Сумма двух кубов

Наглядное доказательство формул суммы и разности двух кубов

В математике сумма двух кубов — это возведенное в куб число, добавленное к другому возведенному в куб числу.

Факторизация

Любую сумму кубов можно разложить по тождеству $$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$$по элементарной алгебре .

Биномиальные числа обобщают эту факторизацию на более высокие нечетные степени.

«МОЛОЧНЫЙ» метод

Мнемоника «SOAP», обозначающая «То же самое , противоположное, всегда положительное», иногда используется для запоминания правильного размещения символов сложения и вычитания при факторизации кубов. При применении этого метода к факторизации «Тот же» представляет первый член с тем же знаком, что и исходное выражение, «Противоположный» представляет второй член со знаком, противоположным исходному выражению, а «Всегда положительный» представляет третий член и всегда положительный.

	оригинальный знак		Такой же		Противоположный ​		Всегда ​ Позитивный ​
$a^{3}$	$+$	$b^{3}\quad =\quad (a$	$+$	$b)(a^{2}$	$-$	$ab$	$+$	$b^{2})$
$a^{3}$	$-$	$b^{3}\quad =\quad (a$	$-$	$b)(a^{2}$	$+$	$ab$	$+$	$b^{2})$

Доказательство

Начиная с выражения, $a^{2}-ab+b^{2}$ умножается на a и b $$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).$$Распределив a и b на $a^{2}-ab+b^{2}$, $$a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}$$и отменяя аналогичные условия, $$a^{3}+b^{3}$$

Аналогично для разности кубов: $${\begin{aligned}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}$$

Последняя теорема Ферма

Последняя теорема Ферма в случае показателя 3 гласит, что сумма двух ненулевых целочисленных кубов не дает ненулевого целочисленного куба. Первое зарегистрированное доказательство случая показателя 3 было дано Эйлером .

Номера такси и такси

Номера такси — это числа, которые можно выразить в виде суммы двух кубов натуральных чисел n различными способами. Наименьший номер такси после Ta(1) — 1729, выражается как

$1^{3}+12^{3}$ или $9^{3}+10^{3}$

Наименьший номер такси, выраженный тремя различными способами, равен 87 539 319, выраженный как

$436^{3}+167^{3}$, $423^{3}+228^{3}$ или $414^{3}+255^{3}$

Числа такси — это числа, которые можно выразить в виде суммы двух положительных или отрицательных целых чисел или 0 кубов n способами. Наименьший номер такси после Cabtaxi(1) равен 91, выражается как:

$3^{3}+4^{3}$ или $6^{3}-5^{3}$

Наименьший номер такси, выраженный тремя разными способами, — 4104. выражается как

$16^{3}+2^{3}$, $15^{3}+9^{3}$ или $-12^{3}+18^{3}$

См. также

• Разница двух квадратов
• Биномиальное число
• Личность Софи Жермен
• Факторизация Орифейля
• Последняя теорема Ферма

Дальнейшее чтение

• Броган, Кевин А. (январь 2003 г.). «Характеристика суммы двух кубов» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 (4): 46. Бибкод : 2003JIntS...6...46B .