Морфизм

В математике , особенно в теории категорий , морфизм — это сохраняющее структуру отображение одной математической структуры в другую того же типа. Понятие морфизма встречается во многих областях современной математики. В теории множеств морфизмы являются функциями ; в линейной алгебре — линейные преобразования ; в теории групп — групповые гомоморфизмы ; в анализе и топологии , непрерывных функциях и так далее.

В теории категорий морфизм — это во многом схожая идея: задействованные математические объекты не обязательно должны быть множествами, а отношения между ними могут быть чем-то иным, чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя аналогично картам в этом смысле. они должны допускать ассоциативную операцию, аналогичную композиции функций . Морфизм в теории категорий — это абстракция гомоморфизма .

Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определены, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также интуиции, лежащей в их основе, исходит из конкретных категорий , где объекты представляют собой просто множества с некоторой дополнительной структурой , а морфизмы — это функции, сохраняющие структуру . В теории категорий морфизмы иногда еще называют стрелками .

Определение

Категория классов C состоит из двух : объектов и морфизмов . С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель . Морфизм f из в X Y — это морфизм с источником X и целью Y ; его обычно записывают как f : X → Y или X f → Y, причем последняя форма лучше подходит для коммутативных диаграмм .

Для многих распространенных категорий объекты представляют собой множества (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы — это функции от объекта к другому объекту. Поэтому источник и цель морфизма часто называют домен и кодомен соответственно.

Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией , называемой композицией . Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g , и обозначается g ∘ f (или иногда просто gf ). Источник g ∘ f является источником f , а цель g ∘ f является целью g . Композиция удовлетворяет двум аксиомам :

Личность

Для каждого объекта X существует морфизм id _X : X → X называемый тождественным морфизмом на X , такой, что для каждого морфизма f : A → B мы имеем id _B ∘ f = f = f ∘ id _A. ,

Ассоциативность

h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f всякий раз, когда все композиции определены, т. е. когда цель f является источником g , а цель g является источником h .

Для конкретной категории (категории, в которой объекты представляют собой множества, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы — это функции, сохраняющие структуру) тождественный морфизм — это просто тождественная функция , а композиция — это просто обычная композиция функций .

Композицию морфизмов часто изображают коммутативной диаграммой . Например,

Совокупность всех морфизмов от X до Y обозначается Hom _C ( X , Y ) или просто Hom( X , Y ) и называется hom- между X и Y. множеством Некоторые авторы пишут Mor _C ( X , Y ) , Mor( X , Y ) или C( X , Y ) . Термин «гом-множество» в некоторой степени используется неправильно, поскольку совокупность морфизмов не обязательно должна быть множеством; Категория, в которой Hom( X , Y ) — множество всех объектов X и Y , называется локально малой . Поскольку hom-множества могут и не быть множествами, некоторые люди предпочитают использовать термин «hom-class».

Домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории множеств , где морфизмы являются функциями, две функции могут быть идентичными как множества упорядоченных пар (могут иметь одинаковый диапазон ), имея при этом разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom( X , Y ) были непересекающимися . На практике это не проблема, поскольку, если эта дизъюнктность не имеет места, ее можно обеспечить, добавив к морфизмам область определения и кодомен (скажем, в качестве второго и третьего компонентов упорядоченной тройки).

Некоторые специальные морфизмы

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Морфизм f : X → Y называется мономорфизмом , если из f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Z → X . Для краткости мономорфизм можно назвать моно , и мы можем использовать моник в качестве прилагательного. Морфизм f имеет левый обратный или является расщепляемым мономорфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что g ∘ f = id _X . образом f∘g , ​ : Y → Y идемпотентно ; Таким то есть ( ж ∘ г ) ² знак равно ж ∘ ( г ∘ ж ) ∘ г знак равно ж ∘ г . Левый обратный g называется ретракцией f также .

Морфизмы с левыми обратными всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; мономорфизм может не иметь левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая левую обратную, является инъективной . Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекций более сильное, чем условие мономорфизма, но слабее, чем условие расщепляемости мономорфизма.

Двойственно мономорфизмам морфизм f : X → Y называется эпиморфизмом , если из g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f следует g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Y → Z . Эпиморфизм можно для краткости назвать эпи , и мы можем использовать эпический как прилагательное. Морфизм f имеет правый обратный или является расщепляемым эпиморфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id _Y . Правый обратный g называется частью f . также Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.

Если мономорфизм f разделяется с левым обратным g , то g является расщепляемым эпиморфизмом с правым обратным f . В конкретных категориях функция, имеющая правую обратную, является сюръективной . Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Условие сюръекции сильнее, чем условие эпиморфизма, но слабее, чем условие расщепления эпиморфизма. В категории множеств утверждение о том, что каждая сюръекция имеет сечение, эквивалентно аксиоме выбора .

Морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом .

Изоморфизмы

Морфизм f : X → Y называется изоморфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id _Y и g ∘ f = id _X . Если морфизм имеет как левый, так и правый обратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f . Обратные морфизмы, если они существуют, единственны. Обратный g также является изоморфизмом с обратным f . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными или эквивалентными.

Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение Z → Q является биморфизмом, не являющимся изоморфизмом. Однако любой морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и расщепляемым мономорфизмом или одновременно мономорфизмом и расщепляемым эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set , в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированной категорией .

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Морфизм f : X → X (то есть морфизм с идентичным источником и целью) эндоморфизмом X является . называется Расщепляемый эндоморфизм идемпотентным эндоморфизмом f, если f допускает разложение f = h ∘ g с g ∘ h = id . В частности, оболочка Каруби категории расщепляет любой идемпотентный морфизм.

Автоморфизм — это морфизм , который является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу , называемую группой автоморфизмов объекта.

Примеры

• Для алгебраических структур , обычно рассматриваемых в алгебре , таких как группы , кольца , модули и т. д., морфизмы обычно являются гомоморфизмами , а понятия изоморфизма, автоморфизма, эндоморфизма, эпиморфизма и мономорфизма такие же, как определенные выше. Однако в случае колец «эпиморфизм» часто рассматривается как синоним « сюръекции », хотя существуют кольцевые эпиморфизмы , которые не являются сюръективными (например, при вложении целых чисел в рациональные числа ).
• В категории топологических пространств морфизмы являются непрерывными функциями , а изоморфизмы называются гомеоморфизмами . Существуют биекции (т. е. изоморфизмы множеств), которые не являются гомеоморфизмами.
• В категории гладких многообразий морфизмы являются гладкими функциями , а изоморфизмы называются диффеоморфизмами .
• В категории малых категорий морфизмы являются функторами .
• В функторной категории морфизмы являются естественными преобразованиями .

Дополнительные примеры см. в разделе Теория категорий .

См. также

• Нормальный морфизм
• Нулевой морфизм

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7 .
• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-60922-6 . Теперь доступно в виде бесплатного онлайн-издания (PDF, 4,2 МБ).

Внешние ссылки

• «Морфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]