Теория Чевы

В евклидовой геометрии теорема Чевы является теоремой о треугольниках . Дан треугольник $△ ABC$ , пусть прямые $AO, BO, CO$ проведены из вершин в общую точку $O$ (не на одной из сторон $△ ABC$ ), чтобы встретиться с противоположными сторонами в точках $D, E, F$ соответственно. (Отрезки $AD, BE, CF$ называются цевианами .) Затем, используя длины сегментов со знаком ,

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.

Другими словами, длина $XY$ считается положительной или отрицательной в зависимости от того, находится ли $X$ слева или справа от $Y$ в некоторой фиксированной ориентации линии. Например, $AF / FB$ определяется как имеющее положительное значение, когда $F$ находится между $A$ и $B,$ и отрицательное в противном случае.

Теорема Чевы — это теорема аффинной геометрии в том смысле, что ее можно сформулировать и доказать без использования понятий углов, площадей и длин (за исключением отношения длин двух отрезков прямой , которые лежат на одной прямой ). Следовательно, это верно для треугольников в любой аффинной плоскости над любым полем .

слегка адаптированное обратное Верно также $: если точки D, E, F$ выбраны на $BC, AC, AB$ соответственно так, что

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,

тогда $AD, BE, CF$ работают одновременно или все три параллельны . Обратное часто включается в теорему.

Теорему часто приписывают Джованни Чеве , который опубликовал ее в своей работе 1678 года De lineis Rectis . Но гораздо раньше это было доказано Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом одиннадцатого века , королем Сарагосы . ^{[ 1 ]}

С фигурами связано несколько терминов, производных от имени Чевы: чевиан (линии $AD, BE, CF$ — это чевиан $О$ ), чевианский треугольник (треугольник $△ DEF$ — чевианский треугольник $О$ ); чевианское гнездо, антицевиев треугольник, конъюгат Сева. ( Сева произносится как Чайва; Чевиан произносится как Чевиан.)

Теорема очень похожа на теорему Менелая тем, что их уравнения различаются только знаком. Переписав каждую в терминах перекрестных отношений , обе теоремы можно рассматривать как проективно-двойственные . ^{[ 2 ]}

Доказательства

Было дано несколько доказательств теоремы. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Ниже приведены два доказательства.

Первый из них очень элементарен и использует только основные свойства треугольных площадей. ^{[ 3 ]} необходимо рассмотреть несколько случаев в зависимости от положения точки $О.$ Однако

Второе доказательство использует барицентрические координаты и векторы , но оно более естественно и не зависит от регистра. Более того, он работает в любой аффинной плоскости над любым полем .

Использование треугольных областей

Во-первых, знак левой части положительный, поскольку либо все три отношения положительны, случай, когда $O$ находится внутри треугольника (верхняя диаграмма), либо одно положительное, а два других отрицательные, $O$ случай вне треугольника (на нижней диаграмме показан один случай).

Чтобы проверить величину, обратите внимание, что площадь треугольника данной высоты пропорциональна его основанию. Так

{\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.

Поэтому,

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.

(Замените минус плюсом, если $A$ и $O$ находятся на противоположных сторонах от $BC$ .) Сходным образом,

{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},

и

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.

Умножение этих трех уравнений дает

\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,

по мере необходимости.

Теорему также можно легко доказать, используя теорему Менелая . ^{[ 5 ]} Из поперечной $BOE$ треугольника $△ ACF$ ,

{\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1

и из трансверсальной $AOD$ треугольника $△ BCF$ ,

{\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.

Теорема получается путем разделения этих двух уравнений.

Обратное следует как следствие. ^{[ 3 ]} Пусть $D, E, F$ заданы на прямых $BC, AC, AB,$ так что уравнение выполняется. Пусть $AD, BE$ встречаются в точке $O$ и пусть $F'$ — точка, где $CO$ пересекает $AB$ . Тогда по теореме уравнение справедливо и для $D, E, F'$ . Сравнивая эти два,

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}

Но не более одной точки можно разрезать отрезок в заданном соотношении, поэтому $F = F'$ .

Использование барицентрических координат

Учитывая три точки $A, B, C,$ которые не лежат на одной прямой , и точку $O$ , принадлежащую одной плоскости , барицентрические координаты O $относительно$ A $, B, C$ являются уникальными тремя числами. $\lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}$ такой, что

\lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,

и

{\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},

для каждой точки $X$ (определение этого обозначения стрелки и дополнительную информацию см. в разделе Аффинное пространство ).

По теореме Чевы предполагается, что точка $О$ не принадлежит ни одной прямой, проходящей через две вершины треугольника. Это означает, что $\lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.$

Если принять за $X$ пересечение $F$ прямых $AB$ и $OC$ (см. рисунки), то последнее уравнение можно переписать в виде

{\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.

Левая часть этого уравнения представляет собой вектор, имеющий то же направление, что и линия $CF$ , а правая часть имеет то же направление, что и линия $AB$ . Эти прямые имеют разные направления, поскольку $A, B, C$ не лежат на одной прямой. Отсюда следует, что два члена уравнения равны нулевому вектору, и

\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.

Отсюда следует, что

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},

где левая дробь — это знаковое отношение длин коллинеарных отрезков $AF$ и $FB$ .

Те же рассуждения показывают

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.

Теорема Чевы получается сразу же после произведения трех последних уравнений.

Обобщения

Теорему можно обобщить на симплексы более высокой размерности, используя барицентрические координаты . Определите чевиан $n$ -симплекса как луч от каждой вершины до точки на противоположной ( $n - 1$ )-грани ( фасете ). Тогда чевианы являются параллельными тогда и только тогда, когда распределение масс вершинам можно приписать такое , что каждый чевиан пересекает противоположную грань в своем центре масс . При этом точка пересечения чевианов является центром масс симплекса. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

более высокой размерности Другое обобщение на симплексы расширяет вывод теоремы Чевы о том, что произведение определенных отношений равно 1. Начиная с точки в симплексе, точка определяется индуктивно на каждой $k$ -грани. Эта точка является основанием чевиана, идущего из вершины, противоположной $k$ -грани, в ( $k + 1$ )-грани, содержащей ее, через точку, уже определенную на этой ( $k + 1$ )-грани. Каждая из этих точек делит лицо, на котором она лежит, на доли. Учитывая цикл пар долей, произведение отношений объемов долей в каждой паре равно 1. ^{[ 8 ]}

Теорема Рауса дает площадь треугольника, образованного тремя чевианами в случае, если они не совпадают. Из нее можно получить теорему Чевы, приравняв площадь нулю и решив.

Аналог теоремы для общих многоугольников на плоскости известен с начала XIX века. ^{[ 9 ]} Теорема также была обобщена на треугольники на других поверхностях постоянной кривизны . ^{[ 10 ]}

Теорема также имеет известное обобщение на сферическую и гиперболическую геометрию, заменяющее длины в отношениях их синусами и гиперболическими синусами соответственно.

См. также

Ссылки

^ Холм, Аудун (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Спрингер. п. 210 . ISBN 978-3-642-14440-0 .
^ Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Рассел, Джон Уэлсли (1905). «Глава 1 §7 Теорема Чевы». Чистая геометрия . Кларендон Пресс.
^ Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд (1996), «Сложные проблемы геометрии» , страницы 177–180, Dover Publishing Co., второе исправленное издание.
^ Следует Хопкинс, Джордж Ирвинг (1902). «Ст. 986». Индуктивная плоская геометрия . округ Колумбия Хит и Ко.
^ Лэнди, Стивен (декабрь 1988 г.). «Обобщение теоремы Чевы на высшие измерения». Американский математический ежемесячник . 95 (10): 936–939. дои : 10.2307/2322390 . JSTOR 2322390 .
^ Вернике, Пауль (ноябрь 1927 г.). «Теоремы Чевы и Менелая и их расширение». Американский математический ежемесячник . 34 (9): 468–472. дои : 10.2307/2300222 . JSTOR 2300222 .
^ Самет, Дав (май 2021 г.). «Распространение теоремы Чевы на n -симплексы». Американский математический ежемесячник . 128 (5): 435–445. дои : 10.1080/00029890.2021.1896292 . S2CID 233413469 .
^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1995). «Цева, Менелай и принцип площади». Журнал «Математика» . 68 (4): 254–268. дои : 10.2307/2690569 . JSTOR 2690569 .
^ Масальцев Л.А. (1994). «Теоремы инцидентности в пространствах постоянной кривизны». Журнал математических наук . 72 (4): 3201–3206. дои : 10.1007/BF01249519 . S2CID 123870381 .

Дальнейшее чтение

Хогендейк, Дж.Б. (1995). «Аль-Мутаман ибн Худ, король Сарагосы 11 века и блестящий математик» . История Математики . 22 : 1–18. дои : 10.1006/hmat.1995.1001 .

Внешние ссылки

Менелай и Сева в MathPages
Выводы и приложения теоремы Чевы при разрубании узла
Тригонометрическая форма теоремы Чевы при разрубании узла
Глоссарий Энциклопедии центров треугольника включает определения чевианского треугольника, чевианского гнезда, антицевианского треугольника, конъюгата Сева и точки цева.
Коники, связанные с цевианским гнездом, Кларк Кимберлинг
Теорема Чевы Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Wolfram .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Чевы» . Математический мир .
Экспериментальное нахождение центроида треугольника с разными весами в вершинах: практическое применение теоремы Чевы в Dynamic Geometry Sketches , интерактивном эскизе динамической геометрии с использованием гравитационного симулятора Золушки.
«Теорема Чевы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Холм, Аудун (2010). Геометрия: наше культурное наследие . Спрингер. п. 210 . ISBN 978-3-642-14440-0 .

[2] Бенитес, Хулио (2007). «Единое доказательство теорем Чевы и Менелая с использованием проективной геометрии» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 11 (1): 39–44.

[r1-3] Jump up to: ^а ^б ^с Рассел, Джон Уэлсли (1905). «Глава 1 §7 Теорема Чевы». Чистая геометрия . Кларендон Пресс.

[4] Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд (1996), «Сложные проблемы геометрии» , страницы 177–180, Dover Publishing Co., второе исправленное издание.

[5] Следует Хопкинс, Джордж Ирвинг (1902). «Ст. 986». Индуктивная плоская геометрия . округ Колумбия Хит и Ко.

[6] Лэнди, Стивен (декабрь 1988 г.). «Обобщение теоремы Чевы на высшие измерения». Американский математический ежемесячник . 95 (10): 936–939. дои : 10.2307/2322390 . JSTOR 2322390 .

[7] Вернике, Пауль (ноябрь 1927 г.). «Теоремы Чевы и Менелая и их расширение». Американский математический ежемесячник . 34 (9): 468–472. дои : 10.2307/2300222 . JSTOR 2300222 .

[8] Самет, Дав (май 2021 г.). «Распространение теоремы Чевы на n -симплексы». Американский математический ежемесячник . 128 (5): 435–445. дои : 10.1080/00029890.2021.1896292 . S2CID 233413469 .

[9] Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1995). «Цева, Менелай и принцип площади». Журнал «Математика» . 68 (4): 254–268. дои : 10.2307/2690569 . JSTOR 2690569 .

[10] Масальцев Л.А. (1994). «Теоремы инцидентности в пространствах постоянной кривизны». Журнал математических наук . 72 (4): 3201–3206. дои : 10.1007/BF01249519 . S2CID 123870381 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]