Конверт Каруби

В математике оболочка Каруби (или Коши , или идемпотентное пополнение ) категории C представляет собой классификацию идемпотентов C с пополнение помощью вспомогательной категории. Взятие конверта Каруби предаддитивной категории дает псевдоабелеву категорию , поэтому конструкцию иногда называют псевдоабелевым пополнением. Он назван в честь французского математика Макса Каруби .

Для данной категории C идемпотент C является эндоморфизмом

e:A\rightarrow A

с

e\circ e=e

.

что идемпотент e : A → A Говорят, расщепляется , если существует объект B и морфизмы f : A → B , г : B → A такой, что e знак равно г ж и 1 _B знак равно ж г .

Конверт Каруби C , — это категория, объекты которой , иногда обозначаемый Split(C) представляют собой пары формы ( A , e ), где A — объект C и $e:A\rightarrow A$ является идемпотентом C и чьи морфизмы являются тройками

(e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })

где $f:A\rightarrow A^{\prime }$ является морфизмом C, удовлетворяющим $e^{\prime }\circ f=f=f\circ e$ (или эквивалентно $f=e'\circ f\circ e$ ).

Композиция в Split(C) такая же, как в C , но тождественный морфизм на $(A,e)$ в (C) Сплите $(e,e,e)$ , скорее, чемличность на $A$ .

Категория C полностью и точно вкладывается в Split(C) . В Split(C) каждый идемпотент расщепляется, а Split(C) является универсальной категорией с этим свойством. Поэтому оболочку Каруби категории C можно рассматривать как «пополнение» C , которое расщепляет идемпотенты.

Конверт Каруби категории C можно эквивалентно определить как полную подкатегорию ${\hat {\mathbf {C} }}$ ( предпучки над C ) ретрактов представимых функторов . Категория предпучков на C эквивалентна категории предпучков на Split(C) .

конверте Каруби Автоморфизмы в

Автоморфизм Split ( в C) имеет вид $(e,f,e):(A,e)\rightarrow (A,e)$ , с обратным $(e,g,e):(A,e)\rightarrow (A,e)$ удовлетворительно:

g\circ f=e=f\circ g

g\circ f\circ g=g

f\circ g\circ f=f

Если первое уравнение смягчить до такой степени, что оно будет иметь $g\circ f=f\circ g$ , то f — частичный автоморфизм (с обратным g ). (Частичная) инволюция в Split(C) является самообратным (частичным) автоморфизмом.

Примеры [ править ]

Если C имеет произведения, то при изоморфизме $f:A\rightarrow B$ картографирование $f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A$ , составленный с помощью канонического отображения $\gamma :B\times A\rightarrow A\times B$ симметрии, является частичной инволюцией .
Если C является триангулированной категорией , то конверт Каруби Split ( C ) может быть наделен структурой триангулированной категории, так что канонический функтор C → Split ( C ) становится триангулированным функтором . ^[1]
Конверт Каруби используется при построении нескольких категорий мотивов .
Конструкция конверта Каруби превращает полуприсоединения в присоединения . ^[2] По этой причине конверт Каруби используется при изучении моделей нетипизированного лямбда-исчисления . Конверт Каруби экстенсиональной лямбда-модели (моноида, рассматриваемого как категория) является декартово замкнутым. ^[3]^[4]
Категория проективных модулей над любым кольцом является оболочкой Каруби его полной подкатегории свободных модулей.
Категория векторных расслоений над любым паракомпактным пространством является оболочкой Каруби его полной подкатегории тривиальных расслоений. На самом деле это частный случай предыдущего примера по теореме Серра – Свона , и наоборот, эту теорему можно доказать, сначала доказав оба этих факта, а также наблюдение, что функтор глобальных сечений является эквивалентностью между тривиальными векторными расслоениями над $X$ и бесплатные модули более $C(X)$ а затем используя универсальное свойство конверта Каруби.

Ссылки [ править ]

^ Бальмер и Шлихтинг, 2001 г.
^ Сусуму Хаяси (1985). «Присоединение полуфункторов: категориальные структуры в неэкстенсиональном лямбда-исчислении». Теоретическая информатика . 41 : 95–104. дои : 10.1016/0304-3975(85)90062-3 .
^ КЗЖ Койманс (1982). «Модели лямбда-исчисления» . Информация и контроль . 52 : 306–332. дои : 10.1016/s0019-9958(82)90796-3 .
^ Д.С. Скотт (1980). «Связанные теории лямбда-исчисления». Х.Б. Карри: Очерки комбинаторной логики .

Балмер, Пол; Шлихтинг, Марко (2001), «Идемпотентное пополнение триангулированных категорий» (PDF) , Journal of Algebra , 236 (2): 819–834, doi : 10.1006/jabr.2000.8529 , ISSN 0021-8693

[1] Бальмер и Шлихтинг, 2001 г.

[2] Сусуму Хаяси (1985). «Присоединение полуфункторов: категориальные структуры в неэкстенсиональном лямбда-исчислении». Теоретическая информатика . 41 : 95–104. дои : 10.1016/0304-3975(85)90062-3 .

[3] КЗЖ Койманс (1982). «Модели лямбда-исчисления» . Информация и контроль . 52 : 306–332. дои : 10.1016/s0019-9958(82)90796-3 .

[4] Д.С. Скотт (1980). «Связанные теории лямбда-исчисления». Х.Б. Карри: Очерки комбинаторной логики .

[1]

[2]

[3]

[4]