Конгруэнтный

Два прямоугольных треугольника с катетом и гипотенузой (7,13) и (13,17) имеют равные третьи стороны. ${\sqrt {120}}$ . Квадрат этой стороны, 120, представляет собой конгруум: это разница между последовательными значениями в арифметической прогрессии квадратов 7. ², 13 ², 17 ². Аналогично, два кольца между тремя желтыми кругами имеют равные площади, $в π$ раз превышающие конгруум.

В теории чисел конгруум разность (множественное число конгруа ) — это между последовательными квадратными числами в арифметической прогрессии из трех квадратов.То есть, если $x^{2}$ , $y^{2}$ , и $z^{2}$ (для целых чисел $x$ , $y$ , и $z$ ) — это три квадратных числа, находящихся на равном расстоянии друг от друга, то расстояние между ними, $z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}$ , называется фитингом

— Задача конгруума это задача нахождения квадратов в арифметической прогрессии и связанных с ними конгруумов. ^[1] Его можно формализовать как диофантово уравнение : найдите целые числа. $x$ , $y$ , и $z$ такой, что $y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.$ Когда это уравнение удовлетворяется, обе части уравнения равны конгрууму.

Фибоначчи решил проблему конгруума, найдя параметризованную формулу для создания всех конгруумов вместе с соответствующими им арифметическими прогрессиями. Согласно этой формуле, каждое конгруум в четыре раза превышает площадь треугольника Пифагора . Конгруа также тесно связаны с конгруэнтными числами : каждое конгруум — это конгруэнтное число, а каждое конгруум — это конгруум, умноженный на квадрат рационального числа.

Примеры

Например, число 96 является конгруумом, поскольку оно представляет собой разницу между соседними квадратами в последовательности 4, 100 и 196 (квадраты 2, 10 и 14 соответственно).

Первые несколько конгруа:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (последовательность A256418 в OEIS ).

История

Задача о конгрууме была первоначально поставлена в 1225 году в рамках математического турнира, проводимого Фридрихом II, императором Священной Римской империи , и на нее правильно ответил в то время Фибоначчи , который записал свою работу над этой проблемой в своей « Книге квадратов» . ^[2]

Фибоначчи уже знал, что конгруум не может быть квадратом, но не дал удовлетворительного доказательства этого факта. ^[3] Геометрически это означает, что пара катетов треугольника Пифагора не может быть катетом и гипотенузой другого треугольника Пифагора. Доказательство в конечном итоге было дано Пьером де Ферма , и результат теперь известен как теорема Ферма о прямоугольном треугольнике . Ферма также предположил, а Леонард Эйлер доказал, что в арифметической прогрессии не существует последовательности из четырех квадратов. ^[4]^[5]

Параметризованное решение

Задачу о конгрууме можно решить, выбрав два различных положительных целых числа. $m$ и $n$ (с $m>n$ ); тогда число $4mn(m^{2}-n^{2})$ является конгруумом. Средний квадрат связанной арифметической прогрессии квадратов равен $(m^{2}+n^{2})^{2}$ , а два других квадрата можно найти путем прибавления или вычитания конгруума. Кроме того, умножение конгруума на число квадратов дает другое конгруум, прогрессия квадратов которого умножается на тот же коэффициент. Все решения возникают одним из этих двух способов. ^[1] Например, конгруум 96 можно построить по этим формулам с $m=3$ и $n=1$ , а конгруум 216 получается умножением меньшего конгруума 24 на квадрат номер 9.

Эквивалентная формулировка этого решения, данная Бернаром Френиклем де Бесси , состоит в том, что для трех квадратов в арифметической прогрессии $x^{2}$ , $y^{2}$ , и $z^{2}$ , среднее число $y$ — гипотенуза треугольника Пифагора , а два других числа $x$ и $z$ являются разностью и суммой соответственно двух катетов треугольника. ^[6] Само конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника Пифагора. Пример арифметической прогрессии с конгруумом 96 можно получить таким образом из прямоугольного треугольника с длинами стороны и гипотенузы 6, 8 и 10.

Отношение к совпадающим числам

Соответствующее число определяется как площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами.Поскольку каждое конгруум можно получить (используя параметризованное решение) как площадь пифагорова треугольника, отсюда следует, что каждое конгруум конгруэнтно. И наоборот, каждое соответствующее число является конгруумом, умноженным на квадрат рационального числа. ^[7] Однако проверить, является ли число конгруумом, гораздо проще, чем проверить, конгруэнтно ли число. Для задачи конгруума параметризованное решение сводит эту проблему тестирования к проверке конечного набора значений параметров. Напротив, для задачи о конгруэнтных числах конечная процедура тестирования известна только предположительно, посредством теоремы Таннелла , в предположении, что гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера верна. ^[8]

См. также

Автомедиановый треугольник — треугольник, у которого квадраты на трёх сторонах образуют арифметическую прогрессию.
Спираль Теодора , образованная прямоугольными треугольниками, чьи (нецелые) стороны в квадрате образуют бесконечную арифметическую прогрессию.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 77, ISBN 978-0-471-66700-1 .
^ Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: от древних времен до 1300 года , Infobase Publishing, стр. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7 .
^ Оре, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история , Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1 .
^ Эриксон, Мартин Дж. (2011), Красивая математика , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 94–95, ISBN 978-0-88385-576-8 .
^ Доказательство Эйлера написано нечетко. Элементарное доказательство приведено в Браун, Кевин, «В арифметической прогрессии нет четырех квадратов» , MathPages , получено 6 декабря 2014 г.
^ Бейлер, Альберт Х. (1964), Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает , Courier Corporation, стр. 153, ISBN 978-0-486-21096-4 .
^ Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Задача о конгруэнтных числах» (PDF) , Математическое обозрение Гарвардского колледжа , 2 (2): 58–73, заархивировано из оригинала (PDF) 20 января 2013 г.
^ Коблиц, Нил (1984), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Тексты для аспирантов по математике, вып. 97, Шпрингер-Верлаг, ISBN 0-387-97966-2

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Задача о конгрууме» , MathWorld

[ubm-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 77, ISBN 978-0-471-66700-1 .

[2] Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: от древних времен до 1300 года , Infobase Publishing, стр. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7 .

[3] Оре, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история , Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1 .

[4] Эриксон, Мартин Дж. (2011), Красивая математика , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 94–95, ISBN 978-0-88385-576-8 .

[5] Доказательство Эйлера написано нечетко. Элементарное доказательство приведено в Браун, Кевин, «В арифметической прогрессии нет четырех квадратов» , MathPages , получено 6 декабря 2014 г.

[6] Бейлер, Альберт Х. (1964), Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает , Courier Corporation, стр. 153, ISBN 978-0-486-21096-4 .

[7] Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Задача о конгруэнтных числах» (PDF) , Математическое обозрение Гарвардского колледжа , 2 (2): 58–73, заархивировано из оригинала (PDF) 20 января 2013 г.

[8] Коблиц, Нил (1984), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Тексты для аспирантов по математике, вып. 97, Шпрингер-Верлаг, ISBN 0-387-97966-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]