Разница двух квадратов

В математике разность двух квадратов — это квадрат (умноженный на себя) числа, вычтенный из другого квадрата числа. Любую разность квадратов можно разложить по тождеству

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

по элементарной алгебре .

Доказательство

Доказательство факторизационного тождества несложно. Начиная с правой части , примените распределительный закон , чтобы получить

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$

По коммутативному закону два средних члена сокращаются:

$ba-ab=0$

уход

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Полученное тождество является одним из наиболее часто используемых в математике. Среди многих применений он дает простое доказательство неравенства AM – GM с двумя переменными.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце .

Обратно, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b , то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, примените закон распределения к правой части уравнения и получите

$a^{2}+ba-ab-b^{2}$.

Чтобы это было равно $a^{2}-b^{2}$, мы должны иметь

$ba-ab=0$

для всех пар a , b , поэтому R коммутативен.

Геометрические демонстрации

Разницу двух квадратов можно также геометрически проиллюстрировать как разность площадей двух квадратов на плоскости . На диаграмме заштрихованная часть представляет собой разницу между площадями двух квадратов, т.е. $a^{2}-b^{2}$. Площадь заштрихованной части можно найти, сложив площади двух прямоугольников; $a(a-b)+b(a-b)$, который можно факторизовать до $(a+b)(a-b)$. Поэтому, $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Другое геометрическое доказательство происходит следующим образом: мы начинаем с фигуры, показанной на первой диаграмме ниже, — большого квадрата, из которого удален квадрат поменьше. Сторона всего квадрата равна а, а сторона удаленного маленького квадрата равна b. Площадь заштрихованной области равна $a^{2}-b^{2}$. Делается разрез, разделяющий область на две прямоугольные части, как показано на второй схеме. Большая часть вверху имеет ширину a и высоту ab. Меньшая часть внизу имеет ширину ab и высоту b. Теперь меньшую часть можно отсоединить, повернуть и разместить справа от большей части. В этом новом расположении, показанном на последней диаграмме ниже, две части вместе образуют прямоугольник, ширина которого равна $a+b$ и чья высота $a-b$. Площадь этого прямоугольника равна $(a+b)(a-b)$. Поскольку этот прямоугольник возник в результате перестановки исходной фигуры, он должен иметь ту же площадь, что и исходная фигура. Поэтому, $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Использует

Факторизация многочленов и упрощение выражений

Формулу разности двух квадратов можно использовать для факторизации многочленов , содержащих квадрат первой величины минус квадрат второй величины. Например, полином $x^{4}-1$ можно факторизовать следующим образом:

$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$

В качестве второго примера, первые два члена $x^{2}-y^{2}+x-y$ может быть факторизован как $(x+y)(x-y)$, поэтому мы имеем:

$x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)$

Более того, эту формулу можно использовать и для упрощения выражений:

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab$

Комплексное число: сумма двух квадратов

Разность двух квадратов используется для нахождения линейных коэффициентов суммы двух квадратов с использованием комплексных чисел коэффициентов .

Например, комплексные корни $z^{2}+4$ можно найти по разности двух квадратов:

$z^{2}+4$

$=z^{2}-4i^{2}$ (с $i^{2}=-1$)

$=z^{2}-(2i)^{2}$

$=(z+2i)(z-2i)$

Следовательно, линейные факторы равны $(z+2i)$ и $(z-2i)$.

Поскольку два множителя, найденные этим методом, являются комплексно-сопряженными , мы можем использовать этот метод в обратном порядке как метод умножения комплексного числа для получения действительного числа. Это используется для получения действительных знаменателей в сложных дробях.

Рационализация знаменателей

Разность двух квадратов также можно использовать рационализации иррациональных при знаменателей . Это метод удаления из выражений лишних слов (или хотя бы их перемещения), применимый к делению на некоторые комбинации, включающие квадратные корни .

Например:Знаменатель ${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$ можно рационализировать следующим образом:

${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$

$={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}$

$=-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.$

Здесь иррациональный знаменатель ${\sqrt {3}}+4$ был рационализирован, чтобы $13$.

Ментальная арифметика

Основная статья: Алгоритм умножения § Умножение на четверть квадрата

Разность двух квадратов также можно использовать в качестве арифметического сокращения. Если умножить два числа (среднее значение которых представляет собой число, которое легко возвести в квадрат), разницу двух квадратов можно использовать для получения произведения исходных двух чисел.

Например:

$27\times 33=(30-3)(30+3)$

Используя разницу двух квадратов, $27\times 33$ можно переформулировать как

$a^{2}-b^{2}$ который $30^{2}-3^{2}=891$.

Разница двух последовательных идеальных квадратов

Разность двух последовательных полных квадратов равна сумме двух оснований n и n +1. Это можно увидеть следующим образом:

${\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}$

Следовательно, разность двух последовательных полных квадратов является нечетным числом. Аналогично, разница двух произвольных совершенных квадратов рассчитывается следующим образом:

${\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}$

Следовательно, разница двух четных совершенных квадратов кратна 4, а разница двух нечетных совершенных квадратов кратна 8.

Закон нечетных чисел Галилея

Закон нечетных чисел Галилея

являющийся ответвлением разницы последовательных квадратов, Закон нечетных чисел Галилея, гласит, что расстояние, пройденное объектом, падающим без сопротивления в условиях равномерной гравитации в последовательные равные промежутки времени, линейно пропорционально нечетным числам. То есть, если падающее из состояния покоя тело за произвольный промежуток времени пройдет определенное расстояние, то за последующие промежутки времени такой же длины оно преодолеет в 3, 5, 7 и т. д. раз это расстояние.

Из уравнения равномерного линейного ускорения видно пройденное расстояние

$$s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$$

для начальной скорости $u=0,$ постоянное ускорение $a$ (ускорение силы тяжести без сопротивления воздуха) и прошедшее время $t,$ отсюда следует, что расстояние $s$ пропорционально $t^{2}$ (в символах, $s\propto t^{2}$), таким образом, расстояние от начальной точки представляет собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени.

Факторизация целых чисел

Некоторые алгоритмы в теории чисел и криптографии используют разность квадратов для поиска множителей целых чисел и обнаружения составных чисел. Простой пример — метод факторизации Ферма , который рассматривает последовательность чисел $x_{i}:=a_{i}^{2}-N$, для $a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i$. Если один из $x_{i}$ равен идеальному квадрату $b^{2}$, затем $N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)$ является (потенциально нетривиальной) факторизацией $N$.

Этот трюк можно обобщить следующим образом. Если $a^{2}\equiv b^{2}$ против $N$ и $a\not \equiv \pm b$ против $N$, затем $N$ является составным с нетривиальными факторами $\gcd(a-b,N)$ и $\gcd(a+b,N)$. Это составляет основу нескольких алгоритмов факторизации (таких как квадратичное решето ) и может быть объединено с тестом простоты Ферма, чтобы получить более сильный тест простоты Миллера-Рабина .

Обобщения

Векторы a (фиолетовый), b (голубой) и a + b (синий) показаны стрелками.

Тождество также сохраняется в пространствах внутренних произведений над полем действительных чисел , например, для скалярного произведения евклидовых векторов :

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {a} }-{\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {b} }=({\mathbf {a} }+{\mathbf {b} })\cdot ({\mathbf {a} }-{\mathbf {b} })$

Доказательство идентично. В частном случае, когда a и b имеют равные нормы (что означает, что квадраты их точек равны), это аналитически что две диагонали ромба перпендикулярны демонстрирует тот факт , . Это следует из того, что левая часть уравнения равна нулю, что требует, чтобы правая часть также была равна нулю, и поэтому векторная сумма a + b (длинная диагональ ромба), усеянная точками векторной разности a - b ( короткая диагональ ромба) должна равняться нулю, что означает, что диагонали перпендикулярны.

Разница двух n-ных степеней

Наглядное доказательство различий между двумя квадратами и двумя кубами

Если a и b — два элемента коммутативного кольца R , то

$$a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.$$

История

Исторически вавилоняне использовали разницу двух квадратов для вычисления умножения.

Например:

93 × 87 = 90² − 3² = 8091

64 × 56 = 60² − 4² = 3584

См. также

• Сумма двух кубов
• Биномиальное число
• Личность Софи Жермен
• Факторизация Орифейля
• Congruum , общая разность трех квадратов в арифметической прогрессии.
• Сопряженное (алгебра)
• Факторизация

Ссылки

• Стэнтон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики . Издательство информационной базы. п. 131. ИСБН  0-8160-5124-0 .
• Тусси, Алан С.; Густафсон, Рой Дэвид (2011). Элементарная алгебра (5-е изд.). Cengage Обучение. стр. 467–469. ISBN  978-1-111-56766-8 .

Внешние ссылки

• разница двух квадратов на mathpages.com