Автомедиан треугольник

В плоской геометрии автомедианный треугольник — это треугольник , в котором длины трёх медиан (отрезков линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны) пропорциональны длинам трёх сторон в разном порядке. Три медианы автомедианного треугольника можно переложить , чтобы образовать стороны второго треугольника, аналогичного первому .

Характеристика

Длины сторон автомедианного треугольника удовлетворяют формуле $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ или ее перестановку, аналогичную теореме Пифагора, характеризующую прямоугольные треугольники как треугольники, удовлетворяющие формуле $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .Эквивалентно, чтобы три числа $a$ , $b$ , и $c$ стороны автомедианного треугольника, последовательность трех квадратов длин сторон $b^{2}$ , $a^{2}$ , и $c^{2}$ должно образовывать арифметическую прогрессию . ^[1]

Конструкция из прямоугольных треугольников

Если $x$ , $y$ , и $z$ — это три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания размера, и если $2x<z$ , затем $z$ , $x+y$ , и $y-x$ являются тремя сторонами автомедианного треугольника. Например, из прямоугольного треугольника со сторонами 5, 12 и 13 можно таким образом сформировать автомедианный треугольник со сторонами 13, 17 и 7. ^[2]

Условие, которое $2x<z$ необходимо: если оно не встретилось, то три цифры $a=z$ , $b=x+y$ , и $c=y-x$ все равно будет удовлетворять уравнению $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ характеризующие автомедианные треугольники, но они не удовлетворяли неравенству треугольника и не могли быть использованы для формирования сторон треугольника.

Следовательно, используя формулу Эйлера , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники (т. е. со сторонами, не имеющими общего множителя) как ${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}$ с $m$ и $n$ сопростые, $m+n$ нечетным и удовлетворять неравенству треугольника $n<m<n{\sqrt {3}}$ (если количество внутри знаков абсолютного значения отрицательное) или $m>(2+{\sqrt {3}})n$ (если эта величина положительна). Тогда медианы этого треугольника $t_{a},t_{b},t_{c}$ находятся с помощью приведенных выше выражений для его сторон в общей формуле для медиан : $t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},$ где второе уравнение в каждом случае отражает автомедианный признак $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Отсюда видно соотношение сходства ${\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.$

Существует примитивный автомедианный треугольник с целыми сторонами, который не порождается прямоугольным треугольником: а именно, равносторонний треугольник со сторонами единичной длины.

Примеры

Существует 18 примитивных целочисленных автомедианов треугольников, показанных здесь как тройки сторон. $(a,b,c)$ , с $b\leq 200$ :

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

Например, (26, 34, 14) не является примитивной автомедианой тройкой, поскольку она кратна (13, 17, 7) и не указана выше.

Дополнительные свойства

Если $\Delta (a,b,c)$ - площадь автомедианного треугольника по формуле Герона $\Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).$ ^[3]

Линия Эйлера автомедианного треугольника перпендикулярна медиане к стороне. $a$ . ^[2]

Если медианы автомедианного треугольника продлены до описанной окружности треугольника, то три точки $LMN$ где расширенные медианы пересекаются с описанной окружностью, образуют равнобедренный треугольник . Треугольники, для которых этот второй треугольник $LMN$ равнобедренные - это в точности те треугольники, которые сами являются либо равнобедренными, либо автомедианными. Это свойство автомедианных треугольников контрастирует с теоремой Штейнера-Лемуса , согласно которой единственные треугольники, у которых две биссектрисы имеют одинаковую длину, являются равнобедренными треугольниками. ^[2]

Кроме того, предположим, что $ABC$ – автомедианный треугольник, вершина которого $A$ стоит напротив стороны $a$ . Позволять $G$ быть точкой, где три медианы $ABC$ пересекаются, и пусть $AL$ быть одной из расширенных медиан $ABC$ , с $L$ лежащий на окружности $ABC$ . Затем $BGCL$ это параллелограмм , два треугольника $BGL$ и $CLG$ на которые его можно подразделить, подобны $ABC$ , $G$ это середина $AL$ , а линия Эйлера треугольника является серединным перпендикуляром треугольника. $AL$ . ^[2]

При генерации примитивного автомедианного треугольника из примитивной пифагоровой тройки с использованием евклидовых параметров $m,n$ , затем $m>n$ и отсюда следует, что $b\geq a\geq c$ . Поскольку непримитивные автомедианные треугольники кратны своим примитивам, неравенства сторон применимы ко всем целочисленным автомедианным треугольникам. Равенство имеет место только для тривиальных равносторонних треугольников. Кроме того, поскольку $m+n$ всегда странно, все стороны $a,b,c$ должно быть странным. Этот факт позволяет автомедианным тройкам иметь стороны и периметр только простых чисел. Например, (13, 17, 7) имеет периметр 37.

Поскольку в примитивном автомедианом треугольнике сторона $a$ является суммой двух квадратов и равна гипотенузе порождающей примитивной тройки Пифагора, она делится только на простые числа, конгруэнтные 1 (по модулю 4). Следовательно, $a$ должно быть конгруэнтно 1 (по модулю 4).

Аналогично, поскольку стороны связаны соотношением $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ , каждая из сторон $b$ и $c$ в примитивной автомедиане — это разница между удвоенным квадратом и квадратом. Они также являются суммой и разностью катетов примитивной пифагорейской тройки. Это ограничивает $b$ и $c$ делиться только на простые числа, конгруэнтные ±1 (по модулю 8). Следовательно, $b$ и $c$ должно быть конгруэнтно ±1 (по модулю 8). ^[4]

История

Изучение целочисленных квадратов в арифметической прогрессии имеет долгую историю, восходящую к Диофанту и Фибоначчи ; оно тесно связано с конгруа — числами, которые могут быть разностями квадратов в такой прогрессии. ^[1] Однако связь между этой проблемой и автомедианными треугольниками возникла гораздо позже. Проблема характеристики автомедианных треугольников была поставлена в конце 19 века в « Education Times » (на французском языке) Жозефом Жаном Батистом Нойбергом и решена там с помощью формулы $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ Уильям Джон Гринстрит . ^[5]

Особые случаи

Если не считать тривиальных случаев равносторонних треугольников, треугольник с длинами сторон 17, 13 и 7 является наименьшим (по площади или периметру) автомедианным треугольником с целыми длинами сторон. ^[2]

Существует только один автомедианный прямоугольный треугольник, треугольник с длинами сторон, пропорциональными 1, квадратным корнем из 2 и квадратным корнем из 3 . ^[2] Этот треугольник является вторым треугольником в спирали Теодора . Это единственный прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны друг другу. ^[2]

См. также

срединный треугольник
Целочисленный треугольник
Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, в котором квадраты длин сторон образуют геометрическую прогрессию, а не арифметическую прогрессию.

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Леонард Юджин (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии $х 2 + я 2 = 2 года 2$ « , История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN. 978-0-8218-1935-7 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Парри, К.Ф. (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .
^ Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
^ Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A001132» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
^ «Проблема 12705», «Математические вопросы и решения» из «Educational Times», том I , Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78 . Первоначально опубликовано в Educational Times 71 (1899), стр. 56

Внешние ссылки

Автомедианы треугольники и магические квадраты Математические страницы К.С. Брауна

[dickson-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Леонард Юджин (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии $х 2 + я 2 = 2 года 2$ « , История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN. 978-0-8218-1935-7 .

[parry-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Парри, К.Ф. (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR 3620241 .

[3] Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.

[4] Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A001132» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[5] «Проблема 12705», «Математические вопросы и решения» из «Educational Times», том I , Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78 . Первоначально опубликовано в Educational Times 71 (1899), стр. 56

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]