Биномиальное число

В математике , особенно в теории чисел , биномиальное число — это целое число , которое можно получить путем вычисления однородного многочлена, содержащего два члена. Это обобщение числа Каннингема .

Определение

Биномиальное число — это целое число, полученное путем вычисления однородного многочлена , содержащего два члена, также называемого биномом . Форма этого бинома $x^{n}\!\pm y^{n}$ , с $x>y$ и $n>1$ . Однако, поскольку $x^{n}\!-y^{n}$ всегда делится на $x-y$ , при изучении чисел, полученных из версии со знаком минус, их обычно делят на $x-y$ первый. Биномиальные числа, образованные таким образом, образуют последовательности Люка . Конкретно:

U_{n}(a+b,ab)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}},

и

V_{n}(a+b,ab)=a^{n}\!+b^{n}

Биномиальные числа являются обобщением чисел Каннингема , и можно увидеть, что числа Каннингема являются биномиальными числами, где $y=1$ . Другими подмножествами биномиальных чисел являются числа Мерсенна и реедины .

Факторизация

Основной целью изучения этих чисел является получение их факторизации . Помимо алгебраических множителей , которые получаются путем факторизации базового многочлена (бинома), который использовался для определения числа, например, разности двух квадратов и суммы двух кубов , существуют и другие простые множители (называемые примитивными простыми множителями, потому что для данный $x^{n}\!\pm y^{n}$ они не факторизуют $x^{m}\!\pm y^{m}$ с $m<n$ ), которые происходят, казалось бы, случайно, и именно их ищет теоретик чисел.

Базовые биномы некоторых биномиальных чисел имеют факторизацию Орифейля , ^[1] которые могут помочь в нахождении простых факторов. Циклотомные полиномы также полезны при поиске факторизаций. ^[2]

Объем работы по поиску фактора значительно сокращается применением теоремы Лежандра. ^[3] Эта теорема утверждает, что все факторы биномиального числа имеют вид $kn+1$ если $n$ четный или $2kn+1$ если это странно .

Наблюдение

Некоторые люди пишут «биномиальное число», когда имеют в виду биномиальный коэффициент , но такое использование не является стандартным и не рекомендуется.

См. также

Каннингемский проект

Примечания

^ Ризель 1994 , с. 309
^ Ризель 1994 , с. 305
^ Ризель 1994 , с. 165

Ссылки

Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Прогресс в математике. Том. 126 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхаузер. ISBN 0-8176-3743-5 . Збл 0821.11001 .

Внешние ссылки

Биномиальное число в MathWorld

[1] Ризель 1994 , с. 309

[2] Ризель 1994 , с. 305

[3] Ризель 1994 , с. 165

[1]

[2]

[3]