Квазиоднородный полином

В алгебре многомерный полином

$f(x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }x^{\alpha }{\text{, where }}\alpha =(i_{1},\dots ,i_{r})\in \mathbb {N} ^{r}{\text{, and }}x^{\alpha }=x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{r}^{i_{r}},$

является квазиоднородным или взвешенным однородным , если существует r целых чисел $w_{1},\ldots ,w_{r}$, называемые весами переменных, такие, что сумма $w=w_{1}i_{1}+\cdots +w_{r}i_{r}$одинаково для всех ненулевых членов f . Эта сумма w является весом или степенью многочлена.

Термин «квазиоднородный» происходит от того факта, что многочлен f является квазиоднородным тогда и только тогда, когда

$f(\lambda ^{w_{1}}x_{1},\ldots ,\lambda ^{w_{r}}x_{r})=\lambda ^{w}f(x_{1},\ldots ,x_{r})$

для каждого $\lambda$ в любом поле, содержащем коэффициенты.

Полином $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ квазиоднороден с весами $w_{1},\ldots ,w_{r}$ если и только если

$f(y_{1}^{w_{1}},\ldots ,y_{n}^{w_{n}})$

является однородным полиномом $y_{i}$. В частности, однородный многочлен всегда квазиоднороден, все его веса равны 1.

Полином является квазиоднородным тогда и только тогда, когда все $\alpha$принадлежат одной и той же аффинной гиперплоскости . Поскольку многогранник Ньютона многочлена является выпуклой оболочкой множества $\{\alpha \mid a_{\alpha }\neq 0\},$ квазиоднородные многочлены также можно определить как многочлены, имеющие вырожденный многогранник Ньютона (здесь «вырожденный» означает «содержащийся в некоторой аффинной гиперплоскости»).

Введение

Рассмотрим полином $f(x,y)=5x^{3}y^{3}+xy^{9}-2y^{12}$, который не является однородным. Однако если вместо рассмотрения $f(\lambda x,\lambda y)$ мы используем пару $(\lambda ^{3},\lambda )$ чтобы проверить однородность, затем

$f(\lambda ^{3}x,\lambda y)=5(\lambda ^{3}x)^{3}(\lambda y)^{3}+(\lambda ^{3}x)(\lambda y)^{9}-2(\lambda y)^{12}=\lambda ^{12}f(x,y).$

Мы говорим, что $f(x,y)$ является квазиоднородным многочленом типа (3,1) , поскольку все его три пары ( i ₁ , i ₂ ) показателей (3,3) , (1,9) и (0,12) удовлетворяют линейному уравнению $3i_{1}+1i_{2}=12$. В частности, это говорит о том, что многогранник Ньютона $f(x,y)$ лежит в аффинном пространстве с уравнением $3x+y=12$ внутри $\mathbb {R} ^{2}$.

Приведенное выше уравнение эквивалентно этому новому: ${\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{12}}y=1$. Некоторые авторы предпочитаю использовать это последнее условие и предпочитаю говорить, что наш многочлен квазиоднороден типа $({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{12}})$.

Как отмечалось выше, однородный полином $g(x,y)$степени d — это просто квазиоднородный многочлен типа (1,1) ; в этом случае все его пары показателей будут удовлетворять уравнению $1i_{1}+1i_{2}=d$.

Определение

Позволять $f(x)$ — полином от r переменных $x=x_{1}\ldots x_{r}$с коэффициентами в коммутативном кольце R . Выразим его в виде конечной суммы

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\alpha }x^{\alpha },\alpha =(i_{1},\ldots ,i_{r}),a_{\alpha }\in \mathbb {R} .$

Будем говорить, что f квазиоднородна типа $\varphi =(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{r})$, $\varphi _{i}\in \mathbb {N}$, если существует какой-либо $a\in \mathbb {R}$ такой, что

$\langle \alpha ,\varphi \rangle =\sum _{k}^{r}i_{k}\varphi _{k}=a$

в любое время $a_{\alpha }\neq 0$.