Категория (математика)

В математике категория ) (иногда называемая абстрактной категорией , чтобы отличить ее от конкретной категории представляет собой совокупность «объектов», связанных «стрелками». Категория имеет два основных свойства: возможность ассоциативно составлять стрелки и наличие идентификационной стрелки для каждого объекта. Простым примером является категория множеств , объекты которой являются множествами , а стрелки — функциями .

Теория категорий — это раздел математики, который стремится обобщить всю математику с точки зрения категорий, независимо от того, что представляют собой их объекты и стрелки. Практически каждую ветвь современной математики можно описать с помощью категорий, и это часто раскрывает глубокие идеи и сходства между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий обеспечивает альтернативную основу математики для теории множеств и других предлагаемых аксиоматических оснований. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.

Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования .

Две категории считаются одинаковыми, если они имеют один и тот же набор объектов, один и тот же набор стрелок и один и тот же ассоциативный способ составления любой пары стрелок. Две разные категории также могут считаться « эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют совершенно одинаковой структуры.

Хорошо известные категории обозначаются коротким словом с заглавной буквы или аббревиатурой, выделенной жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set , категорию множеств и функций множеств ; Кольцо — категория колец и гомоморфизмов колец ; и Top , категория топологических пространств и непрерывных отображений . Все предыдущие категории имеют карту идентичности в виде стрелок идентичности, а композицию — в виде ассоциативной операции над стрелками.

Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий — «Категории для работающего математика» Сондерса Мак Лейна . Другие ссылки приведены в разделе «Ссылки» ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.

Групповые структуры
	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Любой моноид можно понимать как категорию особого рода (с одним объектом, самоморфизмы которого представлены элементами моноида), как и любой предзаказ .

Определение [ править ]

Существует множество эквивалентных определений категории. ^[1] Одно из наиболее часто используемых определений выглядит следующим образом. Категория С из состоит

класс ob ( C ) объектов ,
класс mor( C ) морфизмов или стрелок ,
функция домена класса dom: mor(C ) или исходного → ob(C),
функция кодомена или целевого класса cod: mor(C) → ob(C),
для каждых трех объектов a , b и c выполняется бинарная операция hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ), называемая композицией морфизмов . Здесь hom( a , b ) обозначает подкласс морфизмов f в mor( C ) таких, что dom(f) = a и cod(f) = b . Морфизмы в этом подклассе записываются f : a → b , а композиция f : a → b и g : b → c часто записывается как g ∘ f или gf .

такие, что выполняются следующие аксиомы:

ассоциативный закон : если f : a → b , g : b → c и h : c → d , то h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , и
законы ( левой и правой единиц ) : для каждого объекта x существует морфизм 1 _x : x → x (некоторые авторы пишут id _x ), называемый тождественным морфизмом для x , такой, что каждый морфизм f : a → x удовлетворяет 1 _x ∘ f = f , и каждый морфизм g : x → b удовлетворяет условию g ∘ 1 _x = g .

Мы пишем f : a → b и говорим, что « f — морфизм из a в b ». Мы пишем hom( a , b ) (или hom _C ( a , b ), когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории относится hom( a , b )) для обозначения hom-класса всех морфизмов от a до b . ^[2]

Некоторые авторы записывают совокупность морфизмов в «диаграммном порядке», записывая f;g или fg вместо g ∘ f .

С помощью этих аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм. Часто отображение, присваивающее каждому объекту его тождественный морфизм, рассматривается как дополнительная часть структуры категории, а именно функция класса i: ob(C) → mor(C). Некоторые авторы используют небольшой вариант определения, в котором каждый объект идентифицируется соответствующим тождественным морфизмом. Это вытекает из идеи, что фундаментальными данными категорий являются морфизмы, а не объекты. Фактически, категории можно определять вообще без ссылки на объекты, используя частичную бинарную операцию с дополнительными свойствами.

Маленькие и большие категории [ править ]

Категория C называется малой , если оба ob( C ) и hom( C ) на самом деле являются множествами , а не собственными классами , и большой в противном случае. — Локально малая категория это такая категория, что для всех объектов a и b hom-класс hom( a , b ) представляет собой множество, называемое homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств) хотя и не малы, но, по крайней мере, локально малы. Поскольку в малых категориях объекты образуют множество, малую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, аналогичную моноиду , но не требующую свойств замыкания . С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.

Примеры [ править ]

Класс всех множеств (как объектов) вместе со всеми функциями между ними (как морфизмов), где композиция морфизмов представляет собой обычную композицию функций , образует большую категорию Set . Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех множеств (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмов). Абстрагирование от отношений вместо функций приводит к аллегориям , специальному классу категорий.

Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы. Такие категории называются дискретными . Для любого данного множества I дискретная категория на I — это небольшая категория, в которой элементы I являются объектами и только тождественные морфизмы в качестве морфизмов. Дискретные категории — это самый простой вид категорий.

Любой предварительно упорядоченный набор ( P , ≤ ) образует небольшую категорию, где объекты являются членами P , морфизмы представляют собой стрелки, указывающие от x к y, когда x ≤ y . , если ≤ антисимметричен Более того , между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма. Существование тождественных морфизмов и компонуемость морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка . По тому же аргументу любое частично упорядоченное множество и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как малую категорию. Любое порядковое число можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор .

Любой моноид (любая алгебраическая структура с одной ассоциативной бинарной операцией и единичным элементом ) образует небольшую категорию с единственным объектом x . (Здесь x — любое фиксированное множество.) Морфизмы от x до x — это в точности элементы моноида, тождественный морфизм x — это тождество моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах можно обобщить на категории.

Аналогичным образом любую группу можно рассматривать как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим , то есть для каждого морфизма f существует морфизм g , который является как левым, так и правым обратным к f при композиции. Морфизм, обратимый в этом смысле, называется изоморфизмом .

Группоид — это категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды — это обобщения групп, групповых действий и отношений эквивалентности . Фактически, с точки зрения категории, единственное различие между группоидом и группой состоит в том, что группоид может иметь более одного объекта, но группа должна иметь только один. Рассмотрим топологическое пространство X и зафиксируем базовую точку $x_{0}$ из X , тогда $\pi _{1}(X,x_{0})$ — фундаментальная группа топологического пространства X и базовая точка $x_{0}$ , и как множество оно имеет структуру группы; если то пусть базовая точка $x_{0}$ пробегает все точки X и объединяет все $\pi _{1}(X,x_{0})$ , то полученное нами множество имеет только структуру группоида (который называется фундаментальным группоидом X . ): две петли (в соответствии с отношением гомотопической эквивалентности) могут не иметь одну и ту же базовую точку, поэтому они не могут умножаться друг на друга На языке категорий это означает, что здесь два морфизма не могут иметь один и тот же исходный объект (или целевой объект, поскольку в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект одинаковы: базовая точка), поэтому они не могут скомпоноваться с друг друга.

Любой ориентированный граф порождает небольшую категорию: объекты — это вершины графа, а морфизмы — это пути в графе (дополняемые при необходимости циклами ), где композиция морфизмов представляет собой конкатенацию путей. Такая категория называется свободной категорией, порожденной графом.

Класс всех предупорядоченных множеств с функциями, сохраняющими порядок (т. е. монотонно возрастающими функциями) в качестве морфизмов, образует категорию Ord . Это конкретная категория , т. е. категория, полученная добавлением некоторого типа структуры в Set и требованием, чтобы морфизмы были функциями, которые соблюдали эту добавленную структуру.

Класс всех групп с групповыми гомоморфизмами в качестве морфизмов и функциональной композицией в качестве операции композиции образует большую категорию Grp . Как и Ord , Grp — это конкретная категория. Категория Ab , состоящая из всех абелевых групп и их групповых гомоморфизмов, является полной подкатегорией Grp и прототипом абелевой категории .

Класс всех графов образует еще одну конкретную категорию, где морфизмы — это гомоморфизмы графов (т. е. отображения между графами, которые переводят вершины в вершины и ребра в ребра таким образом, что сохраняются все отношения смежности и инцидентности).

Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.

Категория	Объекты	Морфизмы
Набор	наборы	функции
Слово	предзаказные наборы	монотонно возрастающие функции
Мой	моноиды	моноидные гомоморфизмы
Группа	группы	групповые гомоморфизмы
график	графики	гомоморфизмы графов
Кольцо	кольца	кольцевые гомоморфизмы
Поле	поля	гомоморфизмы полей
Р - Мод	R -модули , где R — кольцо	R -модулей Гомоморфизмы
Вект _К	векторные пространства над полем K	К - линейные карты
Из	метрические пространства	короткие карты
Меас	измерять пространства	измеримые функции
Вершина	топологические пространства	непрерывные функции
Мужчина ^п	гладкие многообразия	p -раз непрерывно дифференцируемые отображения

Пучки волокон с картами связок между ними образуют конкретную категорию.

Категория Cat состоит из всех малых категорий с функторами между ними в качестве морфизмов.

Создание новых категорий [ править ]

Двойная категория [ править ]

Любую категорию C можно рассматривать как новую категорию по-другому: объекты те же, что и в исходной категории, но стрелки соответствуют объектам исходной категории, перевернутым. Это называется двойственной или противоположной категорией и обозначается C. ^на.

Категории товаров [ править ]

Если C и D — категории, можно сформировать категорию произведения C × D : объекты — это пары, состоящие из одного объекта из и одного из D , а морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и одного в D. C Такие пары можно составлять покомпонентно .

Виды морфизмов [ править ]

Морфизм f : a → b называется

мономорфизм ) , (или monic если он сократим слева, т.е. из fg ₁ = fg ₂ следует g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : x → a .
эпиморфизм ) , (или эпический если он сокращаем справа, т.е. из g ₁ f = g ₂ f следует g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : b → x .
биморфизм , если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.
ретракция , если она имеет правый обратный, т.е. если существует морфизм g : b → a с fg = 1 _b .
сечением , если оно имеет левый обратный, т.е. если существует морфизм g : b → a с gf = 1 _a .
изоморфизм , если он имеет обратный, т.е. если существует морфизм g : b → a с fg = 1 _b и gf = 1 _a .
эндоморфизм , если a = b . Класс эндоморфизмов a обозначается end( a ). Для локально малых категорий end( a ) является множеством и образует моноид относительно композиции морфизмов.
автоморфизм , если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. Класс автоморфизмов a обозначается aut( a ). Для локально малых категорий он образует группу называемую группой автоморфизмов a по композиции морфизмов , .

Любая ретракция является эпиморфизмом. Каждое сечение является мономорфизмом. Следующие три утверждения эквивалентны:

f — мономорфизм и ретракция;
f — эпиморфизм и сечение;
f — изоморфизм.

Отношения между морфизмами (такими как fg = h ) удобнее всего представлять с помощью коммутативных диаграмм , где объекты представлены в виде точек, а морфизмы — в виде стрелок.

Типы категорий [ править ]

Во многих категориях, например Ab или Vect _K , hom-множества hom( a , b ) являются не просто множествами, а фактически абелевыми группами , и композиция морфизмов совместима с этими групповыми структурами; то есть билинейно . Такая категория называется преаддитивной . Если, кроме того, категория имеет все конечные произведения и копродукции , она называется аддитивной категорией . Если все морфизмы имеют ядро и коядро , а все эпиморфизмы являются коядрами и все мономорфизмы являются ядрами, то мы говорим об абелевой категории . Типичным примером абелевой категории является категория абелевых групп.
Категория называется полной, все малые пределы если в ней существуют . Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств полны.
Категория называется декартово замкнутой, если она имеет конечные прямые произведения и морфизм, определенный на конечном произведении, всегда может быть представлен морфизмом, определенным только на одном из множителей. Примеры включают Set и CPO , категорию полных частичных заказов с непрерывными по Скотту функциями .
Топос — это определенный тип декартовой замкнутой категории, в которой может быть сформулирована вся математика (точно так же, как классически вся математика формулируется в категории множеств). Топос также можно использовать для представления логической теории.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Барр и Уэллс 2005 , Глава 1.
^ Некоторые авторы вместо этого пишут Mor( a , b ) или просто C ( a , b ).

Ссылки [ править ]

Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6 (теперь бесплатная онлайн-версия, GNU FDL ).
Асперти, Андреа; Лонго, Джузеппе (1991), Категории, типы и структуры , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5 .
Аводи, Стив (2006), Теория категорий , Оксфордские руководства по логике, том. 49, Издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-856861-2 .
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории , Переиздания по теории и применению категорий, том. 12 (переработанная ред.), МР 2178101 .
Борсо, Фрэнсис (1994), «Справочник по категорической алгебре», Энциклопедия математики и ее приложений , том. 50–52, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-06119-9 .
«Категория» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (2007), Теория категорий , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6 .
Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7 .
Ловер, Уильям ; Шануэль, Стив (1997), Концептуальная математика: первое введение в категории , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0 .
Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике, том. 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .
Маркиз, Жан-Пьер (2006), «Теория категорий» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии .
Сика, Джандоменико (2006), Что такое теория категорий? , Высшие исследования по математике и логике, вып. 3, Полиметрика, ISBN 978-88-7699-031-1 .
категория в n Lab

[1] Барр и Уэллс 2005 , Глава 1.

[2] Некоторые авторы вместо этого пишут Mor( a , b ) или просто C ( a , b ).

[1]

[2]