Категория метрических пространств
В теории категорий Met — это категория являются метрические пространства которой , объектами , а метрические отображения ( непрерывные функции между метрическими пространствами, которые не увеличивают попарное расстояние) морфизмами — . Это категория, потому что композиция двух метрических карт снова является метрической картой. Впервые его рассмотрел Исбелл (1964) .
Стрелки [ править ]
Мономорфизмы инъективные в Met это — метрические отображения. Эпиморфизмы — это метрические отображения, для которых область отображения имеет плотный образ в диапазоне . Изоморфизмы изометрии это — , то есть метрические отображения, которые являются инъективными, сюръективными и сохраняющими расстояние.
Например, включение рациональных чисел в действительные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но явно не изоморфизмом; Этот пример показывает, что Met не является сбалансированной категорией .
Объекты [ править ]
Пустое исходным пространство является объектом Met ; метрическое любое одноэлементное метрическое пространство является терминальным объектом . нет нулевых объектов Поскольку исходный объект и конечные объекты различаются, в Met .
Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами . Инъективные метрические пространства были введены и изучены впервые Ароншайном и Паничпакди (1956) до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения Ароншайн и Паничпакди назвали эти пространства гипервыпуклыми пространствами . Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть изометрически вложено , называемое его метрической оболочкой или плотным промежутком .
Произведения и функторы [ править ]
Продукт декартово конечного набора метрических пространств в Met — это метрическое пространство, точками которого является ; произведение пространств расстояние в пространстве продукта определяется супремумом расстояний в базовых пространствах. То есть это метрика произведения с нормой суп . Однако произведение бесконечного набора метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь верхней границы. То есть Met не является полной категорией , но конечно полной. нет копродукции В Met .
Функтор забвения Met → Set присваивает каждому метрическому пространству базовый набор его точек и присваивает каждой метрической карте лежащую в основе теоретико-множественную функцию. Этот функтор точен , и поэтому Met является конкретной категорией .
Связанные категории [ изменить ]
Met — не единственная категория, объектами которой являются метрические пространства; другие включают категорию равномерно непрерывных функций , категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений . Метрические отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с константой Липшица не более единицы.
См. также [ править ]
- Категория групп – категория в математике.
- Категория множеств - Категория в математике, где объектами являются множества.
- Категория топологических пространств – категория, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмы – непрерывными картами.
- Категория топологических пространств с базовой точкой – Топологическое пространство с выделенной точкой.
- Категория топологических векторных пространств – Топологическая категория
Ссылки [ править ]
- Ароншайн, Н. ; Паничпакди, П. (1956), «Расширения равномерно непрерывных преобразований и гипервыпуклых метрических пространств» , Pacific Journal of Mathematics , 6 (3): 405–439, doi : 10.2140/pjm.1956.6.405 .
- Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), «Категория метрических пространств», Энциклопедия расстояний , Springer-Verlag, стр. 38, ISBN 9783642002342 .
- Исбелл, Дж. Р. (1964), «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах» , комментарий. Математика. Хелв. , 39 (1): 65–76, doi : 10.1007/BF02566944 , S2CID 121857986 .