Чевиан

В геометрии чевиан , это отрезок соединяющий вершину треугольника — с точкой на противоположной стороне треугольника. Медианы и биссектрисы являются частными случаями чевиан. Название «чевиан» происходит от имени итальянского математика Джованни Чева , который доказал известную теорему о чевианах, которая также носит его имя.

Длина

Треугольник с чевианом длины d

Теорема Стюарта

Длину чевиана можно определить по теореме Стюарта : на диаграмме длина чевиана d определяется формулой

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

Реже это также представляется (с некоторыми перестановками) следующей мнемоникой :

${\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}$

медиана

Если чевиана является медианой (т.е. делит сторону пополам ), ее длину можно определить по формуле

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

или

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

с

$\,a=2m.$

Следовательно, в этом случае

$d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.$

Биссектриса угла

Если чевиан является биссектрисой угла , его длина подчиняется формулам

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

и

$d^{2}+mn=bc$

и

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$

где полупериметр $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

Сторона длины a делится в пропорции b : c .

Высота

Если чевиан представляет собой высоту и, следовательно, перпендикулярен стороне, его длина подчиняется формулам

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

и

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

где полупериметр $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

Свойства отношения

Три чевиана, проходящие через общую точку

Существуют различные свойства отношений длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну и ту же произвольную внутреннюю точку: Обращаясь к диаграмме справа,

${\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}$

Первое свойство известно как теорема Чевы . Последние два свойства эквивалентны, поскольку суммирование двух уравнений дает тождество 1 + 1 + 1 = 3 .

Сплиттер

Разветвитель делящий треугольника — это чевиан, его пополам периметр . Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.

Биссектрисы площади

Три биссектрисы треугольника являются его медианами, соединяющими вершины с серединами противоположных сторон. Таким образом, треугольник с одинаковой плотностью в принципе будет балансировать на бритве, поддерживающей любую из медиан.

Угловые трисекторы

Если из каждой вершины треугольника провести два чевиана так, чтобы разделить угол на три части (разделить его на три равных угла), то шесть чевианов попарно пересекаются, образуя равносторонний треугольник , называемый треугольником Морли .

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного попарными пересечениями трех чевианов, по одному из каждой вершины.

См. также

• Геометрия массовой точки
• Теорема Менелая

Ссылки

• Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (том первый) , Аллин и Бэкон
• Росс Хонсбергер (1995). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , страницы 13 и 137. Математическая ассоциация Америки.
• Владимир Карапетов (1929). «Некоторые свойства соответствующих вершинных линий в плоском треугольнике». Американский математический ежемесячник 36: 476–479.
• Индика Шамира Амарасингхе (2011). «Новая теорема о любом прямоугольном Чевиеве треугольнике». Журнал Всемирной федерации национальных математических соревнований , том 24 (02) , стр. 29–37.