Медиана (геометрия)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Triangle.Centroid.svg/220px-Triangle.Centroid.svg.png)
В геометрии медиана соединяющий треугольника — это отрезок, вершину с серединой противоположной стороны и делящий эту сторону пополам. треугольника Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центроиде . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол при вершине, две смежные стороны которого равны по длине. Понятие медианы распространяется и на тетраэдры .
Отношение к центру масс [ править ]
Каждая медиана треугольника проходит через центр тяжести треугольника , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. [1] Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе вдоль любой медианы к стороне, где медиана пересекается, чем к вершине, из которой она исходит.
Равновеликое деление [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Triangle.Centroid.Median.png/300px-Triangle.Centroid.Median.png)
Каждая медиана делит площадь треугольника пополам; отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект с одинаковой плотностью будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, делящие площадь треугольника на две равные части, не проходят через центр тяжести.) [2] [3] Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников одинаковой площади .
Доказательство равновеликой собственности [ править ]
Рассмотрим треугольник АВС . Пусть D — середина , E — середина , F — середина , а O — центр тяжести (чаще всего обозначается G ).
По определению, . Таким образом и , где представляет собой площадь треугольника ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания одинаковой длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине произведения его основания на его высоту.
У нас есть:
Таким образом, и
С , поэтому, . Используя тот же метод, можно показать, что .
Три равных треугольника [ править ]
В 2014 году Ли Саллоуз обнаружил следующую теорему: [4]
- Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как показано на рисунке выше, где три соседние пары треугольников встречаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре повернуты вокруг общей средней точки до тех пор, пока они не встречаются так, чтобы иметь общую сторону, то три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, конгруэнтны.
медиан , Формулы включающие длины
Длины медиан можно получить из теоремы Аполлония как:
Эти формулы подразумевают соотношения: [5]
Другая недвижимость [ править ]
Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центр тяжести и пусть D , E и F — середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда [6]
Центроид делит каждую медиану на части в соотношении 2:1, причем центроид находится в два раза ближе к середине стороны, чем к противоположной вершине.
Для любого треугольника со сторонами и медианы [7]
Медианы от сторон длин и перпендикулярны когда тогда и только тогда, [8]
Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой удовлетворить
Площадь любого треугольника T можно выразить через его медианы. , и следующее. Если их полусумма обозначается затем [9]
Тетраэдр [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Tetrahedron_centroid_gimp.png/280px-Tetrahedron_centroid_gimp.png)
Тетраэдр объект , — трехмерный имеющий четыре треугольные грани . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Есть четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. [10] Как и в двумерном случае, центр тяжести тетраэдра является центром масс . Однако в отличие от двумерного случая центроид делит медианы не в соотношении 2:1, а в соотношении 3:1 ( теорема Коммандино ).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. (2010). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . ЦРК Пресс. стр. 375–377. ISBN 9781420035223 .
- ^ Боттомли, Генри. «Медианы и биссектрисы треугольника» . Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 27 сентября 2013 г.
- ^ Данн, Дж. А., и Претти, Дж. Э., «Разделение треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., 105–108. DOI 10.2307/3615256. Архивировано 5 апреля 2023 г. в Wayback Machine.
- ^ Саллоуз, Ли (2014). «Теорема треугольника» . Журнал «Математика» . 87 (5): 381. doi : 10.4169/math.mag.87.5.381 . ISSN 0025-570X .
- ^ Депланш, Ю. (1996). Формулы Диччио . Медианы треугольника. Эдунса. п. 22. ISBN 978-84-7747-119-6 . Проверено 24 апреля 2011 г.
- ^ Задача 12015, American Mathematical Monthly, том 125, январь 2018 г., DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
- ^ Посаментье, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т., Сложные проблемы геометрии , Дувр, 1996: стр. 86–87.
- ^ Боскофф, Хоментковски и Сучава (2009), Математический вестник , примечание 93.15.
- ^ Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
- ^ Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.
Внешние ссылки [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Медианы в развязке
- Площадь срединного треугольника в момент разрезания узла
- Медианы треугольника С интерактивной анимацией
- построения медианы треугольника с помощью циркуля и линейки Анимационная демонстрация
- Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника» . Математический мир .