки из базы данных в виде книги:

1. Справочник целочисленных последовательностей (1973, ISBN   0-12-648550-X ), содержащий 2372 последовательности в лексикографическом порядке и присвоенные номера от 1 до 2372.
2. Энциклопедия целочисленных последовательностей с Саймоном Плуффом (1995, ISBN   0-12-558630-2 ), содержащий 5488 последовательностей и присвоенные М-номера от M0000 до M5487. Энциклопедия включает ссылки на соответствующие последовательности (которые могут отличаться некоторыми начальными терминами) в «Справочнике целочисленных последовательностей» в виде N-числа от N0001 до N2372 (вместо от 1 до 2372). Энциклопедия включает А-числа, которые используется в OEIS, а в Справочнике — нет.

Веб-страница Слоана «Целочисленные последовательности» на веб-сайте «AT&T Research» по состоянию на 1999 год.

Эти книги были хорошо приняты, и, особенно после второй публикации, математики снабжали Слоана постоянным потоком новых последовательностей. Коллекция стала неуправляемой в виде книги, и когда база данных достигла 16 000 записей, Слоан решил выйти в Интернет — сначала в виде службы электронной почты (август 1994 г.), а вскоре после этого и в виде веб-сайта (1996 г.). В результате работы над базами данных Слоан основал «Журнал целочисленных последовательностей» . в 1998 году База данных продолжает расти со скоростью около 10 000 записей в год. Слоан лично управлял «своими» эпизодами на протяжении почти 40 лет, но начиная с 2002 года совет младших редакторов и волонтеров помогал поддерживать базу данных. В 2004 году Слоан отпраздновал добавление в базу данных 100-тысячной последовательности A100000 , которая подсчитывает метки на кости Ишанго . В 2006 году пользовательский интерфейс был переработан и добавлены более расширенные возможности поиска. В 2010 году была создана вики-страница OEIS на сайте OEIS.org , чтобы упростить сотрудничество редакторов и участников OEIS. 200-тысячная последовательность A200000 была добавлена ​​в базу данных в ноябре 2011 года; первоначально он был введен как A200715 и перемещен в A200000 после недели обсуждения в списке рассылки SeqFan. по предложению главного редактора OEIS Чарльза Грейтхауса выбрать специальную последовательность для A200000. A300000 был определен в феврале 2018 года, а к концу января 2023 года база данных содержала более 360 000 последовательностей.

Нецелые числа

Помимо целочисленных последовательностей, OEIS также каталогизирует последовательности дробей , цифр трансцендентных чисел , комплексных чисел и т. д., преобразуя их в целочисленные последовательности. Последовательности дробей представлены двумя последовательностями (названными ключевым словом «frac»): последовательностью числителей и последовательностью знаменателей. Например, последовательность Фарея пятого порядка , $\textstyle {1 \over 5},{1 \over 4},{1 \over 3},{2 \over 5},{1 \over 2},{3 \over 5},{2 \over 3},{3 \over 4},{4 \over 5}$, каталогизируется как последовательность числителя 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4 ( A006842 ) и последовательность знаменателя 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5 ( A006843 ). Важные иррациональные числа , такие как π = 3,1415926535897..., каталогизированы в репрезентативных целочисленных последовательностях, таких как десятичные разложения (здесь 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7). , 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, ... ( A000796 )), двоичные представления (здесь 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0 , 1, 0, ... ( A004601 )), или разложение цепных дробей (здесь 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1 , 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, ... ( А001203 )).

Соглашения

До 2011 года OEIS ограничивался простым текстом ASCII и до сих пор использует линейную форму обычных математических обозначений (например, f ( n ) для функций , n для текущих переменных и т. д.). Греческие буквы обычно обозначаются полными именами, например , мю вместо μ, фи вместо φ. Каждая последовательность обозначается буквой А, за которой следуют шесть цифр, почти всегда обозначаемых начальными нулями, например , А000315, а не А315. Отдельные члены последовательностей разделяются запятыми. Группы цифр не разделяются запятыми, точками или пробелами. В комментариях, формулах и т.п. a(n) представляет n- й член последовательности.

Особое значение нуля

Ноль часто используется для обозначения несуществующих элементов последовательности. Например, A104157 перечисляет «наименьшее простое число из n». ² последовательные простые числа образуют n × n магический квадрат с наименьшей магической константой или 0, если такого магического квадрата не существует». Значение a (1) (магический квадрат 1 × 1) равно 2; a (3) равно 1480028129. Но такого магического квадрата 2 × 2 не существует, поэтому (2) равно 0. Это специальное использование имеет прочную математическую основу в некоторых функциях счета, например, общей функция валентности N _φ ( m ) ( A014197 ) подсчитывает решения; φ( x ) = m Есть 4 решения для 4, но нет решений для 14, следовательно, (14) из A014197 равно 0 — решений нет.

Также используются и другие значения, чаще всего −1 (см. A000230 или A094076 ).

Лексикографический порядок

OEIS поддерживает лексикографический порядок последовательностей, поэтому каждая последовательность имеет предшественника и преемника («контекст»). OEIS нормализует последовательности для лексикографического упорядочения, (обычно) игнорируя все начальные нули и единицы, а также знак каждого элемента. Последовательности кодов распределения веса часто пропускают периодически повторяющиеся нули.

Например, рассмотрим: простые числа , палиндромные простые числа , последовательность Фибоначчи , последовательность ленивого поставщика провизии и коэффициенты в разложении в ряд $\textstyle {{\zeta (n+2)} \over {\zeta (n)}}$. В лексикографическом порядке OEIS это:

• Последовательность №1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... А000040
• Последовательность №2: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, ... A002385
• Последовательность №3: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ... A000045 .
• Последовательность №4: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, ... A000124 .
• Последовательность №5: 1, - 3, - 8, - 3, - 24, 24, - 48, - 3, - 8, 72, - 120, 24, - 168, 144, ... A046970

тогда как ненормализованный лексикографический порядок упорядочит эти последовательности следующим образом: №3, №5, №4, №1, №2.

Самореферентные последовательности

В самом начале истории OEIS были предложены последовательности, определенные с точки зрения нумерации последовательностей в самом OEIS. «Я долго сопротивлялся добавлению этих последовательностей, отчасти из-за желания сохранить достоинство базы данных, а отчасти потому, что A22 был известен только 11 терминам!» — вспоминал Слоан. Одной из самых ранних самореферентных последовательностей, принятых Слоаном в OEIS, была A031135 (позже A091967 ) « a ( n ) = n -й член последовательности An _или –1, если An _имеет меньше n членов». Эта последовательность стимулировала прогресс в поиске дополнительных членов A000022 . A100544 перечисляет первый термин, данный в последовательности An _, но его необходимо время от времени обновлять из-за изменения мнений о смещениях. Вместо этого перечисление термина a (1) последовательности A _n могло бы показаться хорошей альтернативой, если бы не тот факт, что некоторые последовательности имеют смещения 2 и больше. Этот ход мыслей приводит к вопросу: «Содержит ли последовательность An _число n ? » и последовательности A053873 , «Числа n такие, что последовательность OEIS A _n содержит n », и A053169 , « n находится в этой последовательности тогда и только тогда, когда n не находится в последовательности A _n ». Таким образом, составное число 2808 находится в A053873, потому что A002808 представляет собой последовательность составных чисел, а непростое число 40 находится в A053169, потому что его нет в A000040 , простых числах. Каждое n является членом ровно одной из этих двух последовательностей, и в принципе его можно определить какой последовательности каждый n принадлежит , за двумя исключениями (относящимися к самим двум последовательностям):

• Невозможно определить, является ли 53873 членом A053873 или нет. Если это есть в последовательности, то так и должно быть по определению; если его нет в последовательности, то (опять же по определению) его быть не должно. Тем не менее, любое решение будет последовательным, а также решит вопрос о том, находится ли 53873 в A053169.
• Можно доказать, что 53169 одновременно является и не является членом A053169. Если это есть в последовательности, то по определению этого быть не должно; если его нет в последовательности, то (опять же, по определению) он должен быть. Это форма парадокса Рассела . Следовательно, также невозможно ответить, находится ли 53169 в A053873.

Сокращенный пример типичной записи

Эта запись, A046970 , была выбрана потому, что она содержит все поля, которые может иметь запись OEIS.

A046970       Дирихле   обратная   функции   Жордана  ​   ,   J_2   (  A007434  )  . 
              1  ,   -3  ,   -8  ,   -3  ,   -24  ,   24  ,   -48  ,   -3  ,   -8  ,   72  ,   -120  ,   24  ,   -168  ,   144  ,   192  ,   -3  ,   -288  ,   24  ,   -360  ,   72  ,   384  ,   360  ,   -528  ,   24  ,   -24  ,   504  ,   -8  ,   144  ,   -840  ,   -576  ,   -960  ,   -3  ,   960  ,   864  ,   1152  ,   24  ,   -1368  ,   1080  ,   1344  ,   72  ,   -1680  ,   -1152  ,   -1848  ,   360  ,   192  ,   1584  ,   -2208  ,   24  ,   -48  ,   72  ,   2304  ,   504  ,   -2808  ,   24  ,   2880  ,   144  ,   2880  ,   2520  ,   -3480  ,   -5 76  
 СМЕЩ 	     1  ,  2 

 КОММЕНТАРИЯ 	 B  (  n  +  2  )   =   -  B  (  n  )  *  ((  n  +  2  )  *  (  n  +  1  )  /  (  4  *  Pi  ^  2  ))  *  z  (  n  +  2  )  /  z  (  n  )   =   -  B  (  n  )  *  ((  n  +  2  )  *  (  n  +  1  )  /  (  4  *  Pi  ^  2  ))   *   Sum_  {  j  >=  1  }   a  (  j  )  /  j  ^  (  n  +  2  )  . 
              Помимо  ​   знаков   также   Sum_  {  d  |   n  }   core  (  d  )  ^  2  *  mu  (  n  /  d  )   где   core  (  x  )   —   свободная   квадратов   часть   x   от  .    -   Бенуа   Клуатр  ,   мая   31   2002 
 ССЫЛКИ 	 М.  г.    Абрамовиц   и   я  .    А. ​    Стегун  ,   Справочник   по   математическим   функциям  ,   Dover   Publications  ,   1965  ,   стр  .    805-811  . 
              Т. ​    М. ​    Апостол  ,   Введение   в   аналитическую   чисел   теорию  ,   Springer  -  Verlag  ,   1986  ,   с  .    48. 
 ССЫЛКИ 	     Райнхард   Цумкеллер  ,   Таблица   n  ​  ,   a  (  n  )   для   n   =   1..10000 
             M. ​    Абрамовиц   и   я  .    А. ​    Стегун  ,   ред  .   ,   Справочник   по   математическим   функциям  ,   Национальное   бюро   стандартов  ​  ,   Прикладная   математика  .    Серия   55  ,   десятый   Тираж  ,   1972 год   [  альтернативная   сканированная   копия  ]  . 
              П  .    Г  .    Браун  ,   Некоторые   комментарии   об   обратных   арифметических   функциях  ,   Матем  .    Газ  .    89   (  516  )   (  2005  )   403-408  . 
              Пол   В. ​    Оксби  ,   Функция  ​   Sinc   FIR   Чебышева  Полиномы   как   альтернатива  ​   функции  ​      [   при  FIR  фильтра   проектировании  ,   arXiv  :  2011.10546   -  eess .   СП  ]   2020. 
             Википедия  ,   Римана   Дзета-   функция  , 
  ФОРМУЛА 	     Мультипликативная   с   a  (  p  ^  e  )   =   1   -   p  ^  2. 
             a  (  n  )   =   Sum_  {  d  |   n  }   in  (  d  )  *  d  ^  2. 
             abs  (  a  (  n  )   =   Product_  {  p   простое число   делит   n  }   (  p  ^  2   -   1  )  )    —   Джон   Перри  ,   августа   24   2010 г. 
             От   Вольфдитера   Ланга  ,   июня   16   2011 г  .:   (  Начало  ) 
             Дирихле    г   ф  .:   дзета  (  с  )  /  дзета  (  с  -2  )  . 
              a  (  n  )   =   J_  {  -2  } (  n  )  *  n  ^  2  ,   с   функцией   Жордана   .   J_k  (  n  ),   J_k   (  1  )  :  =  1.   См   апостола   .   Справочник  ,   с  с    48.   упражнение   17.   (  Конец  ) 
             a  (  prime  (  n  ))   =   -  A084920  (  n  )  .    -    Р     Дж    Матар  ,   августа   28   2011 
              г.   f  :   Sum_  {  k  =  1  }   in  (  k  )  *  k  ^  2  *  x  ^  k  /  (  1   -   x  ^  k  )  >    -   Илья   Гутковский  ,   января   15   2017 г. 
 a 	     (  3  )  =   -8   ,   что   делители   потому   3   ПРИМЕР   равны   {  1  ,   3  }   и   in  (  1  )  *  1  ^  2   +   in  (  3  )  *  3  ^  2   =   -8 
              a  (  4  )   =   -3   поскольку   делители   ,   4  ​   равны   {  1  ,   2  ,   4  }   и   in  (  1  )  *  1  ^  2   +   in  (  2  )  *  2  ^  2   +   in  (  4  )  *  4  ^  2   =   -3  . 
               Э    г   ,   a  (  15  )   =   (  3  ^  2-1   ^   )  2-1   *   (  5   2  *   192.  )   =   8 * 24   =  192.  —   Джон   Перри  ,   августа   24   2010 
            Gг. G   для  .    =   x   -   3  *  x  ^  2-8   ^   3-3  *  x  ^  24   ^   9  *  x  ^  4-24   ^   5  *  x  ^  *   +   6-48  *  x  x  7-3     48 *  x ^ 8-8   *   x *x^8  ^  8*x^9 ​​​​​​​​​​​+   ... 
 КЛЕН 	     Jinvk   :=   proc  (  n  ,   k  )   local   a  ,   f  ,   p   ;    а   :=   1   ;    для   f   в   ifactors  (  n  )[  2  ]   do   p   :=   op  (  1  ,   f  )   ;    а   :=   а  *  (  1  -  п  ^  k  )   ;    конец   делать  :   а   ;    конец   процесса  : 
             A046970   :=   процесс  (  n  )   Jinvk  (  n  ,   2  )   ;    конец   процесса  :   #    R     Дж    Mathar  ,   июля   4   2011 г. 
 МАТЕМАТИКА 	 inDD  [  d_  ]   :=   MoebiusIn  [  d  ]  *  d  ^  2  ;    Таблица  [  Плюс  @@   muDD  [  Делители  [  n  ]],   {  n  ,   60  }]   (  Лопес  ) 
             Flatten  [  Таблица  [{   x   =   FactorInteger  [  n  ];    р   =   1  ;    Для  [  i   =   1  ,   i   <=   Длина  [  x  ],   i  ++  ,   p   =   p  *  (  1   -   x  [[  i  ]] [[  1  ]]  ^  2  )];    p  },   {  n  ,   1  ,   50  ,   1  }]]   (* Джон Перри, 24 августа 2010 г. *) 
             a  [   n_  ]   :=   If  [   n   <   1  ,   0  ,   Sum  [   d  ^  2   MoebiusMu  [   d  ],   {  d  ,   Делители   @   n  }]]   (* Майкл Сомос, 11 января 2014 г. *) 
             a  [   n_  ]   :=   If  [   n   <   2  ,   Boole  [   n   ==   1  ],   Times   @@   (  1   -   #  [[  1  ]]  ^  2   &   /@   FactorInteger   @   n  )]   (* Майкл Сомос, 11 января 2014 г. *) 
 PROG 	     (  PARI  )   A046970  (  n  )  =  sumdiv  (  n  ,   d  ,   d  ^  2  *  moebius  (  d  ))   \\   Benoit   Cloitre 
             (  Haskell  ) 
             a046970   =   продукт   .    карта   ((  1   -  )   .   (  ^   2  ))   .    a027748_row 
             --   Райнхард   Цумкеллер  ,   января   19   2012 г. 
             (  PARI  )   {  a  (  n  )   =   if  (   n  <  1  ,   0  ,   direuler  (   p  =  2  ,   n  ,   (  1   -   X  *  p  ^  2  )   /   (  1   -   X  )) [  n  ])}   /*   Майкл   Сомос  ,   января   11   2014 г.   */ 
 CROSSREFS 	 Cf  .    А007434  ,   А027641  ,   А027642  ,   А063453  ,   А023900  . 
              См  .    А027748  . 
              Последовательность   в   контексте  :   A144457   A220138   A146975   *   A322360   A058936   A280369 
             Смежные   последовательности  :    A046967   A046968   A046969   *   A046971   A046972   A046973 
 КЛЮЧЕВОГО СЛОВА 	     Знак  ,  easy  ,  mult 
 АВТОР 	     Дуглас   Столл  ,   Дугстолла  (  AT  )  электронная почта  .   MSN  .   com 
 РАСШИРЕНИЯ 	 Исправлено   и   дополнено   Владетой   г.   Йовович  ,   июля   25   2001 
             Дополнительные   комментарии   от   Вильфредо   Лопеса   (  chakotay147138274  (  AT  )  yahoo.com  г.  июля  )   1   2005   , 

Поля ввода

идентификационный номер

Каждая последовательность в OEIS имеет серийный номер , шестизначное положительное целое число с префиксом A (до ноября 2004 года оно дополнялось нулями слева). Буква «А» означает «абсолютный». Номера назначаются либо редактором(ами), либо распределителем номеров, что удобно, когда участники хотят отправить несколько связанных последовательностей одновременно и иметь возможность создавать перекрестные ссылки. Срок действия номера А из диспенсера истекает через месяц с момента выдачи, если он не используется. Но, как показывает следующая таблица произвольно выбранных последовательностей, грубое соответствие сохраняется.

А059097	Числа n такие, что биномиальный коэффициент C (2 n , n ) не делится на квадрат нечетного простого числа.	1 января 2001 г.
А060001	Фибоначчи ( н )!.	14 марта 2001 г.
А066288	Количество трехмерных полимино (или поликубов ) с n ячейками и группой симметрии порядка ровно 24.	1 января 2002 г.
А075000	Наименьшее число такое, что n · a ( n ) является конкатенацией n последовательных целых чисел...	31 августа 2002 г.
А078470	Цепная дробь для ζ (3/2)	1 января 2003 г.
А080000	Количество перестановок, удовлетворяющих условиям − k ≤ p ( i ) − i ≤ r и p ( i ) − i	10 февраля 2003 г.
А090000	Длина самого длинного непрерывного блока из единиц в двоичном представлении n -го простого числа.	20 ноября 2003 г.
А091345	Экспоненциальная свертка A069321( n ) с самим собой, где мы устанавливаем A069321(0) = 0.	1 января 2004 г.
А100000	Следы 22000-летней кости Ишанго из Конго.	7 ноября 2004 г.
А102231	Столбец 1 треугольника A102230 равен свертке A032349 со сдвигом вправо A032349.	1 января 2005 г.
А110030	Количество последовательных целых чисел, начинающихся с n, необходимое для получения в сумме числа Нивена.	8 июля 2005 г.
А112886	Положительные целые числа без треугольников.	12 января 2006 г.
А120007	Преобразование Мёбиуса суммы простых множителей числа n кратности.	2 июня 2006 г.

Даже для последовательностей в книгах-предшественниках OEIS идентификационные номера не совпадают. » 1973 года «Справочник целочисленных последовательностей содержал около 2400 последовательностей, которые были пронумерованы в лексикографическом порядке (буква N плюс четыре цифры, дополненные нулями, где это необходимо), а «Энциклопедия целочисленных последовательностей» 1995 года содержала 5487 последовательностей, также пронумерованных в лексикографическом порядке ( буква М плюс 4 цифры, дополненные нулями, где это необходимо). Эти старые номера M и N, если применимо, содержатся в поле идентификационного номера в круглых скобках после современного номера A.

Данные последовательности

Поле последовательности содержит сами числа длиной около 260 символов. Дополнительные термины последовательностей могут быть предоставлены в так называемых B-файлах. Поле последовательности не делает различий между последовательностями, которые конечны, но слишком длинны для отображения, и последовательностями, которые бесконечны. Чтобы сделать это определение, вам нужно просмотреть поле ключевых слов для слов «fini», «full» или «more». Чтобы определить, какому n соответствуют заданные значения, см. поле смещения, которое дает n для первого заданного термина.

Имя

Поле имени обычно содержит наиболее распространенное имя последовательности, а иногда и формулу. Например, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 ( A000578 ) называется « Кубики : a(n) = n^3.».

Комментарии

Поле комментариев предназначено для информации о последовательности, которая не совсем вписывается ни в одно из других полей. Поле комментариев часто указывает на интересные связи между различными последовательностями и менее очевидные применения последовательности. Например, Лекрай Бидасси в комментарии к A000578 отмечает, что числа кубов также учитывают «общее количество треугольников , возникающих в результате перекрещивания цевианов внутри треугольника, так что каждая из его сторон является n -разделенной», в то время как Нил Слоан указывает неожиданная связь между центрированными шестиугольными числами ( A003215 ) и вторыми полиномами Бесселя ( A001498 ) в комментарии к A003215.

Рекомендации

Ссылки на печатные документы (книги, статьи, ...).

Ссылки

Ссылки, т. е. URL-адреса , на онлайн-ресурсы. Это могут быть:

1. ссылки на соответствующие статьи в журналах
2. ссылки на индекс
3. ссылки на текстовые файлы, которые содержат термины последовательности (в формате двух столбцов) в более широком диапазоне индексов, чем в основных строках базы данных
4. ссылки на изображения в каталогах локальной базы данных, которые часто предоставляют комбинаторную информацию, связанную с теорией графов.
5. другие связаны с компьютерными кодами, более обширными таблицами в конкретных областях исследований, предоставленными отдельными лицами или исследовательскими группами.

Формула

Формулы, рекурренты , производящие функции и т.д. для последовательности.

Пример

Некоторые примеры значений членов последовательности.

Клен

Кленовый код.

Математика

языка Wolfram . Код

Программа

Первоначально Maple и Mathematica были предпочтительными программами для расчета последовательностей в OEIS, и обе они имели свои собственные метки полей. По состоянию на 2016 год Mathematica была самым популярным выбором: 100 000 программ Mathematica, за ней следовали 50 000 программ PARI/GP , 35 000 программ Maple и 45 000 программ на других языках.

Что касается любой другой части записи, если имя не указано, вклад (здесь: программа) был написан первоначальным отправителем последовательности.

Перекрестные ссылки

Перекрестные ссылки на последовательности, созданные первоначальным отправителем, обычно обозначаются « Ср. ».

Кроме новых последовательностей, поле «см. также» также включает информацию о лексикографическом порядке последовательности (ее «контексте») и предоставляет ссылки на последовательности с близкими номерами А (A046967, A046968, A046969, A046971, A046972, A046973, в наш пример). В следующей таблице показан контекст нашей примерной последовательности A046970:

А016623	3, 8, 3, 9, 4, 5, 2, 3, 1, 2, ...	Десятичное разложение ln (93/2).
А046543	1, 1, 1, 3, 8, 3, 10, 1, 110, 3, 406, 3	Сначала числитель, а затем знаменатель центрального элементы треугольника 1/3 Паскаля (по рядам).
А035292	1, 3, 8, 3, 12, 24, 16, 3, 41, 36, 24, ...	Число подобных подрешеток Z 4 индекса n 2 .
А046970	1, −3, −8, −3, −24, 24, −48, −3, −8, 72, ...	Генерируется из дзета-функции Римана ...
А058936	0, 1, 3, 8, 3, 30, 20, 144, 90, 40, 840, 504, 420, 5760, 3360, 2688, 1260	Стирлинга Разложение S ( n , 2) на основе связанные числовые разделы.
А002017	1, 1, 1, 0, −3, −8, −3, 56, 217, 64, −2951, −12672, ...	Расширение exp ( sin x ).
А086179	3, 8, 4, 1, 4, 9, 9, 0, 0, 7, 5, 4, 3, 5, 0, 7, 8	Десятичное разложение верхней границы значений r поддержка стабильных орбит периода 3 на логистической карте .

Ключевое слово

OEIS имеет собственный стандартный набор ключевых слов, состоящих преимущественно из четырех букв, которые характеризуют каждую последовательность:

• выделенный - номер А, который был зарезервирован для пользователя, но запись для которого еще не одобрена (и, возможно, еще не написана).
• база — Результаты расчета зависят от конкретной позиционной базы . Например, 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181... A002385 — простые числа независимо от основания, но они являются палиндромами именно по основанию 10. Большинство из них не являются палиндромами в двоичном виде. Некоторые последовательности оценивают это ключевое слово в зависимости от того, как оно определено. Например, простые числа Мерсенна 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, ... A000668 не оцениваются как «базовые», если определяются как «простые числа формы 2^n - 1». Однако, определяемая как « восстановление простых чисел в двоичном виде», последовательность будет оцениваться по ключевому слову «основание».
• bref например, A079243 , количество классов изоморфизма ассоциативных — «последовательность слишком коротка , некоммутативных . неантиассоциативных антикоммутативных закрытых бинарных операций на множестве порядка n чтобы проводить какой-либо анализ» ,
• изменено Последовательность изменилась за последние две недели.
• cofr — последовательность представляет собой цепную дробь , например, разложение цепной дроби e ( A003417 ) или π ( A001203 ).
• cons — последовательность представляет собой десятичное представление математической константы , например e ( A001113 ) или π ( A000796 ).
• ядро — последовательность, имеющая основополагающее значение для раздела математики, например простые числа ( A000040 ), последовательность Фибоначчи ( A000045 ) и т. д.
• мертвый — это ключевое слово используется для ошибочных последовательностей, появившихся в статьях или книгах, или для дубликатов существующих последовательностей. Например, A088552 совпадает с A000668 .
• тупой — одно из наиболее субъективных ключевых слов для «неважных последовательностей», которые могут иметь или не иметь прямого отношения к математике, например, ссылки на популярную культуру , произвольные последовательности из головоломок Интернета и последовательности, связанные с вводом с цифровой клавиатуры . A001355 «Смешать цифры пи и е» — один из примеров отсутствия важности, а A085808 — «Цена — правое колесо» (последовательность чисел на колесе Showcase Showdown , используемом в американском игровом шоу The Price Is Right ) — это пример последовательности, не связанной с математикой, сохраненной в основном для мелочей.
• легко — члены последовательности можно легко вычислить. Возможно, последовательность, наиболее достойная этого ключевого слова, — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... A000027 , где каждый термин на 1 больше, чем предыдущий. Ключевое слово «простой» иногда применяется к последовательностям «простые числа формы f ( m )», где f ( m ) — легко вычисляемая функция. (Хотя даже если f ( m ) легко вычислить для больших m , может быть очень сложно определить, является ли f ( m ) простым).
• собственные значения — последовательность собственных значений .
• fini — последовательность конечна, хотя она может содержать больше терминов, чем может быть отображено. Например, поле последовательности A105417 отображает только около четверти всех терминов, но в комментарии отмечается, что последний термин — 3888.
• дробь — последовательность числителей или знаменателей последовательности дробей, представляющих рациональные числа . Любая последовательность с этим ключевым словом должна иметь перекрестную ссылку на соответствующую ей последовательность числителей или знаменателей, хотя этого можно избежать для последовательностей египетских дробей , таких как A069257 , где последовательность числителей будет A000012 . Это ключевое слово не следует использовать для последовательностей непрерывных дробей; Вместо этого для этой цели следует использовать cofr.
• полная — в поле последовательности отображается полная последовательность. Если в последовательности есть ключевое слово «полный», в ней также должно быть ключевое слово «фини». Одним из примеров конечной последовательности, данной полностью, является последовательность суперсингулярных простых чисел A002267 , которых ровно пятнадцать.
• сложно — члены последовательности не могут быть легко вычислены, даже при наличии вычислительной мощности необработанных чисел. Это ключевое слово чаще всего используется для последовательностей, соответствующих нерешенным задачам, например: «Сколько n -сфер может коснуться другой n -сферы того же размера?» В A001116 перечислены первые десять известных решений.
• услышать — последовательность с графическим звуком, которая считается «особенно интересной и/или красивой», некоторые примеры собраны на сайте OEIS .
• less — «менее интересная последовательность».
• взгляд — последовательность графических изображений, которые считаются «особенно интересными и/или красивыми». Два примера из нескольких тысяч — A331124 A347347 .
• more — требуется больше членов последовательности. Читатели могут подать расширение.
• mult — последовательность соответствует мультипликативной функции . Член a (1) должен быть равен 1, а член a ( mn ) можно вычислить путем умножения a ( m ) на a ( n ), если m и n взаимно простые . Например, в a A046970 ( 12) = a (3) a (4) = −8 × −3.
• новый — для последовательностей, которые были добавлены за последние пару недель или недавно были значительно расширены. Это ключевое слово не имеет флажка в веб-форме для отправки новых последовательностей; Программа Слоана добавляет его по умолчанию, где это применимо.
• приятно — возможно, самое субъективное ключевое слово из всех, означающее «исключительно приятные эпизоды».
• nonn — последовательность состоит из неотрицательных целых чисел (может включать нули). Никакого различия между последовательностями, состоящими из неотрицательных чисел, не делается только из-за выбранного смещения (например, n ³ , кубы, которые все неотрицательны, начиная с n = 0 и далее) и те, которые по определению полностью неотрицательны (например, n ² , квадраты).
• obsc — последовательность считается неясной и требует лучшего определения.
• recycled — когда редакторы соглашаются, что новую предложенную последовательность не стоит добавлять в OEIS, редактор удаляет запись, оставляя только строку ключевого слова с ключевым словом:recycled. Затем номер А становится доступным для присвоения другой новой последовательности.
• знак – Некоторые (или все) значения последовательности отрицательны. Запись включает в себя как поле «Знак» со знаками, так и поле «Последовательность», состоящее из всех значений, передаваемых через функцию абсолютного значения .
• tabf — «Нерегулярный (или забавной формы) массив чисел, преобразованный в последовательность путем чтения его строка за строкой». Например, A071031 , «Треугольник, считываемый по строкам, дающим последовательные состояния клеточного автомата , сгенерированные «правилом 62».
• таблица — последовательность, полученная путем чтения геометрического расположения чисел, например треугольника или квадрата, строка за строкой. Типичным примером является треугольник Паскаля, читаемый по строкам, A007318 .
• uned — последовательность не редактировалась, но ее, возможно, стоит включить в OEIS. Последовательность может содержать вычислительные или типографские ошибки. Участникам рекомендуется редактировать эти последовательности.
• unkn — «Мало что известно» о последовательности, даже о формуле, которая ее производит. Например, A072036 , который был представлен интернет-оракулу для размышления.
• walk - «Считает прогулки (или пути самоизбегания )».
• слово - Зависит от слов конкретного языка. Например, ноль, один, два, три, четыре, пять и т. д. Например, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 9, 8, 8... A005589 , «Количество букв в английском названии n , без учета пробелов и дефисов».

Некоторые ключевые слова являются взаимоисключающими, а именно: core и немой, легкий и сложный, полный и больше, меньше и приятный, а также нон и знак.

Компенсировать

Смещение — это индекс первого данного термина. Для некоторых последовательностей смещение очевидно. Например, если мы перечислим последовательность квадратных чисел как 0, 1, 4, 9, 16, 25..., смещение будет равно 0; а если мы укажем его как 1, 4, 9, 16, 25..., смещение будет равно 1. Смещение по умолчанию равно 0, и большинство последовательностей в OEIS имеют смещение либо 0, либо 1. Последовательность A073502 , магическая константа для n × n магического квадрата с простыми элементами (с учетом 1 как простого числа) с наименьшими суммами строк является примером последовательности со смещением 3 и A072171 , «Количество звезд визуальной величины n ». является примером последовательности со смещением -1. Иногда могут возникнуть разногласия по поводу того, каковы начальные члены последовательности и, соответственно, какое должно быть смещение. В случае последовательности ленивого поставщика провизии (максимальное количество кусков, на которые можно разрезать блин с помощью n разрезов), OEIS дает последовательность как 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, .. . A000124 со смещением 0, а Mathworld дает последовательность как 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ... (подразумеваемое смещение 1). Можно утверждать, что отсутствие разрезов на блине технически представляет собой ряд разрезов, а именно n = 0, но можно также утверждать, что неразрезанный блин не имеет отношения к задаче. Хотя смещение является обязательным полем, некоторые участники не утруждают себя проверкой, соответствует ли смещение по умолчанию, равное 0, последовательности, которую они отправляют. Внутренний формат фактически показывает два числа для смещения. Первое — это число, описанное выше, а второе — индекс первой записи (считая с 1), который имеет абсолютное значение больше 1. Это второе значение используется для ускорения процесса поиска последовательности. Таким образом, A000001 , который начинается с 1, 1, 1, 2 с первой записью, представляющей ( 1), имеет 1, 4 в качестве внутреннего значения поля смещения.

Авторы)

Автором(ами) последовательности является(ются) лицо(а), предоставившее последовательность, даже если последовательность известна с древних времен. В имени заявителя(ей) указывается имя (пишется полностью), отчество(и) (если применимо) и фамилия; это отличается от того, как имена записываются в ссылочных полях. Адрес электронной почты отправителя также указывается до 2011 года, с заменой символа @ на «(AT)», за некоторыми исключениями, например, для младших редакторов или если адрес электронной почты не существует. Теперь политика OEIS не отображает адреса электронной почты последовательно. Для большинства последовательностей после A055000 поле автора также включает дату, когда отправитель отправил последовательность.

Расширение

Имена людей, которые расширили (добавили дополнительные термины) последовательность или исправили термины последовательности, с указанием даты продления.

Отставание Слоана

График разрыва Слоана: количество вхождений ( логарифмический масштаб y ) каждого целого числа ( шкала x ) в базе данных OEIS.

В 2009 году база данных OEIS использовалась Филиппом Гульельметти для измерения «важности» каждого целого числа. Результат, показанный на графике справа, показывает явный «разрыв» между двумя отдельными облаками точек. « неинтересные числа » (синие точки) и «интересные» числа, которые сравнительно чаще встречаются в последовательностях из OEIS. Он содержит по существу простые числа (красные), числа вида a ^н (зеленый) и высокосложные числа (желтый). Этот феномен изучали Николя Говре , Жан-Поль Делаэ и Гектор Зениль, которые объяснили скорость двух облаков с точки зрения алгоритмической сложности, а разрыв — социальными факторами, основанными на искусственном предпочтении последовательностей простых чисел, четных чисел, геометрических чисел и чисел Фибоначчи. -типовые последовательности и так далее. Разрыв Слоана был показан в видео Numberphile в 2013 году.

См. также

• Список последовательностей OEIS
• Абрамовиц и Стегун

Ссылки

• Борвейн, Дж .; Корлесс, Р. (1996). «Энциклопедия целочисленных последовательностей (NJA Слоан и Саймон Плуфф)» . Обзор СИАМ . 38 (2): 333–337. дои : 10.1137/1038058 .
• Кэтчпол, Х. (2004). «Изучение числовых джунглей онлайн» . Азбука науки . Австралийская радиовещательная корпорация .
• Деларте, А. (11 ноября 2004 г.). «Математик достиг рубежа в 100 тысяч для онлайн-архива целых чисел» . Южный конец : 5.
• Хейс, Б. (1996). «Вопрос чисел» (PDF) . Американский учёный . 84 (1): 10–14. Бибкод : 1996AmSci..84...10H . Архивировано из оригинала (PDF) 5 октября 2015 г. Проверено 1 июня 2010 г.
• Петерсон, И. (2003). «Последовательность головоломок» (PDF) . Новости науки . 163 (20). Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2017 г. Проверено 24 декабря 2016 г.
• Ремейер, Дж. (2010). «Коллекционер образцов — Новости науки» . Новости науки . www.sciencenews.org. Архивировано из оригинала 14 октября 2013 г. Проверено 8 августа 2010 г.

Дальнейшее чтение

• Робертс, С. (21 мая 2023 г.), «Какое число будет следующим? Знает Энциклопедия целочисленных последовательностей». , The New York Times , получено 21 мая 2023 г.
• Слоан, Нью-Джерси (1999). «Мои любимые целочисленные последовательности» (PDF) . Ин Дин, К.; Хеллесет, Т.; Нидеррайтер, Х. (ред.). Последовательности и их приложения (Материалы SETA '98) . Лондон: Springer-Verlag. стр. 103–130. arXiv : math/0207175 . Бибкод : 2002math......7175S .
• Слоан, Нью-Джерси (2003). «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 50 (8): 912–915.
• Слоан, Нью-Джерси ; Плуфф, С. (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  0-12-558630-2 .
• Заболоцкий, А. (2022). «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей 2021 года» . Мат. Плюсы . Серия 3. 8 : 199–212.
• Билли, Сара С .; Теннер, Бриджит Э. (2013). «База данных отпечатков пальцев для теорем» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 60 (8): 1034–1039. arXiv : 1304.3866 . Бибкод : 2013arXiv1304.3866B . дои : 10.1090/noti1029 . S2CID   14435520 .

Внешние ссылки

• Официальный веб-сайт
• Вики в OEIS