Линейная функция (исчисление)

В исчислении и смежных областях математики линейная функция от действительных чисел к действительным числам — это функция, график которой (в декартовых координатах ) представляет собой невертикальную линию на плоскости. ^[1] Характерным свойством линейных функций является то, что при изменении входной переменной изменение выходного сигнала пропорционально изменению входного параметра.

Линейные функции связаны с линейными уравнениями .

Свойства [ править ]

Линейная функция — это полиномиальная функция , в которой переменная $x$ имеет степень не выше единицы: ^[2]

f(x)=ax+b

.

Такая функция называется линейной , потому что ее график — совокупность всех точек $(x,f(x))$ в декартовой плоскости — это линия . Коэффициент а называется наклоном функции и линии (см. ниже).

Если наклон $a=0$ , это постоянная функция $f(x)=b$ определяющая горизонтальную линию, которую некоторые авторы исключают из класса линейных функций. ^[3]При таком определении степень линейного полинома будет равна единице, а его график будет линией, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Однако в этой статье $a\neq 0$ требуется, поэтому постоянные функции будут считаться линейными.

Если $b=0$ тогда линейная функция называется однородной . Такая функция определяет линию, проходящую через начало системы координат, то есть точку $(x,y)=(0,0)$ . В текстах по продвинутой математике термин « линейная функция» часто обозначает конкретно однородные линейные функции, тогда как термин «аффинная функция» используется для общего случая, который включает в себя $b\neq 0$ .

Естественная область определения линейной функции $f(x)$ , набор разрешенных входных значений для $x$ — это весь набор действительных чисел , $x\in \mathbb {R} .$ Можно также рассматривать такие функции с $x$ в произвольном поле , взяв коэффициенты $a, b$ в этом поле.

График $y=f(x)=ax+b$ - это невертикальная линия, имеющая ровно одно пересечение с $осью y$ , ее $с y.$ точкой пересечения $(x,y)=(0,b).$ Значение $y$ -перехвата $y=f(0)=b$ также называется начальным значением $f(x).$ Если $a\neq 0,$ график представляет собой негоризонтальную линию, имеющую ровно одно пересечение с $осью x$ , $x .$ точкой пересечения $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ Значение $x$ -перехвата $x=-{\tfrac {b}{a}},$ решение уравнения $f(x)=0,$ называется корнем или нулем также $f(x).$

Наклон [ править ]

Наклон невертикальной линии — это число, которое измеряет , насколько круто наклонена линия (подъем-перебег). Если линия является графиком линейной функции $f(x)=ax+b$ , этот наклон определяется константой $a$ .

Наклон измеряет постоянную скорость изменения $f(x)$ на единицу изменение x : всякий раз, когда входной сигнал $x$ увеличивается на одну единицу, выходной сигнал изменяется на $единицу$ : $f(x{+}1)=f(x)+a$ и вообще $f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$ на любое число $\Delta x$ . Если наклон положительный, $a>0$ , то функция $f(x)$ повышается; если $a<0$ , затем $f(x)$ уменьшается

В исчислении производная общей функции измеряет скорость ее изменения. Линейная функция $f(x)=ax+b$ имеет постоянную скорость изменения, равную наклону $a$ , поэтому ее производная является постоянной функцией $f\,'(x)=a$ .

Основная идея дифференциального исчисления состоит в том, что любая гладкая функция $f(x)$ (не обязательно линейный) может быть точно аппроксимирован вблизи данной точки $x=c$ единственной линейной функцией. Производная $f\,'(c)$ - наклон этой линейной функции, а приближение: $f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)$ для $x\approx c$ . График линейного приближения представляет собой касательную к графику $y=f(x)$ в точку $(c,f(c))$ . Производный наклон $f\,'(c)$ обычно меняется в зависимости от точки c . Линейные функции можно охарактеризовать как единственные действительные функции, производная которых постоянна: если $f\,'(x)=a$ для всех x , тогда $f(x)=ax+b$ для $b=f(0)$ .

Формы наклон-пересечение, точка-наклон и двухточечная форма [ править ]

Данная линейная функция $f(x)$ можно записать в виде нескольких стандартных формул, отображающих его различные свойства. Простейшей является форма пересечения наклона :

f(x)=ax+b

,

откуда сразу видно наклон а и начальное значение $f(0)=b$ , который является точкой пересечения оси y графика $y=f(x)$ .

Учитывая наклон a и одно известное значение $f(x_{0})=y_{0}$ , запишем форму точки-наклона :

f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}

.

Графически это дает линию $y=f(x)$ с уклоном а , проходящим через точку $(x_{0},y_{0})$ .

Двухточечная форма начинается с двух известных значений. $f(x_{0})=y_{0}$ и $f(x_{1})=y_{1}$ . Вычисляет наклон $a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ и вставляет это в форму точки-наклона:

f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}

.

Его график $y=f(x)$ единственная линия, проходящая через точки $(x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)$ . Уравнение $y=f(x)$ также можно написать, чтобы подчеркнуть постоянный наклон:

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}

.

линейными уравнениями Связь с

Линейные функции обычно возникают в результате практических задач, связанных с переменными. $x,y$ с линейной зависимостью, то есть подчиняясь линейному уравнению $Ax+By=C$ . Если $B\neq 0$ , можно решить это уравнение относительно y , получив

y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,

где мы обозначаем $a=-{\tfrac {A}{B}}$ и $b={\tfrac {C}{B}}$ . То есть можно рассматривать y как зависимую переменную (выход), полученную из независимой переменной (вход) x с помощью линейной функции: $y=f(x)=ax+b$ . В координатной плоскости xy возможные значения $(x,y)$ образуем линию, график функции $f(x)$ . Если $B=0$ в исходном уравнении результирующая линия $x={\tfrac {C}{A}}$ вертикально и не может быть записано как $y=f(x)$ .

Особенности графика $y=f(x)=ax+b$ можно интерпретировать через переменные x и y . Перехват y — это начальное значение. $y=f(0)=b$ в $x=0$ . Наклон a измеряет скорость изменения выходного сигнала y на единицу изменения входного сигнала x . На графике перемещение на одну единицу вправо (увеличение x на 1) перемещает значение y вверх на a : то есть, $f(x{+}1)=f(x)+a$ . Отрицательный наклон a указывает на уменьшение y при каждом увеличении x .

Например, линейная функция $y=-2x+4$ имеет уклон $a=-2$ , y - точка пересечения $(0,b)=(0,4)$ , и x - точка пересечения $(2,0)$ .

Пример [ править ]

Предположим, салями и колбаса стоят 6 и 3 евро за килограмм, а мы хотим купить их на сумму 12 евро. Сколько каждого из них мы можем купить? Если x килограммов салями и y килограммов колбасы стоят в общей сложности 12 евро, то 6 евро × x + 3 евро × y = 12 евро. Решение для y дает форму наклона точки $y=-2x+4$ , как указано выше. То есть, если мы сначала выберем количество салями x , количество колбасы можно вычислить как функцию $y=f(x)=-2x+4$ . Поскольку салями стоит в два раза дороже колбасы, добавление одного килограмма салями уменьшает колбасу на 2 килограмма: $f(x{+}1)=f(x)-2$ , а наклон равен −2. Точка y пересечения $(x,y)=(0,4)$ соответствует покупке всего 4 кг колбасы; в то время как x точка пересечения $(x,y)=(2,0)$ соответствует покупке всего 2 кг салями.

Обратите внимание, что на графике присутствуют точки с отрицательными значениями x или y , которые не имеют смысла с точки зрения исходных переменных (если только мы не представим, что продаем мясо мяснику). Таким образом, мы должны ограничить нашу функцию $f(x)$ в домен $0\leq x\leq 2$ .

Кроме того, мы могли бы выбрать y в качестве независимой переменной и вычислить x с помощью обратной линейной функции: $x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2$ по домену $0\leq y\leq 4$ .

Связь с другими классами функций [ править ]

Если коэффициент при переменной не равен нулю ( $a \neq 0$ ), то линейная функция представляется многочленом 1 ( степени также называемым линейным многочленом ), в противном случае это постоянная функция – тоже полиномиальная функция, но нулевой степени. .

Прямая линия, нарисованная в другой системе координат, может представлять другие функции.

Например, он может представлять собой показательную функцию , когда ее значения выражены в логарифмическом масштабе . Это означает, что когда $log (g (x))$ является линейной функцией от $x$ , функция $g$ является экспоненциальной. В случае линейных функций увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированную величину, которая представляет собой наклон графика функции. В экспоненциальных функциях увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированное кратное число, которое называется основанием экспоненциальной функции.

Если и аргументы , и значения функции находятся в логарифмическом масштабе (т. е. когда $log (y)$ является линейной функцией $log (x)$ ), то прямая линия представляет собой степенной закон :

\log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}

Архимедова спираль, определяемая полярным уравнением r = 1 ⁄ 2 θ + 2

С другой стороны, график линейной функции в полярных координатах :

r=f(\theta )=a\theta +b

является архимедовой спиралью , если $a\neq 0$ и круг в противном случае.

См. также [ править ]

Аффинное отображение , обобщение
Арифметическая прогрессия , линейная функция целочисленного аргумента

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Стюарт, Джеймс (2012), Исчисление: ранние трансценденталии (изд. 7E), Брукс/Коул, ISBN 978-0-538-49790-9
Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0871503417

Внешние ссылки [ править ]

[FOOTNOTEStewart201223-1] Стюарт 2012 , с. 23.

[FOOTNOTEStewart201224-2] Стюарт 2012 , с. 24.

[FOOTNOTESwokowski1983p._34-3] Своковски 1983 , с. 34.

[1]

[2]

[3]

v т Это Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант базис Грёбнера