Обратная функция

Не путать с мультипликативным обратным или аддитивным обратным .

Функция f и ее обратная f ⁻¹ . Поскольку f отображает a в 3, обратный f ⁻¹ отображает 3 обратно в .

В математике обратная функция функции , f (также называемая обратной функцией f ) — это функция которая отменяет операцию f . Обратное к f существует тогда и только тогда, когда f является биективным , и если оно существует, обозначается через $f^{-1}.$

Для функции $f\colon X\to Y$, его инверсия $f^{-1}\colon Y\to X$ допускает явное описание: он отправляет каждый элемент $y\in Y$ к уникальному элементу $x\in X$ такой, что ж ( Икс ) знак равно y .

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную выражением f ( x ) = 5 x − 7 . Можно думать о f как о функции, которая умножает входные данные на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы отменить это, к входным данным добавляют 7, а затем делят результат на 5. Следовательно, обратной к f является функция $f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.$

Определения

Если f отображает X в Y , то f ⁻¹ отображает Y в X. обратно

Пусть f — функция, областью определения которой множество X , а кодоменом — множество Y. является Тогда f обратима , если существует функция g из Y в X такая, что $g(f(x))=x$ для всех $x\in X$ и $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y$.

Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной к f и обычно обозначается как f ⁻¹ , обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году.

Функция f обратима тогда и только тогда, когда она биективна. Это потому, что условие $g(f(x))=x$ для всех $x\in X$ следует, что , и f инъективен условие $f(g(y))=y$ для всех $y\in Y$ подразумевает, f сюръективен что .

Обратная функция f ⁻¹ к f можно явно описать как функцию

$f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)$.

и

См. также: Обратный элемент

Напомним, что если f — обратимая функция с областью определения X и кодовой областью Y , то

$f^{-1}\left(f(x)\right)=x$, для каждого $x\in X$ и $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ для каждого $y\in Y$.

Используя композицию функций , это утверждение можно переписать в следующие уравнения между функциями:

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ и $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},$

где id _X — тождественная функция на множестве X ; то есть функция, которая оставляет свой аргумент неизменным. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f ⁻¹ . Повторное составление функции f : X → X с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f ^н ( Икс ) ; так что ж ² ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f ⁻¹ ( f ( x )) знак равно x , составляющий f ⁻¹ и ж ^н дает f ^{п -1} , «отменяя» эффект одного применения f .

Обозначения

Хотя обозначение f ⁻¹ ( x ) может быть неправильно понято, ( ж ( х )) ⁻¹ конечно, обозначает мультипликативную обратную функцию f ( x ) и не имеет ничего общего с обратной функцией f . Обозначения $f^{\langle -1\rangle }$ может использоваться для обратной функции, чтобы избежать неоднозначности с мультипликативной обратной функцией .

В соответствии с общими обозначениями некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin ⁻¹ ( x ) для обозначения обратной синусоидальной функции, примененной к x (фактически частичной обратной ; см. ниже). Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативного обратного значения sin ( x ) , которое можно обозначить как (sin ( x )) ⁻¹ . Во избежание путаницы обратную тригонометрическую функцию часто обозначают приставкой « arcus » (от латинского arcus ). Например, обратную функцию синуса обычно называют функцией арксинуса и записывают как arcsin ( x ) . Точно так же обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (от латинского ārea ). Например, функция, обратная гиперболическому синусу , обычно записывается как arsinh ( x ) . Такие выражения, как грех ⁻¹ ( x ) все еще может быть полезен, чтобы отличить многозначную инверсию от частичной инверсии: $\sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}$. Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если неоднозначность f ⁻¹ следует избегать обозначений.

Примеры

Функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня

Функция f : R → [0,∞) , заданная формулой f ( x ) = x ² не является инъективным, поскольку $(-x)^{2}=x^{2}$ для всех $x\in \mathbb {R}$. Следовательно, f не обратима.

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть мы берем функцию $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}$ по тому же правилу , что и раньше, функция биективна и, следовательно, обратима. Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня и обозначается $x\mapsto {\sqrt {x}}$.

Стандартные обратные функции

В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратных:

Обратные арифметические функции

Функция f ( x )	Обратное f  −1 ( и )	Примечания
х + а	и — а
а - х	а - у
мх	г / м	м ≠ 0
1 / х (т.е. х −1 )	1 / г (да да −1 )	Икс , у ≠ 0
Икс п	${\sqrt[{p}]{y}}$ (да , 1/ п )	x , y ≥ 0 , если p четное; целое число p > 0
а Икс	войти в   систему	у > 0 и а > 0
xмашина Икс	Вт ( у )	x ≥ −1 и y ≥ −1/ e
тригонометрические функции	обратные тригонометрические функции	различные ограничения (см. таблицу ниже)
гиперболические функции	обратные гиперболические функции	различные ограничения

Формула обратного

Многие функции, заданные алгебраическими формулами, имеют формулу обратного значения. Это потому, что обратное $f^{-1}$ обратимой функции $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ имеет явное описание как

$f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)$.

Это позволяет легко определять обратные функции для многих функций, заданных алгебраическими формулами. Например, если f — функция

$f(x)=(2x+8)^{3}$

затем определить $f^{-1}(y)$ для действительного числа y необходимо найти уникальное действительное число x такое, что (2 x + 8) ³ = у . Это уравнение можно решить:

${\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}$

Таким образом, обратная функция f ⁻¹ определяется формулой

$f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.$

Иногда обратную функцию невозможно выразить формулой в замкнутой форме . Например, если f — функция

$f(x)=x-\sin x,$

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f ⁻¹ . Формула этого обратного выражения имеет выражение в виде бесконечной суммы:

$f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).$

Свойства

Поскольку функция представляет собой особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность

существует обратная функция Если для данной функции f , то она единственна. Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется f .

Симметрия

Между функцией и обратной ей существует симметрия. В частности, если f — обратимая функция с областью определения X и кодовой областью Y , то ее обратная функция f ⁻¹ имеет домен Y и изображение X и обратную функцию f ⁻¹ — исходная функция f . Символьно для функций f : X → Y и f ⁻¹ : Y → X ,

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ и $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.$

Это утверждение является следствием того, что для того, чтобы f была обратимой, она должна быть биективной. Инволютивную природу обратного можно кратко выразить формулой

$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f.$

Обратным к g ∘ f является f ⁻¹ ∘ г ⁻¹ .

Обратная композиция функций определяется выражением

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами; чтобы отменить f, за которым следует g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и пусть g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g ∘ f — это функция, которая сначала умножает на три, а затем добавляет пять:

$(g\circ f)(x)=3x+5.$

Чтобы обратить этот процесс вспять, нам нужно сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

$(g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).$

Это композиция ( ж ⁻¹ ∘ г ⁻¹ )( Икс ) .

Самоинверсии

Если X — множество, то тождественная функция на X является собственной обратной:

${\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.$

В более общем смысле, функция f : X → X равна своей обратной, тогда и только тогда, когда композиция f ∘ f равна id _X . Такая функция называется инволюцией .

График обратного

Графики y = f ( x ) и y = f ⁻¹ ( Икс ) . Пунктирная линия — y = x .

Если f обратима, то график функции

$y=f^{-1}(x)$

совпадает с графиком уравнения

$x=f(y).$

Это идентично уравнению y = f ( x ) , которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f ⁻¹ можно получить из графика f , поменяв положение осей x и y . Это эквивалентно отражению графика через линию у = х .

и

Теорема об обратной функции утверждает, что непрерывная функция f обратима в своем диапазоне (образе) тогда и только тогда, когда она либо строго возрастает, либо убывает (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция

$f(x)=x^{3}+x$

обратима, поскольку производная f′ ( x ) = 3 x ² +1 всегда положителен.

Если функция f дифференцируема I интервале на и f′ ( x ) ≠ 0 для каждого x ∈ I , то обратная f ⁻¹ дифференцируемо по f ( I ) . Если y = f ( x ) , производная обратной функции определяется теоремой об обратной функции:

$\left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.$

Используя обозначения Лейбница, приведенную выше формулу можно записать как

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.$

Этот результат следует из цепного правила (см. статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорему об обратной функции можно обобщить на функции нескольких переменных. В частности, дифференцируемая функция многих переменных f : R ^н → Р ^н обратима в окрестности точки p до тех пор, пока f Якоби в точке p обратима матрица . В этом случае якобиан f ⁻¹ at f ( p ) — матрица, обратная якобиану f в p .

Реальные примеры

• Пусть f — функция, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта ,
  $$F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;$$
  то ее обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,
  $$C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),$$
  с
  $${\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}$$
• Предположим, f присваивает каждому ребенку в семье год рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако если в семье есть дети, родившиеся в один и тот же год (например, близнецы или тройня и т. д.), то результат не может быть известен, если на входе указан общий год рождения. Кроме того, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, то имя ребенка назвать нельзя. Но если каждый ребенок родился в отдельный год и если мы ограничим внимание тремя годами, в которых родился ребенок, то мы действительно имеем обратную функцию. Например,
  $${\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}$$
• Пусть R — функция, которая приводит к увеличению на x процентов некоторой величины, а F — функция, вызывающая снижение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, а затем второй не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
• Формула для расчета pH раствора: pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] . Во многих случаях нам необходимо определить концентрацию кислоты путем измерения pH. Обратная функция [H ⁺ ] = 10 ^−pH используется.

Обобщения

Частичные инверсии

Квадратный корень из x является частично обратным к f ( x ) = x ² .

Даже если функция f не является взаимно однозначной, можно определить частичную обратную функцию f , ограничив . область определения Например, функция

$f(x)=x^{2}$

не является взаимно однозначным, поскольку x ² знак равно (- х ) ² . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае

$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.$

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , то обратная функция будет отрицательным квадратным корнем из y .) Альтернативно, нет необходимости ограничивать область определения, если мы довольствуемся тем, что обратная функция является многозначной функцией :

$f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.$

Обратная этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда эту многозначную инверсию называют полной инверсией f √ , а части (такие как √ x и − x ) называют ветвями . Самая важная ветвь многозначной функции (например, положительный квадратный корень) называется главной ветвью , а ее значение в точке y называется главным значением f . ⁻¹ ( и ) .

Для непрерывной функции на действительной прямой необходима одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. рисунок рядом).

Арксинус является частичной обратной функцией синуса .

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является однозначной, поскольку

$\sin(x+2\pi )=\sin(x)$

для каждого действительного x (и, в более общем смысле, sin( x + 2 π n ) = sin( x ) для каждого целого числа n ). Однако на интервале синус взаимно однозначен. [− п / 2 , π / 2 ] , а соответствующая частичная обратная называется арксинусом . Это считается основной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между — π / 2 и π / 2 . В следующей таблице описаны основные ветви каждой обратной тригонометрической функции:

функция	Диапазон обычной основной стоимости
арксин	− π / 2 ≤ грех −1 ( х ) ≤ п / 2
Арккос	0 ≤ потому что −1 ( Икс ) ≤ п
арктан	− π / 2 < tan −1 ( х ) < п / 2
арккот	0 < детская кроватка −1 ( Икс ) < π
угловая секунда	0 ≤ сек −1 ( Икс ) ≤ п
ArcCSC	− π / 2 ≤ csc −1 ( х ) ≤ п / 2

Левая и правая инверсия

Состав функций слева и справа не обязательно должен совпадать. В целом условия

1. «Существует g такой, что g ( f ( x )) = x » и
2. «Существует g такой, что f ( g ( x )) = x »

подразумевают разные свойства f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает возведение в квадрат карты, такой что f ( x ) = x ² для всех x в R и пусть g : [0, ∞) → R обозначает отображение квадратного корня, такое что g ( x ) = √ x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правой противоположностью f . Однако g не является левой инверсией к f , поскольку, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левые инверсии

Если f : X → Y , левая обратная для f (или ретракция f такая , ) - это функция g : Y → X что составление f с g слева дает тождественную функцию

$$g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}$$

То есть функция g удовлетворяет правилу

Если f ( x ) = y , то g ( y ) = x .

Функция g должна быть равна обратной функции f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y , отсутствующих в изображении.

Функция f с непустой областью определения инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную. Элементарное доказательство выглядит следующим образом:

• Если g является левой инверсией f и f ( x ) = f ( y ) , то g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y .

• Если непустое f : X → Y инъективно, постройте левый обратный g : Y → X следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f , то существует x ∈ X такой, что f ( x ) = й . Пусть г ( у ) = х ; это определение единственно, поскольку f инъективно. В противном случае пусть g ( y ) будет произвольным элементом X .

  Для всех x ∈ X f находится ( x ) в образе f . По построению g ( f ( x )) = x , условие левого обратного.

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью определения обязательно имеет левую обратную; однако это может потерпеть неудачу в конструктивной математике . Например, левое обратное включение { 0,1} → R двухэлементного множества в действительные числа нарушает неразложимость, приводя к ретракции вещественной линии к множеству {0,1} .

Правые инверсии

Пример правой обратной функции с неинъективной сюръективной функцией

Правая обратная для f (или часть f ) — это функция h : Y → X такая, что

$f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.$

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если $\displaystyle h(y)=x$, затем $\displaystyle f(x)=y.$

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X , которые отображаются в y при отображении f .

Функция f имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя для построения такой обратной функции вообще требуется аксиома выбора ).

Если h — правая инверсия f , то f сюръективен. Для всех $y\in Y$, есть $x=h(y)$ такой, что $f(x)=f(h(y))=y$.

Если f сюръективен, f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех $y\in Y$, есть хотя бы один $x\in X$ такой, что $f(x)=y$ (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем одно из значений h ( y ) .

Двусторонние инверсии

Инверсия, которая является одновременно левой и правой инверсией ( двусторонняя инверсия ), если она существует, должна быть уникальной. Фактически, если функция имеет левую обратную и правую обратную, они обе являются одной и той же двусторонней обратной, поэтому ее можно назвать обратной .

Если $g$ является левым обратным и $h$ правая инверсия $f$, для всех $y\in Y$, $g(y)=g(f(h(y))=h(y)$.

Функция имеет двустороннюю обратную тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому она имеет левую обратную (если f — пустая функция, $f\colon \varnothing \to \varnothing$является своим левым обратным). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышеизложенному, левая и правая инверсия одинаковы.

Если f имеет двустороннюю инверсию g , то g является левой инверсией и правой инверсией f , поэтому f инъективен и сюръективен.

Прообразы

Если f : X → Y — любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента y ∈ Y определяется как набор всех элементов X , которые отображаются в y :

$f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.$

Прообраз y можно рассматривать как образ y под (многозначной ) полной обратной функцией f .

Аналогично, если S — любое подмножество Y , прообраз S , обозначаемый $f^{-1}(S)$, — это набор всех элементов X , которые отображаются в S :

$f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.$

Например, возьмем функцию f : R → R ; х ↦ х ² . Эта функция не обратима, поскольку она не является биективной, но прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена, например

$f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}$.

Прообраз отдельного элемента y ∈ Y – одноэлементного множества { y } называют слоем y . – иногда Когда Y представляет собой набор действительных чисел, обычно называют f ⁻¹ ({ y }) как набор уровней .

См. также

• Теорема об обращении Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции.
• Интеграл от обратных функций
• Обратное преобразование Фурье
• Реверсивные вычисления

Библиография

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранние трансцендентальные измерения с одной переменной . Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-321-66414-3 .
• Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Математика . ISBN  978-1-58488-449-1 .
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Кент. ISBN  0-87150-164-3 .
• Лэй, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . ISBN  978-0-13-148101-5 .
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс/Коул . ISBN  978-0-534-39900-9 .
• Томас младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитическая геометрия (Альтернативное издание). Аддисон-Уэсли .
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Инструментарий математика . WH Freeman and Co. ISBN  978-0-7167-3050-7 .

Дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Уайли. стр. 103–120 . ISBN  0-471-04934-4 .
• Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 161–197. ISBN  0-521-28952-1 .
• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-89-6 .
• Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5-е изд.). Брукс Коул . ISBN  978-0-534-39339-7 .

Внешние ссылки

• «Обратная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]