Биномиальный (полиномиальный)

В алгебре бином многочлен — это , представляющий собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является мономом . Это самый простой вид разреженного полинома после мономов.

Определение

Бином – это многочлен, который представляет собой сумму двух мономов. Бином от одной неопределенной величины (также известный как одномерный бином) можно записать в виде

$ax^{m}-bx^{n},$

где a и b — числа , m и n — различные неотрицательные целые числа , а x — символ, который называется неопределенной или, по историческим причинам, переменной . В контексте полиномов Лорана , бином Лорана часто называемый просто биномом , определяется аналогичным образом, но показатели степени m и n могут быть отрицательными.

В более общем смысле бином можно записать как:

$a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

Примеры

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0.9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

Операции с простыми биномами

• Бином x ² − и ² , разность двух квадратов , можно разложить как произведение двух других биномов:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).$

Это частный случай более общей формулы:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}.$

При работе с комплексными числами это также можно расширить до:

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).$

• Произведение пары линейных биномов ( ax + b ) и ( cx + d ) представляет собой трехчлен :

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

• Бином, возведенный в степень n ^й мощность , представленная как ( x + y ) ^н может быть расширено с помощью биномиальной теоремы или, что то же самое, с помощью треугольника Паскаля . Например, квадрат ( x + y ) ² бинома ( x + y ) равна сумме квадратов двух членов и удвоенному произведению этих членов, то есть:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Числа (1, 2, 1), выступающие в качестве множителей для членов этого разложения, представляют собой биномиальные коэффициенты, расположенные на две строки ниже вершины треугольника Паскаля. Расширение н ^й мощность использует числа на n строк вниз от вершины треугольника.

• Применением приведенной выше формулы для квадрата бинома является « ( m , n ) -формула» для генерации троек Пифагора :

Для m < n пусть a = n ² − м ² , b = 2 mn и c = n ² + м ² ; затем ​ ² + б ² = с ² .

• Биномы, являющиеся суммами или разностями кубов, можно разложить на полиномы меньшей степени следующим образом:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

См. также

• Завершение площади
• Биномиальное распределение
• Список факториальных и биномиальных тем (содержащий большое количество связанных ссылок)

Ссылки

• Босток, Л .; Чендлер, С. (1978). Чистая математика 1 . Издательство Оксфордского университета . п. 36. ISBN  0-85950-092-6 .