Линейная функция (исчисление)

Не путать с линейным функционалом или линейным отображением .

График линейной функции: $y(x)=-x+2$

В исчислении и смежных областях математики линейная функция от действительных чисел к действительным числам — это функция, график которой (в декартовых координатах ) представляет собой невертикальную линию на плоскости. Характерным свойством линейных функций является то, что при изменении входной переменной изменение выхода пропорционально изменению входа.

Линейные функции связаны с линейными уравнениями .

Свойства

Линейная функция — это полиномиальная функция , в которой переменная x имеет степень не выше единицы:

$f(x)=ax+b$.

Такая функция называется линейной , потому что ее график — совокупность всех точек $(x,f(x))$ в декартовой плоскости — это линия . Коэффициент а называется наклоном функции и линии (см. ниже).

Если наклон $a=0$, это постоянная функция $f(x)=b$ определяющая горизонтальную линию, которую некоторые авторы исключают из класса линейных функций. При таком определении степень линейного многочлена будет равна единице, а его график будет линией, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Однако в этой статье $a\neq 0$ требуется, поэтому постоянные функции будут считаться линейными.

Если $b=0$ тогда линейная функция называется однородной . Такая функция определяет линию, проходящую через начало системы координат, то есть точку $(x,y)=(0,0)$. В текстах по продвинутой математике термин « линейная функция» часто обозначает конкретно однородные линейные функции, тогда как термин «аффинная функция» используется для общего случая, который включает в себя $b\neq 0$.

Естественная область определения линейной функции $f(x)$, набор разрешенных входных значений для x — это весь набор действительных чисел , $x\in \mathbb {R} .$ Можно также рассматривать такие функции с x в произвольном поле , взяв коэффициенты a, b в этом поле.

График $y=f(x)=ax+b$ - это невертикальная линия, имеющая ровно одно пересечение с осью y , ее с y . точкой пересечения $(x,y)=(0,b).$ Значение y -перехвата $y=f(0)=b$ также называется начальным значением $f(x).$ Если $a\neq 0,$ график представляет собой негоризонтальную линию, имеющую ровно одно пересечение с осью x , x. точкой пересечения $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ Значение x -перехвата $x=-{\tfrac {b}{a}},$ решение уравнения $f(x)=0,$ называется корнем или нулем также $f(x).$

Наклон

Наклон линии - это отношение ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ между изменением x , обозначаемым $\Delta x$, а соответствующее изменение y обозначается $\Delta y$

Наклон невертикальной линии — это число, которое измеряет , насколько круто наклонена линия (подъем-перебег). Если линия является графиком линейной функции $f(x)=ax+b$, этот наклон определяется константой a .

Наклон измеряет постоянную скорость изменения $f(x)$ на единицу изменение x : всякий раз, когда входной сигнал x увеличивается на одну единицу, выходной сигнал изменяется на единицу : $f(x{+}1)=f(x)+a$и вообще $f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$ на любое число $\Delta x$. Если наклон положительный, $a>0$, то функция $f(x)$ увеличивается; если $a<0$, затем $f(x)$ уменьшается

В исчислении производная общей функции измеряет скорость ее изменения. Линейная функция $f(x)=ax+b$ имеет постоянную скорость изменения, равную наклону a , поэтому ее производная является постоянной функцией $f\,'(x)=a$.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в том, что любая гладкая функция $f(x)$ (не обязательно линейный) может быть точно аппроксимирован вблизи данной точки $x=c$ единственной линейной функцией. Производная ​ $f\,'(c)$ - наклон этой линейной функции, а приближение: $f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)$ для $x\approx c$. График линейного приближения представляет собой касательную к графику $y=f(x)$ в точку $(c,f(c))$. Производный наклон $f\,'(c)$ обычно меняется в зависимости от точки c . Линейные функции можно охарактеризовать как единственные действительные функции, производная которых постоянна: если $f\,'(x)=a$ для всех x , тогда $f(x)=ax+b$ для $b=f(0)$.

Формы наклон-пересечение, точка-наклон и двухточечная форма

Данная линейная функция $f(x)$ можно записать в виде нескольких стандартных формул, отражающих его различные свойства. Простейшей является форма пересечения наклона :

$f(x)=ax+b$,

откуда сразу видно наклон а и начальное значение $f(0)=b$, который является точкой пересечения оси y графика $y=f(x)$.

Учитывая наклон a и одно известное значение $f(x_{0})=y_{0}$, запишем форму точки-наклона :

$f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}$.

Графически это дает линию $y=f(x)$ с уклоном а, проходящим через точку $(x_{0},y_{0})$.

Двухточечная форма начинается с двух известных значений. $f(x_{0})=y_{0}$ и $f(x_{1})=y_{1}$. Вычисляет наклон $a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ и вставляет это в форму точки-наклона:

$f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}$.

Его график $y=f(x)$ единственная линия, проходящая через точки $(x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)$. Уравнение $y=f(x)$ также можно написать, чтобы подчеркнуть постоянный наклон:

${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$.

с

Линейные функции обычно возникают в результате практических задач, связанных с переменными. $x,y$ с линейной зависимостью, то есть подчиняясь линейному уравнению $Ax+By=C$. Если $B\neq 0$, можно решить это уравнение относительно y , получив

$y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,$

где мы обозначаем $a=-{\tfrac {A}{B}}$ и $b={\tfrac {C}{B}}$. То есть можно рассматривать y как зависимую переменную (выход), полученную из независимой переменной (вход) x с помощью линейной функции: $y=f(x)=ax+b$. В координатной плоскости xy возможные значения $(x,y)$ образуем линию, график функции $f(x)$. Если $B=0$ в исходном уравнении результирующая линия $x={\tfrac {C}{A}}$ вертикально и не может быть записано как $y=f(x)$.

Особенности графика $y=f(x)=ax+b$ можно интерпретировать через переменные x и y . Перехват y  — это начальное значение. $y=f(0)=b$ в $x=0$. Наклон a измеряет скорость изменения выходного сигнала y на единицу изменения входного сигнала x . На графике перемещение на одну единицу вправо (увеличение x на 1) перемещает значение y вверх на a : то есть, $f(x{+}1)=f(x)+a$. Отрицательный наклон a указывает на уменьшение y при каждом увеличении x .

Например, линейная функция $y=-2x+4$ имеет уклон $a=-2$, y - точка пересечения $(0,b)=(0,4)$, и x - точка пересечения $(2,0)$.

Пример

Предположим, салями и колбаса стоят 6 и 3 евро за килограмм, а мы хотим купить их на сумму 12 евро. Сколько каждого из них мы можем купить? Если x килограммов салями и y килограммов колбасы стоят в общей сложности 12 евро, то 6 евро × x + 3 евро × y = 12 евро. Решение для y дает форму наклона точки $y=-2x+4$, как указано выше. То есть, если мы сначала выберем количество салями x , количество колбасы можно вычислить как функцию $y=f(x)=-2x+4$. Поскольку салями стоит в два раза дороже колбасы, добавление одного килограмма салями уменьшает колбасу на 2 килограмма: $f(x{+}1)=f(x)-2$, а наклон равен −2. Точка y пересечения $(x,y)=(0,4)$ соответствует покупке всего 4 кг колбасы; в то время как x точка пересечения $(x,y)=(2,0)$ соответствует покупке всего 2 кг салями.

Обратите внимание, что на графике присутствуют точки с отрицательными значениями x или y , которые не имеют смысла с точки зрения исходных переменных (если только мы не представим, что продаем мясо мяснику). Таким образом, мы должны ограничить нашу функцию $f(x)$ в домен $0\leq x\leq 2$.

Кроме того, мы могли бы выбрать y в качестве независимой переменной и вычислить x с помощью обратной линейной функции: $x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2$ по домену $0\leq y\leq 4$.

Связь с другими классами функций

Если коэффициент при переменной не равен нулю ( a ≠ 0 ), то линейная функция представляется степени 1-й полиномом (также называемым линейным полиномом ), в противном случае это постоянная функция – тоже полиномиальная функция, но нулевой степени. .

Прямая линия, нарисованная в другой системе координат, может представлять другие функции.

Например, он может представлять собой показательную функцию , когда ее значения выражены в логарифмическом масштабе . Это означает, что когда log ( g ( x )) является линейной функцией от x , функция g является экспоненциальной. В случае линейных функций увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированную величину, которая представляет собой наклон графика функции. В экспоненциальных функциях увеличение входных данных на одну единицу приводит к увеличению выходных данных на фиксированное кратное число, которое называется основанием экспоненциальной функции.

Если и аргументы , и значения функции находятся в логарифмическом масштабе (т. е. когда log ( y ) является линейной функцией log ( x ) ), то прямая линия представляет собой степенной закон :

$\log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}$

Архимедова спираль, определяемая полярным уравнением r = 1 ⁄ 2 θ + 2

С другой стороны, график линейной функции в полярных координатах :

$r=f(\theta )=a\theta +b$

является архимедовой спиралью, если $a\neq 0$ и круг в противном случае.

См. также

• Аффинное отображение , обобщение
• Арифметическая прогрессия , линейная функция целочисленного аргумента.

Ссылки

• Стюарт, Джеймс (2012), Исчисление: ранние трансценденталии (изд. 7E), Брукс/Коул, ISBN  978-0-538-49790-9
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  0871503417

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• https://web.archive.org/web/20180722042342/https://corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf